Методическое пособие 519
.pdfнаправляющий вектор прямой. У нас прямая проходит через точку A , поэтому x0 = 5, y0 = 5, z0 = 5 . Направляющий вектор S параллелен прямой, поэтому S перпендикулярен плоскости 5x − y −10z −3 = 0 . Из уравнения плоскости виден ее нормальный вектор N {5; −1; −10}, который перпендикулярен плоскости.
Этот вектор N можно взять в качестве направляющего вектора S искомой прямой – S {5; −1; −10}, т.е. m = 5, n = −1, p = −10 . Подставив найденные значения x0 , y0 , z0 , m, n, p в канонические уравнения (3.33), получим
x 5−5 = y−−15 = z−−105 ,
что соответствует третьему ответу.
Тестовое задание 3.76
Установите соответствие между каноническими уравнениями прямых и их положением в пространстве
1.x 2−1 = y−+32 = z−−13
2.x +0 4 = 2y = z−−38
3.x−+31 = 2y = z−+16
4.x −5 9 = y−−21 = 2z
υ23υ2
υ22υ2
υ24υ2
υ2 υ2
υ2 υ2
υ21υ2
параллельна вектору a =(9; −6; 3)
перпендикулярна оси Ox
перпендикулярна вектору a =(2; 3; −2)
проходит через точку
M0 (−1; 2; −3)
параллельна оси Ox проходит через точку
M0 (1; −2; 3)
Решение. Направление прямой определяется ее направляющим вектором S {m; n; p}, координаты которого видны из канонических уравнений прямой.
Поэтому предлагаемые варианты ответов, связанные с направлением прямой, проверяются с помощью условий параллельности векторов (пропорциональность их координат) или перпендикулярности векторов (равенство нулю их скалярного произведения). Проверим предлагаемые варианты ответов для каждой прямой.
1. |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
|
z −3 |
, ее направляющий вектор |
|
{2; −3; −1}. |
||||||||
S |
|||||||||||||||||
2 |
|
−3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для первого варианта имеем: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
≠ |
−3 ≠ |
−1 |
|
|
a = (9; −6; 3). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
131
Таким образом, первый ответ не подходит.
Направляющий вектор оси Ox равен Sox {1; 0; 0}. Поэтому во втором варианте ответов имеем:
S Sox = 2 1 +(−3) 0 +(−1) 0 = 2 ≠ 0 S Sox .
Второй ответ тоже не подходит. Для третьего варианта имеем:
S a = 2 2 +(−3) 3 +(−1) (2)= −3 ≠ 0 S a .
Третий ответ не подходит.
В четвертом варианте подставим координаты точки M0 (−1; 2; −3) в
уравнения прямой:
−12−1 ≠ 2−+32 ≠ −3−−1 3 .
Четвертый ответ не подходит.
В пятом варианте проверим коллинеарность S и Sox {1; 0; 0}:
1 |
≠ |
0 |
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
ox . |
|
|
|
S |
S |
|||||||||
2 |
−3 |
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пятый ответ также не верен.
В шестом варианте подставим координаты точки M0 (1; −2; 3) в уравнения прямой:
1 −1 |
= |
−2 + 2 |
= |
3 −3 |
0 = 0 = 0 , |
|
2 |
|
−3 |
−1 |
|||
|
|
|
|
т.е. точка M0 (1; −2; 3) лежит на прямой. Следовательно, первой прямой соответствует шестой ответ.
2. x +0 4 = 2y = z−−38 , ее направляющий вектор S {0; 2; −3}.
Проверим первый вариант ответов:
0 |
≠ |
2 |
≠ |
−3 |
|
|
a = (9; −6; 3). |
|
S |
||||||||
9 |
−6 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Первый ответ не подходит. Проверим второй вариант ответов:
S Sox = 0 1 + 2 0 −3 0 = 0 S Sox ,
т.е. вторая прямая перпендикулярна оси Ox , что соответствует второму ответу.
132
3. |
|
x +1 |
= |
|
y |
= |
z +6 |
|
, ее направляющий вектор |
|
|
{−3; 2; −1}. |
|||||||||||||
|
|
S |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
−3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Проверим первый вариант ответов: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
= −6 = |
3 |
|
|
|
a = (9; −6; 3), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
−1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
значит, |
третья прямая параллельна вектору a =(9; −6; 3), что соответствует |
||||||||||||||||||||||||
первому ответу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
|
x −9 |
= |
y −1 |
= |
z |
|
, ее направляющий вектор |
|
{5; − 2; 2}. |
|||||||||||||||
|
|
S |
|||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим только те ответы, которые не соответствовали первым трем прямым. Начнем с третьего ответа:
S a = 5 2 +(−2) 3 + 2 (−2)= 0 S a = (2; 3; − 2),
т.е. четвертая прямая перпендикулярна вектору a = (2; 3; − 2), что соответствует третьему ответу.
Тестовое задание 3.77
|
x −5 |
y + 2 |
|
z −1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Прямая −2 = |
4 |
= 2 пересекает |
|||||||
|
−1 |
||||||||
плоскость −x + y −α z +8 = 0 только в |
|
1 |
|||||||
том случае, когда α не равно… |
|
||||||||
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Прямая не пересекает плоскость, если прямая и плоскость параллельны. Из условия параллельности прямой и плоскости (3.39) не должно выполняться равенство
A m + B n +C p = 0 ,
где N {A; B; C} – нормальный вектор плоскости, а S {m; n; p} – направляющий вектор прямой. Из канонических уравнений (3.33) данной прямой видно, что S {−2; 4; 2}, а из уравнения плоскости – что N {−1; 1; −α}. Поэтому не должно выполняться равенство
(−1) (−2)+1 4 +(−α) 2 = 0 2α = 6 α = 3.
Итак, чтобы прямая пересекала плоскость, необходимо, чтобы α не было равно 3, что соответствует четвертому ответу.
133
Тестовое задание 3.78
Прямая
x =3 +t,y = −1+ 2t,
z = 4t
параллельна плоскостям…
4x + 2 y −2z −1 = 0
−2x +3y − z +1 = 0 2x +3y − z +1 = 0 4x −2 y −2z −1 = 0
Решение. Воспользуемся условием параллельности прямой и плоскости
(3.39)
A m + B n +C p = 0 ,
где N{A; B; C} – нормальный вектор плоскости, S{m; n; p} – направляющий
вектор прямой.
Данная прямая задана параметрически (3.34). В этих уравнениях коэффициенты при параметре t соответственно равны координатам направляющего
вектора S прямой. У нас дана прямая
x = 3 +t,y = −1 + 2t,
z = 4t,
поэтому S{1; 2; 4}.
Для каждой плоскости, предлагаемой в ответах, найдем нормальный век-
|
|
и проверим, выполнено ли условие (3.39). |
|
|||||||||
тор N |
|
|||||||||||
|
|
В первом ответе |
|
|
|
|
|
{4; 2; − 2} и 4 1 + 2 2 +(−2) 4 = 0 . Следовательно, |
||||
|
|
N |
||||||||||
первый ответ подходит. |
|
|
|
|
{−2; 3; −1} и (−2) 1 +3 2 +(−1) 4 |
= 0 . Значит и вто- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Во втором ответе N |
||||||||||
рой ответ подходит. |
|
|
|
|
|
|
{2; 3; −1} и 2 1 +3 2 +(−1) 4 = 4 |
≠ 0 . Третий ответ |
||||
|
|
В третьем ответе |
|
|
||||||||
|
|
N |
||||||||||
неверен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
{4; − 2; − 2} имеем |
|||
|
|
Четвертый ответ |
|
|
||||||||
|
|
также неверный, так как при N |
4 1 +(−2) 2 +(−2) 4 = −8 ≠ 0 .
134
3.2.7. Поверхности второго порядка (дифференциальная геометрия поверхностей)
Тестовое задание 3.79
Если O(−5; 3; 4) – центр сферы, то ее уравнение может иметь вид…
x2 +10x + y2 −6 y + z2 −8z + 46 = 0 x2 +10x + y2 −6 y + z2 +8z +34 = 0 x2 +10x + y2 −6 y + z2 −8z +34 = 0 x2 −5x + y2 +3y + z2 + 4z −25 = 0
Решение. Учитывая вид уравнения сферы (3.41) с центром в точке M0 (x0; y0; z0 ), делаем вывод, что искомое уравнение имеет вид
(x −(−5))2 +(y −3)2 +(z − 4)2 = R2 .
Раскрыв скобки, получим уравнение
x2 +10x + 25 + y2 −6 y +9 + z2 −8z +16 = R2
или
x2 +10x + y2 −6 y + z2 −8z +(50 − R2 )= 0 .
Сравнив полученное уравнение с предложенными ответами, видим, что оно совпадает с первым ответом при R = 2 и с третьим ответом при R = 4 , т.е. верные ответы первый и третий.
|
Тестовое задание 3.80 |
|
|
||||||
Поверхность, определяемая уравнени- |
|
|
эллиптическим цилиндром |
||||||
|
|
||||||||
|
x2 y2 |
z2 |
|
|
|||||
|
|
|
конусом |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ем 100 + 64 + |
4 =1, является… |
|
|||||||
|
|
эллипсоидом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сферой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сравнивая данное уравнения с (3.43) видим, что это уравнение задает эллипсоид ( a =10, b =8, c = 2 ), что соответствует третьему ответу.
|
Тестовое задание 3.81 |
|
|
||||||
Поверхность, определяемая уравнени- |
|
|
эллиптическим цилиндром |
||||||
|
|
||||||||
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
||||
|
|
|
конусом |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ем 4 + |
9 − |
2 = 0 , является… |
|
||||||
|
|
эллипсоидом |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сферой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135
Решение. Видим, что данное уравнения – это уравнение конуса (3.48) ( a = 2, b = 3, c = 2 ). Верен второй ответ.
Тестовое задание 3.82
Поверхность, определяемая уравнени- |
|
эллиптическим цилиндром |
|||||
|
x2 y2 |
|
|||||
|
|
гиперболическим цилиндром |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
ем 100 + 4 =1, является… |
|||||||
|
конусом |
||||||
|
|
|
|
|
|
сферой |
|
|
Решение. Данное уравнение на |
плоскости xOy описывает эллипс |
( a =10, b = 2 ). Поскольку это уравнение рассматривается в пространстве, то
оно описывает цилиндрическую поверхность (см. рис. 3.48), направляющая которой – эллипс. Делаем вывод, что данная поверхность – эллиптический цилиндр. Правильным является первый ответ.
Тестовое задание 3.83 |
|
|||||||
Уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
= 0 |
определяет |
|
p |
q |
r |
||||||
|
|
|
|
|
конус второго порядка, если…
p < 0, q < 0, r > 0 p > 0, q > 0, r > 0 p < 0, q < 0, r < 0 p < 0, q > 0, r < 0
Решение. Из уравнения конуса (3.48) следует, что коэффициенты при квадратах двух переменных обязательно одного знака, а при квадрате третьей переменной – другого знака, т.е. либо два коэффициента положительные, третий отрицательный, либо два коэффициента отрицательные, третий - положи-
тельный. В нашем уравнении коэффициенты равны 1p , 1q , 1r , поэтому нужные знаки коэффициентов в первом и в четвертом вариантах ответа.
Тестовое задание 3.84
Уравнение z = − |
x2 |
− |
y2 |
определяет |
|
2 p |
2q |
||||
|
|
|
эллиптический параболоид, если…
p > 0, q > 0 p > 0, q < 0 p < 0, q > 0 p < 0, q < 0
Решение. Из уравнения эллиптического параболоида (3.46), следует, что коэффициенты при квадратах переменных должны быть одного знака. В предлагаемых ответах нас устраивает первый и четвертый.
136
|
3.2.8. Кривизна плоской кривой |
|||||
Тестовое задание 3.85 |
|
|
|
|
||
Если R – |
радиус |
окружности |
|
1 |
||
|
||||||
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 + y2 +6 y = 0 , |
то ее |
кривизна |
|
|
9 |
|
R |
|
|||||
всюду равна… |
|
|
|
1 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как кривизна окружности обратна радиусу, то для ее определения приведем уравнение окружности к виду (3.18), в котором видна величина радиуса. Для этого перепишем данное уравнение в виде (выделим полный квадрат)
x2 + y2 + 6 y +9 = 9 x2 +(y +3)2 = 32 ,
Теперь видно, что R2 = 32 , т.е. R = 3, поэтому кривизна равна 13 , что со-
ответствует второму ответу.
Тестовое задание 3.86 |
|
|
|
Кривизна параболы y = −x2 −4x +5 |
в |
|
0,5 |
|
|||
ее вершине равна… |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3
−2 2
Решение. Найдем вершину параболы, преобразовав уравнение к виду
(x − x0 )2 = ±2 p(y − y0 ),
тогда (x0 , y0 ) – вершина параболы. Имеем уравнение
y + x2 + 4x −5 = 0 ,
выделяя полный квадрат, получим
y + x2 + 4x + 4 − 4 −5 = 0 (x + 2)2 +(y −9) = 0 (x + 2)2 = −(y −9). 137
|
|
|
Теперь видно, что вершина параболы – это точка (−2; 9). Для нахожде- |
|||||||||||||
ния |
кривизны графика |
функции y = f (x) |
(у нас |
|
|
y = −x2 −4x +5 ) в точке |
||||||||||
(x0 , |
f (x0 )) |
применим формулу (3.52), для использования которой нужно знать |
||||||||||||||
f |
′(x |
|
) и |
f ′′(x ). У нас |
f ′(x) = −2x − 4 |
и |
f ′′(x) = −2 . В вершине параболы |
|||||||||
|
0 |
|
0 |
f ′(−2) = (−2)(−2)− 4 = 0 и |
|
f ′′(−2) = −2 . Теперь опре- |
||||||||||
x |
= −2 , поэтому найдем |
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делим искомую кривизну K : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
K = |
|
f ′′(−2) |
|
= |
|
|
−2 |
|
|
|
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
(1 +(0)2 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(1 +(f ′(−2))2 )2 |
2 |
|
|
что соответствует четвертому ответу.
3.2.9. Элементы топологии
Тестовые задания по данному разделу при тестировании включены в дидактическую единицу «Дифференциальная геометрия». Для решения предложенных тестовых заданий необходимо использовать определения п. 1.1.1.
Тестовое задание 3.87
Операцией над множествами А и В, результат которой выделен на рисун- ке,
является…
A B A \ B
A ∩ B
B \ A
Решение. Так как на рисунке выделены все точки множества B , не принадлежащие множеству A , то на рисунке изображена разность множеств B и A (определение 1.3). Правильным является четвертый ответ.
138
Тестовое задание 3.88
Операцией над множествами А и В, результат которой выделен на рисун- ке,
является…
A B
A \ B A ∩ B B \ A
Решение. На рисунке заштрихованы все точки, принадлежащие объединению множеств B и A (определение 1.1). Правильным является первый ответ.
Тестовое задание 3.89
Операцией над множествами А и В, результат которой выделен на рисун- ке,
является…
A B A \ B
A ∩ B
B \ A
Решение. В этом задании выделены все точки множества A , не принадлежащие множеству B , т.е. разность множеств A и B (определение 1.3). Правильным является второй ответ.
139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное пособие позволит студентам всех специальностей Воронежского государственного архитектурно–строительного университета изучить такие дидактические единицы федерального интернет-экзамена по математике, как «Абстрактная алгебра», «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Дифференциальная геометрия», так как включает необходимые теоретические сведения по соответствующим разделам и подробное решение тестовых заданий.
Авторами планируется выпуск еще двух частей по дидактическим единицам федерального интернет-экзамена, не рассмотренным в данном пособии.
Вторая часть будет содержать
●Математический анализ;
●Функциональный анализ;
●Комплексный анализ;
●Векторный анализ;
●Дифференциальные уравнения;
●Ряды;
●Гармонический анализ.
Втретьей части будут описаны
●Теория вероятностей;
●Математическая статистика;
●Дискретная математика;
●Численные методы;
●Экономико-математические методы;
●Экономико-математические модели.
140