Методическое пособие 556

Вопросы к тексту 5

1) Числа 20 и 4 равны или не равны? 2) Какое число больше: 20 или 4?

3) Какое число меньше: 20 или 4?

4) На сколько 20 больше чем 4?

5) Почему 20 больше чем 4 на 16?

6) На сколько 4 меньше чем 20?

7) Почему 4 меньше чем 20 на 16?

8) Во сколько раз 20 больше чем 4? 9) Почему 20 больше чем 4 в 5 раз? 10) Во сколько раз 4 меньше чем 20? 11) Почему 4 меньше чем 20 в 5 раз?

Слова для запоминания
Число, чётное число, нечётное число	Произведение
Натуральное число, простое число, составное число	Множитель
Действие, знак	Частное
Сложение, плюс, сумма	Делимое
Слагаемое, вычитание, минус	Делитель
Разность	Кратное
Умножение	Вычитаемое
Умножить на	Уменьшаемое
Разделить на
Тема 3. Целые числа (Z)

3.1. Основные понятия. Отрицательные числа

Вычитание не всегда выполнено во множестве N чисел (например, во множестве натуральных чисел нельзя вычесть из 3 – 5 ). Поэтому возникает необходимость в расширении натуральных чисел. Введем в рассмотрение новые числа – натуральные числа со знаком минус, будем называть такие числа отрицательными.

Числа 1, 2 , 3 , … - это целые положительные числа. Натуральные числа со знаком минус 1, 2, 3, – это целые отрицательные числа.

Число нуль (0) - это тоже целое число ( не положительное и не отрицательное). Например: 12; +47; 0; -124; -17 – это целые числа.

21

Числа 12 ; 0,137; 1245 ; 11, 456 – это не целые числа, это дробные числа.

Все целые числа можно записать как множество:

			Z 3, 2, 1,		0, 1, 2, 3, .
	Следовательно, 12 Z;			47 Z ;	0 Z ;	124 Z ;	17 Z ;	1	Z ;
								2
	0,137 Z;	45	Z ; 11,456 Z .
		12

Каждое натуральное число – это целое число, то есть каждый элемент множества N принадлежит множеству Z. В этом случае говорит, что N – это подмножество множества Z и пишут

N Z.

Определим действия сложения и умножения для этого множества:

1.( m) ( n) (m n);

2.m 0 0 m m;

m n , если m n;
	m,	если m n;
3. m n n
0,		если m n;

4.m n m n m n ;

5.m n m n;

6.m 0 0 m 0 .

Множество чисел, состоящее из всех натуральных чисел, нуля и всех отрицательных чисел называется множество целых чисел Z.

Основные законы сложения и умножения целых чисел аналогичны основным законам сложения и умножения N чисел. Для действий сложения и умножения Z чисел вводятся обратные действия – вычитание и деление (кроме деления на нуль). При этом действие вычитания выполнимо всегда, а деление не всегда.

3.2. Арифметические действия

Арифметические действия - это сложение, вычитание, умножение, деление.

22

( 5) 8 40

( 3) ( 5) (3 5) 8 говорим («ми´нус три» плюс «ми´нус пя´ть»

равно´ «ми´нус во´семь»).
12 ( 5) 12 5 7 («двена´дцать»		плюс	«ми´нус	пять»	равно´
«двена´дцать» ми´нус «пять» равно´ «семи´»).
( 15) 9 6 («ми´нус	пятна´дцать»	плюс	«де´вять»	равно´	«ми´нус
шесть»).
( 20) 39 (20 39) 59 («ми´нус		два´цать» ми´нус «три´дцать
де´вять» равно´ «ми´нус пятьдеся´т де´вять»).
21 38 21 ( 38) 17	(«два´дцать оди´н» ми´нус «три´дцать во´семь»
равно´ «ми´нус семна´дцать»).
41 ( 17) 41 17 58	(«со´рок оди´н» ми´нус «ми´нус семна´дцать»

равно´ «пятьдеся´т во´семь»).

5 6 30 («пять» умно´жить на «шесть» равно´ «три´дцать»).

(«ми´нус пять» умно´жить на «во´семь» равно´ «ми´нус

со´рок»).

7 ( 7) 49 («семь» умно´жить на «ми´нус семь» равно´ «ми´нус со´рок де´вять»).

2 0 0 («два» умно´жить на «нуль» равно´ «нуль»).

( 4) 0 0 («ми´нус четы´ре» умно´жить на «нуль» равно´ «нулю´»).

12: 4 3 («двена´дцать» раздели´ть на «четы´ре» равно´ «три»).

12 : 3 4 («ми´нус двена´дцать» раздели´ть на «три» равно´ «ми´нус четы´ре»).

16 : 8 2 («ми´нус шестна´дцать» раздели´ть на «ми´нус во´семь» равно´ «двум»).

0 : 5 0 («нуль» раздели´ть на «ми´нус пять» равно´ «нулю´»).

Делить на нуль нельзя.

23

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

22. Выполните действия:

1)	15 13;	11)	( 19) ( 2);
2)	28 15 ;	12)	125: 5 ;
3)	800 750 ;	13)	125 : 5;
4)	16 17 ;	14)	20 : 4 ;
5)	12 20;	15)	21+ 3 – 4+5 : 2 ;
6) 46 7;		16)	121: 11 11;
7)	25 5 ;	17)	–7 – 7 : 7 3;
8)	17 – 18;	18)	8 32 : 6 – 7;
9)	( 3) 12;	19)	57 : 19 16 : 4 ;

10) 20 ( 5);	20) 81 2 96 : 4.
	Слова для запоминания
Нуль	Противоположные знаки
Целое число	Разные знаки
Положительное число	Одинаковые знаки
Отрицательное число	Правило, скобки
	Тема 4. Рациональные числа (Q)

Введем в рассмотрение новые числа – дроби со знаком плюс и со знаком минус

		m		, где m Z , n N .
		n

Рассмотрим множество чисел, состоящее из всех дробей, нуля и дробей со знаком минус. Сложение и умножение чисел из этого множества производятся по правилам:

24

1)

p

m

, если n p m q;

2)

p

m

pn qm

;

3)

p

m

pm

.

q

n

q

n

qn

q

n

qn

Множество чисел, состоящее из всех чисел вида

m

,

где

n N , m Z ,

n

называется множеством рациональных чисел (Q).

Для действия сложения и умножения рациональных чисел вводятся обратные действия – вычитание и деление, при этом оба эти действия (кроме деления на нуль) всегда выполнимы. Основные законы сложения и умножения Q чисел аналогичны законам Z чисел.

Каждое рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби или в виде десятичной дроби.

4.1. Обыкновенные дроби

Возьмем 1 (единицу) и разделим ее на три равные части (рис. 1). Одна

третья часть единицы							–			это дробь		1	(одна третья). Две третьи части единицы
										3
– это дробь			2		(две третьих). Три третьи части единицы – это дробь													3	(три
																		3
3
третьих),	3	1			(дробь		3			равна единице).
3							3
										1

	1				1			1			1
					3			3			3
1								1

	1									2			3
	3									3			3
					Рис. 1.					Представление обыкновенной дроби графически
Числа		1		,		2	,	3		– это обыкновенные дроби.
	3				3			3

25

Если a N и b N , то число ba – это обыкновенная дробь, где a –

числитель, b – знаменатель.

Знаменатель дроби показывает, на сколько частей мы разделим единицу. Числитель дроби показывает, сколько частей мы взяли. Частное a : b можно

записать как дробь ba . Например, частное 3: 4 можно записать как дробь 34 ,

здесь 3 – числитель, 4 – знаменатель.
			Читаем дроби так:
	1		(одна вторая);		31					(тридцать	одна
2				100						сотая);
1			(одна третья);	151						(сто пятьдесят
										одна тысячная);
3				1000
1			(одна четвёртая);	2						(две пятых);
4				5
1			(одна пятая);	2						(две девятых);
5				9
1			(одна шестая);	42						(сорок	две
										семнадцатых);
6				17
1			(одна седьмая);	3						(три
										четвертых);
7				4
1			(одна восьмая);	3						(три десятых);
8				10
1			(одна девятая);	3						(три
										сороковых);
9				40
1			(одна десятая);	4						(четыре
										пятнадцатых);
10				15

4

29

5

7

5

21

11

15

17

32

48

95

59

100

(четыре двадцать девятых);

(пять седьмых);

(пять двадцать первых); (одиннадцать пятнадцатых); (семнадцать тридцать вторых); (сорок восемь девяносто пятых); (пятьдесят девять сотых).

4.1.1. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Возьмем дробь 1710 . Здесь числитель 10 меньше чем знаменатель 17 (10 17 ).

				10	– это правильная дробь.
			17
	Возьмем дробь	7	. Здесь числитель 7 больше чем знаменатель 5 ( 7 5 ).
		5

26

75 – это неправильная дробь.

Возьмем дробь 1111 . Здесь числитель и знаменатель равны (11 11).

																											11								– это тоже неправильная дробь.
																									11
						Дробь				a			– правильная,																												если								a b и если a b , то															a	–	неправильная
										b																																																						b
дробь (знак – это знак больше или равно).
						Например:										1		;			2		;			7				;				45							;			4					–		это правильные дроби;
																2				3					10									67							121
												2		;		3			;	10					;			23						;			102					;		7					–		это неправильные дроби.
									1							2				7					5									41										7
						Неправильную дробь																												23						можно записать так:
																																		5
																									23											20 3													20			3		4		3		4		3	.
																									5									5															5		5					5			5
4	3					это смешанное число.																																			Смешанное число																		имеет две							части: 4 – это
5
целая часть,											3		– это дробная часть.
									5
						Читаем смешанные числа так:
			1	1					одна целая и одна вторая																																										или							одна и одна вторая;
			2
			2			1			две целых и одна пятая																																										или							две и одна пятая;
						5
			3			3			три целых и три четвертых																																										или							три и три четвертых;
						4
			6			4			шесть целых и четыре седьмых																																										или							шесть и четыре седьмых.
						7
						Неправильную дробь																											15							можно записать как целое число 3.
																																		5
						Следовательно, неправильную дробь можно записать как смешанное
число или как целое число.
						Например,
	3		1				1	;	11							2				1		;												15							3			3			;						46		6	4		;				12	3 ;				7	1.
													5							5																																	7			7											7
2						2																												4										4															4

27

Смешанное число 7 34 можно записать так:

7	3		7 4 3			31		– это неправильная дробь.
	4		4			4

Таким образом, смешанное число можно записать как неправильную дробь.

Например,	5	17				122		;	10	3		43	;	31	4		159	.
															5		5
			21			21				4		4

На рис. 2 представлена наглядная схема форм записи арифметической дроби: в виде обыкновенной и десятичной дроби. Обыкновенная дробь может быть правильной, неправильной и записываться в виде смешанного числа. Десятичная дробь бывает конечной, бесконечной периодической дробью и бесконечной непериодической. Позже более подробно поговорим о десятичной дроби.

Числовая (арифметическая) дробь ( 13 ; 52 ; 1 72 ; 0,3; 4; 2,7(13); 0,17251…)

Обыкновенная дробь

Десятичная дробь

Конечная

(знаменатель – это

десятичная дробь.

числа 10,100,1000…)

3

Например, 0,3

10

Бесконечная

периодическая дробь.

Неправильная

Правильная

Смешанные

Например,

дробь

дробь

числа

4,27131313... 4,27 13

(числитель

(числитель

(содержит целое

больше

меньше

число и дробь).

знаменателя).

знаменателя).

Например,

5

1

Например,

2

Например,

1

Иррациональные

2

3

7

числа

Рис. 2. Формы записи арифметической дроби

4.1.2. Основное свойство дроби

Возьмем 1 (единицу) и разделим её на две равные части (рис. 3). Одна

28

вторая часть единицы – это дробь 12 . Разделим единицу на 6 равных частей и

	возьмем три части, получим дробь					3	. Очевидно, что дроби				1	и	3	равны.
						6					2		6
	1
							1
	2

3

6

								Рис. 3.				Иллюстрация дроби графически
	Дробь	3		можно получить из дроби															1	,	если умножить её числитель и
		6																	2
	знаменатель на 3:				1			1 3				3	.
					2			2 3				6
	Дробь	1		можно получить из дроби															3	,	если разделить её числитель и
		2																	6
	знаменатель на 3:				3			3: 3				1			или	3		1 3				1	.
																		2 3
					6			6 : 3				2				6					2

Следовательно, числитель и знаменатель дроби можно умножить (разделить) на одно и то же число (если это число не равно нулю). Величина дроби при этом не изменится (основное свойство дроби):

a

a m

или

a m

a

, если m 0 .

b m

b m

b

b

4.1.3. Сокращение дробей

Возьмем дробь

15

.

Здесь

числитель и знаменатель имеют общий

35

делитель 5. Разделим числитель и знаменатель дроби

на 5 (смотри основное

свойство дроби):

15

5 3

3

.

35

5 7

7

Разделить числитель и знаменатель дроби на их общий делитель

значит сократить дробь.

Мы сократили дробь

15

на 5 и получили дробь

3

. Эту дробь сократить

35

7

29

нельзя, потому что числа 3 и 7 – взаимно простые: НОД 3;7 1.
																					3			– это несократимая дробь.
																			7
					Например, дробь														12				можно сократить на 2, на 3 и на 6.
																				18
12				2 2 3						6		;												12					2 2 3							4		;					12					2 2 3					2		;
	18 2 3 3 9																						18 2 3 3 6																					18 2 3 3 3
					Дроби				12					,	6	,	4			и			2			равны:						12							6		4		2	.
									18					9			6						3							18								9			6		3
					Пример. Сократить дробь:
1)		14				14 1					1			;									2)			25					5 5					5		;					3)				39			13 3				3		.
		28			14 2				2																	40					5 8					8										91				13 7				7

Дроби 74 ; 1513 ; 258 сократить нельзя. Это несократимые дроби.

4.1.4. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Возьмем	дроби						1			и			1		. Эти дроби имеют разные знаменатели 12 и 18
							12					18
12 18 . Найдем наименьшее общее кратное чисел 12																												и 18: НОК 12;18 36 .
Разделим 36 на 12 и на 18: 36 :12 3;																					36 :18 2 .
Числа 3 и 2 – это дополнительные множители дробей																															1	и	1	. Умножим
																															12
																																18
числители и знаменатели дробей																	1	и	1		на их дополнительные множители,
																12
																		18
получим:
			1						1 3					3		;						1			1 2				2	.
								12 3																	18 2
		12										36									18							36
Дроби	3	и				2			имеют одинаковый знаменатель 36. Число 36 – это
	36	36
наименьший общий знаменатель (НОЗ) дробей																							1		и	1		.
																					12				18

30