Учебное пособие 161

23. Функция ( ) определена на интервале [0;4],

0	,0 ≤	≤ 1,
( ) = − 1	,1 ≤	≤ 3,
8− 2	,3 ≤	≤ 4.

и продолжена чётным образом и периодически с периодом T=8. Написать её разложение в ряд Фурье.

24. Функция ( ) определена на интервале [0;4],

0	,0 ≤	≤ 1,
( ) = − 1	,1 ≤	≤ 3,
8− 2	,3 ≤	≤ 4.

и продолжена нечётным образом и периодически с периодом T=8. Написать её разложение в ряд Фурье.

25. Функция	(	) определена на интервале [0;3],
		( ) = 2 −	,0 ≤	≤ 1,
			,1 ≤	≤ 2,
и продолжена периодически0с			периодом T=3. Написать её
			,2 ≤	≤ 3.
разложение в ряд Фурье.
26. Функция	(	) определена на интервале [0;3],
		( ) = 2 −	,0 ≤	≤ 1,
			,1 ≤	≤ 2,
		0	,2 ≤	≤ 3.

и продолжена чётным образом и периодически с периодом T=6. Написать её разложение в ряд Фурье.

19

27. Функция ( ) определена на интервале [0;3],

( ) = 2 −	,0 ≤	≤ 1,
	,1 ≤	≤ 2,
0	,2 ≤	≤ 3.

и продолжена нечётным образом и периодически с периодом T=6. Написать её разложение в ряд Фурье.

28. Функция ( ) определена на интервале [0;4],

4	,0 ≤	≤ 1,
( ) = 6	− 2 ,1 ≤	≤ 3,
0	,3 ≤	≤ 4.

и продолжена периодически с периодом T=4. Написать её разложение в ряд Фурье.

29. Функция ( ) определена на интервале [0;4],

4	,0 ≤	≤ 1,
( ) = 6	− 2 ,1 ≤	≤ 3,
0	,3 ≤	≤ 4.

и продолжена чётным образом и периодически с периодом T=8. Написать её разложение в ряд Фурье.

30. Функция ( ) определена на интервале [0;4],

4	,0 ≤	≤ 1,
( ) = 6	− 2 ,1 ≤	≤ 3,
0	,3 ≤	≤ 4.

и продолжена нечётным образом и периодически с периодом T=8. Написать её разложение в ряд Фурье.

20

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ РАЗДЕЛА «РЯДЫ»

1.Числовой ряд

+ + + + =	∞
	(1)

Называется сходящимся, если существует конечный предел его

частичной суммы = + + +	при n→ ∞
lim→∞ =	(2)

При этом величина S называется суммой ряда. Если предел (2) бесконечен или не существует, говорят что ряд (1) расходится.

2. Необходимый признак сходимости ряда (1).

Если числовой ряд (1) сходится, то

lim = 0

(3)

→∞

По выполнению условия (3) нельзя доказать сходимость ряда (1),но при невыполнении условия (3) ряд (1) не может сходиться.

3.Сходящиеся числовые ряды можно почленно складывать, умножать все члены ряда на одно и то же число, добавлять к такому ряду конечное число слагаемых или убирать из него конечное число членов. Полученные с помощью этих процедур ряды также будут сходящимися.

4. Признак сравнения

21

Пусть рассматривается ряд (1) и ряд

+ + + +

(4)

Если ≥ выполняются неравенства

0 ≤ ≤

то 1. из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (1);

2.из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (4).

5.Признак Даламбера

Если	> 0 (	= 1,2,….) и
		lim→∞			=	,	> 1
то 1) при	ряд (1)	сходится; 2) при						ряд (1)	расходится.
6. Радикальный< 1	признак Коши
Если	> 0 (	= 1,2,….) и
то 1) при < 1 ряд (1)		lim→∞			=	,	> 1 ряд (1)
		сходится; 2) при							расходится.

7. Интегральный признак Коши

Если ( ) ( ≥ 1)- неотрицательная невозрастающая непрерывная функция и такая, что

( ) = ,

22

то при сходимости интеграла

∞	(5)
( )

ряд (1) сходится; при расходимости интеграла (5) ряд (1) расходится

8. Обобщённым гармоническим рядом называется ряд

∞ 1

(6)

При > 1 такой ряд сходится, а при p ≤ 1 этот ряд расходится.

9. Ряд (1) наз. знакопеременными, если как угодно далеко от его начала встречаются как положительные, так и отрицательные члены .

Говорят, что знакопеременный ряд (1) абсолютно сходится, если сходится ряд

| |+ | |+ + | |+

(7)

10.Имеет место теорема: абсолютно сходящийся ряд сходится. В абсолютно сходящемся ряде (1) можно менять местами слагаемые. Сумма такого ряда при этом ни как не изменится.

11.Если ряд (1) сходится, но абсолютной сходимости его нет, то такая сходимость называется условной. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его слагаемых можно сделать равной любому заданному числу, а также бесконечности того или иного знака.

23

12. Ряд вида

− + − + +(−1)

+ ,

(8)

где > 0, = 1,

называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если				= 1,2,…	≥	и
то ряд( )сходиться				lim→∞ = 0,
При этом8 модуль суммы.			его слагаемых, начиная с			не
превосходит |	|
13. Степенным рядом.		называется ряд вида			+ ,	(9)
		+		+ +

где - числовые коэффициенты. Областью определения степенного ряда является вся числовая ось.

14. Теорема Абеля.
Если степенной ряд (9) сходится при					|	|	, то он сходится
абсолютно и при всех		, для которых					| |	.
						=
Если ряд (9) расходится			=	, то он расходится<					и при всех ,
для которых	| | < |	|
		.

15. Радиус сходимости степенного ряда (9) определяется по формуле Коши-Адамара

24

1 = ,

lim | |

→∞

а также по формуле

	|	| <			= lim→∞		.	| | >
При			ряд (9) сходится абсолютно, при						он
расходится. При				= ±	сходимость ряда (9)			исследуется
отдельно.
16.Определённая в некоторой окрестности точки									и имеющая в

этой окрестности производные любого порядка, раскладывается в ряд Тейлора:

	(	) =	(	)+	∞	( )(	)	( −	) .	(10)
						!
Остаточный член этого ряда						(	)(	)
					∞
		( ) =		( ) −			!	(	− )
может быть представлен в форме Лагранжа
(	)( )				где	є (а, х).
( ) = (		( −	)	,
	)!

При а=0 ряд Тейлора наз. рядом Маклорена.

25

17. Имеет место разложении некоторых элементарных функций в ряд Малорена в окрестности точки, а=0. Приводятся так же

радиусы сходимости этих рядов.

= 1+

+

2!

+

!

+ ,

= −

3!

+

5!

− …+(−1)

(2 − 1)!

+ ,

= 1 −

2!

+

4!

− …+(−1)

2 !

+ ,

= 1 −

2!

+

4!

− …+(−1)

2 !

+ ,

= −

3!

+

5!

− …+(−1)

(2 −1)!

+ ,

(1+

)

(

− 1)

= 1+

+

−

2!

+

…+

(

− 1)∙ …∙(

+1)

+ ,

!

1

= 1 − +

− + (−1)

+ ,

1+

2

n

1

1

1∙3

√1+

= 1+

−

+

− ,

2

2∙4

2∙4∙6

1

= 1−

1

+

1∙3

−

1∙3∙5

+ ,

√1+

2

2∙4

2∙4∙6

=∞;

=∞;

=∞;

=∞;

=∞;

=1;

=1;

=1;

=1;

26

=

+

1

+

1∙3

+ ,

= 1;

2

3

2∙4

5

x = −

3

+

5

− ,

= 1;

(1+ ) = −

+

− ,

= 1;

18. Пусть

дана

2

кусочно

монотонная, ограниченная, 2π-

3

периодическая функция

Рядом Фурье для неё называется

функциональный ряд вида( ).

( ) =

2

+

∞

(

+

),

(11)

с коэффициентами

1

π

1

π

=

( )

;

=

( )cos

;

(12)

π

π

π

=

1

π

( )

π

π

π

Имеет место теорема (достаточное условие представимости функции рядом Фурье (11)-(12)).

Если периодическая функция ( ) с периодом 2 кусочно монотонна и ограничена на отрезке[−π;π], то ряд Фурье (11)-(12) сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равна

27

значению функции

в точках непрерывности функции. В

точках с разрыва функции( )

первого рода выполняется равенство.

( )|

=

1

→lim

( ) +

→lim ( ) .

19. Если функция

чётная, то она раскладывается в ряд

Фурье по косинусам(

)

2

( ) =

2

+

∞

,

где

=

2

π

( )

;

=

2

π

( )cos

π

π

Нечётная функция (

)

раскладывается в ряд Фурье по синусам

∞

,

где

( ) =

2

π

=

( )

π

20. Если функция ( ) имеет период, равный 2 l, то ряд Фурье для неё записывается в виде

28