Учебное пособие 415

Е, то уравнение (4) задает функцию y = y(x) с						областью
определения D и областью значений E.
Если	в		некоторой			окрестности
(x0 , y0 = y(x0 )) функция		F(x,y)		дифференцируема			и
Fx¢(x0 , y0 ) ¹ 0 , то уравнение (4) определяет функцию у = у(х),
дифференцируемую в точкеx0 , причем ее производная
определяется формулой			Fx¢(x0	, y0 )
	y¢(x0 ) = -				.	(5)
			Fy¢(x0
				, y0 )

1.Вычисляем частные производные Fx¢(x, y) и Fy¢( x, y) в

точке (x0 , y0 ) , где y0 есть корень уравнения F (x0 , y) = 0.

2.Находим y ¢(x0 ) по формуле (5) и записываем ответ.

Замечание.	Аналогично		вычисляются		частн
производные функций нескольких переменных, заданных
неявно. Например,	если	уравнение F (x	,y ,z) =	0 задает
функцию z = z (x ,y) , то		при известных условиях		функции

z = z (x, y) дифференцируема в

точке (x0 , y0 ) и ее

частные

производные определяются функциями

z ¢x (x0

F

¢(x

0

, y

0

, z

0

)

z ¢y

Fy¢(x0 , y

0

, z 0 )

, y0 ) = -

x

,

(x0 , y0 ) = -

,

Fz¢(x0 , y0 , z0 )

Fz¢(x0 , y0 , z 0 )

где z0

есть корень уравнения F (x0 , y0 , z) = 0.

Пример. Найти производную функции y = y(x) , заданной

неявно уравнением

= arctg y .

ln

x 2

+ y 2

(6)

Решение.

x

x 2 + y 2 - arctg y .

1. В данном случае F (x, y) = ln

x

Вычисляем ее частные производные:

11

x

Fx¢ = x 2 + y 2 -

y

Fy¢ = x 2 + y 2

1

æ

-

y

ö

=

x + y

,

ç

÷

1+ ( y / x) 2

2

x 2 + y 2

è x

ø

-

1

æ 1

ö

=

y - x

.

ç

÷

1+ ( y / x) 2

+ y 2

è x

ø x 2

Очевидно, что F (x, y) ,

Fx¢

и Fy¢ непрерывны при

всех

x ¹ 0 и

Fy¢ ¹ 0

при x ¹ y . Следовательно,

уравнение

(6)

определяет функцию у(х),

дифференцируемую во всех точках

(x0 , y0 )

области, где x ¹ 0 и x ¹ y .

2. Находим y¢

по формуле (5)

y

¢

Fx¢(x0 , y0 )

(x0 + y0 ) /(x02 + y02 )

x0 + y0

= - Fy¢(x0 , y0 ) = - ( y0 - y0 ) /(x02 + y02 ) = x0 - y0 .

Ответ.

y¢ =

x0 + y0

при

всех x0 , y0 ,

удовлетворяющих уравнению

x0 - y0

(6), в области, где x ¹ 0 и x ¹ y .

Условия

задач. Найти

производные функций y = y(x) ,

заданных неявно уравнениями.

1.

y x = x y .

2.

y = 1+ y x .

3.

y = x + ln y.

4.

x + y = e x- y .

5.

x 2 e 2 y

- y 2 e 2 x = 0.

6.

x - y + arctgy = 0.

7.

y sin x - cos(x - y) = 0.

8.

sin( xy) - e xy - x 2 y = 0.

9. 1+ xy - ln(e xy + e -xy ) = 0.

10.

x 2 - 2xy + y 2 + x + y - 2 = 0.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Постановка задачи. Найти уравнение касательной и нормали к поверхности, заданной уравнением

F (x, y, z) = 0

в точке M (x0 , y0 , z 0 ) .

12

План решения.

Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением

F (x, y, z) = 0

в точке M (x0 , y0 , z 0 ) , определяется формулой

r

ì¶F

¶F

¶F

ü

n = grad F

M =

í

M ,

M ,

M ý.

î ¶x

¶y

¶z

þ

Следовательно, уравнение касательной плоскости к

данной поверхности в точке M (x0 , y0 , z 0 ) есть

Fx¢

M (x + x0 ) + Fy¢

M ( x0 , y0 , z0 )( y - y0 ) + Fz¢

M (z - z0 ) = 0 (7)

и уравнение нормали

x - x0

=

y -

y0

=

z - z 0

.

(8)

Fx¢

Fy¢

M

M

Fz¢

M

1. Находим частные

производныеFx¢,

Fy¢, Fz¢ в точке

M (x0 , y0 , z 0 ) .

2.Подставляем найденные значения в уравнения(7) и (8)

изаписываем ответ.

Замечание. Если заданы только значенияx0 и y0 , то координата z0 точки М определяется из условия, что точка М принадлежит данной поверхности , т. е. F (x0 , y0 , z0 ) = 0 .

Пример.	Найти		уравнение	касательной	плоскости и
нормали к поверхности, заданной уравнением
			z = xy
в точке М(1, 1).
Решение.	Запишем уравнение поверхности в видеху – z = 0,
т. е. F = xy - z.
Координаты		точки	М: x0 =1 и	y0 =1. Координаты z0
определяем из условия, что точка М принадлежит данной
поверхности, т. е. F (1, 1, z 0 ) = 0 . Получаем z0 =1.
1. Находим		частные	производные Fx¢, Fy¢, Fz¢		в точке
М(1, 1, 1):

13

Fx¢ (1,1,1) = y (1,1,1) =1, Fy¢ (1,1,1) = x (1,1,1) = 1, Fz¢ (1,1,1) = -1.

2. Подставляя найденные значения в уравнения(7) и (8), получаем уравнение касательной плоскости

1(x -1) +1( y -1) -1(z -1) = 0

и уравнение нормали

x -1 = y -1 = z -1 . 1 1 1

Ответ. Уравнение касательной плоскости: x + y - z -1 = 0. Уравнение нормали: x -1 = y -1 = 1- z.

Условия задач. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке М.

	1.	z = x 2 + y 2 ,						M (1, - 2, 5).
	2.	x 2	+	y 2	-	z	2	= 0, M (4, 3, 4).
		16		9		8

3.z = sin x cos y, M (p / 4, p / 4, 1 / 2).

4.z = e x cos y , M (1, p, 1 / e).

5.z = y tg x, M (p / 4, 1, 1).

6.	z = arctg(x / y),			M (1, 1, p / 4).
7.	x( y + z)(z - xy) = 8,				M (2, 1, 3).
8.	2 x / z + 2 y / z = 8,			M (2, 2, 1).
9.	x 2	+ y 2	+ z 2 -16 = 0,		M (2, 2, 2	2).
10.	x 2	+ y 2	- z 2 = -1, M (2, 2, 3).
			Экстремум функции двух переменных
	Постановка			задачи. Найти		стационарные	точки
функции z = z(x, y) и исследовать их характер.

План решения.

1. Стационарными точками функции нескольких переменных называются точки, в которых все ее частные производные равны нулю. Следовательно, чтобы найти

14

стационарные точки функции z(x, y) , нужно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными

ìz ¢x (x, y) = 0, íîz ¢y (x, y) = 0.

Решая эту систему уравнений, находим стационарные

точки функции z(x, y) : M 1 (x1 , y1 ), M 2 (x2 , y2 ),K, M n (xn , yn ).

2. Для того чтобы исследовать характер стационарных

точек, воспользуемся достаточными условиями экстремума

функции двух переменных.

Пусть

функция

z = z(x, y)

определена

и

имеет

непрерывные

частные

производные

второго

порядка

в

стационарной точке

M (x0 , y0 )

(т. е. z ¢x (x0 , y0 ) = z ¢y (x0 , y0 ) = 0 ). Тогда если в этой точке:

а)

¢¢

¢¢

¢¢

2

> 0

, то М – точка экстремума, причем при

z xx

× z yy

- (z xy )

¢¢

¢¢

< 0 – точка максимума;

z xx

> 0 - точка минимума, при z xx

б)

¢¢

¢¢

-

¢¢

2

< 0

, то М не является точкой экстремума;

z xx

× z yy

(z xy )

в)

¢¢

¢¢

¢¢

2

= 0 ,

то

требуется

дополнительное

z xx × z yy

- (z xy )

исследование (например, по определению).

3.

Вычисляем

производные

второго

порядка

функции

z(x, y) .

4. В каждой стационарной точке вычисляем выражение

¢¢

¢¢

¢¢

2

z xx

× z yy - (z xy )

и определяем его знак.

Анализируем полученные результаты и записываем ответ.

Пример. Найти стационарные точки функции

z= x 3 + y 3 -3xy

иисследовать их характер.

Решение.

1. Вычисляем частные производные

z ¢x = 3x 2 - 3y, z ¢y = 3y 2 - 3x.

15

2. Для того чтобы найти стационарные точки функции, решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

ì3x 2 - 3y = 0,

ï

íï3y 2 - 3x = 0.

î

Получаем два		решения:		x1 = 0 ,	y1	= 0 и x2 = 1, y2	= 1.
Следовательно,		стационарные				точки	функци
z = x 3	+ y 3 -3xy : M 1 (0, 0) и M 2 (1, 1) .
3.	Вычисляем производные второго порядка:
	¢¢		¢¢		¢¢	= 6 y .
	z xx	= 6x, z xy		= -3, z yy
4.	В каждой стационарной точке вычисляем выражение
		¢¢	¢¢	¢¢	2
		z xx	× z yy - (z xy )

иопределяем его знак.

Вточке М1(0, 0):

¢¢

¢¢

¢¢

¢¢

¢¢

¢¢

2

= -6 < 0.

z xx (0, 0) = 0, z xy

(0, 0) = -3, z yy

(0, 0) = 0 Þ z xx

× z yy - (z xy )

Следовательно,

точка М2(1,

1)

является

точкой

экстремума.

¢¢

= 6 > 0, то M 2 (1, 1)

− точка минимума.

Так как z xx (1, 1)

Ответ. Функция z = x 3

+ y 3

-3xy

имеет две стационарные

точки M 1 (0, 0) и M 2 (1, 1) .

В точке

M 1 (0, 0) экстремума нет,

M 2 (1, 1) − точка минимума.

Условия задач.

1.

z = x 2

- xy + y 2 .

2.

z = x 2

- xy - y 2 .

3.

z = x 2

- 2xy + 2 y 2 + 2x.

4.

z = x 3

+ y 3 - x 2 - 2xy - y 2 .

5.

z = x 3 - 2 y 3 - 3x + 6 y.

6.

z = 4x + 2 y - x 2 - y 2 .

7.

z = x 3 + y 3 -15xy.

8.

z = x 2

+ xy + y 2 - 3x - 6 y.

9.

z = x 2

+ 4 y 2 - 2xy + 4.

10.

z = x / y +1 / x + y.

16

Индивидуальные задания для контрольной работы

				Вариант 1
1. Найти	и	изобразить			на	чертеже область определения
функций:	а) z =		3xy	; б)	z =	y sin x .
			2x - 5 y

2.Вычислить приближенно cos 61o × sin 47o .

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y2 - e-x).

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = ex-2y, где x = sin t , y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x3 + y3 + z3 - 3xyz = 4, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет

ли данная

функцияu =

y

x

¶2u

¶2u

¶2u

указанному уравнению x

2

+ 2xy

+ y

2

= 0 .

¶x

2

¶x¶y

¶y

2

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 + z2 + 6z - 4x + 8 = 0, M0(2,1,-1);

б) S: 4x2 - 9y2 - 9z2 - 36 = 0, M0(3,0,0).

8.	Определить градиент и производную	заданной	функции
z =	ln(x+y) в точке M0(1,3) в направлении	линииy2	= 9x в
сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = y x - 2 y 2 - x +14 y .

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x + y - xy в области D: y = x, y = 4, x = 0.

17

	Вариант 2
1.	Найти и изобразить	на	чертеже	область	определения
функций: а) z = arcsin(x - y),			б) z = ln(2 - x - y) +		x .
2.	Вычислить приближенно	u =	(1,03)2	.

30,984 (1,03)3

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x2 + y2).

4.Вычислить значение производной сложной функции

u= ln(ex + e-y), где x = t2, y = t3 при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции

z= z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 - xy = 2, в данной точке M0 (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить,			удовлетворяет	ли				данная	функци
u = ln	x	+ x3 - y 3	указанному уравнению x		¶u	+ y	¶u	= 3(x3 - y 3 ) .
					¶x
	y						¶y

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + z2 - 4y2 = -2xy, M0(-2,1,2); б) S: x2 + y2 - z = 6, M0(1,-1,-1).

8.Определить градиент и производную заданной функцииz = 5x2 - 3x - y - 1 в т. M0(2,1) в направлении, идущем от т. М0 к

т. N(5,5).

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3+8y3-6xy+5.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy-x-2y в области D: y = x,y = 0 , x = 3.

18

					Вариант 3
1.	Найти	и	изобразить			на		чертеже область определения
функций:		а) z =		y 2 - x 2	; б) z = ln(1- x2 - y2) + x - y .
2.	Вычислить приближенно					3,98 ∙ (1,03)3,98 .
3.	Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = arcsin				xy .
4.	Вычислить значение производной сложной функции
	u = yx, где x = ln(t - 1),					y = e	t
							2	при t = 2, с точностью до
двух знаков после запятой.
5.	Вычислить		значения		частных производных				функции
z	= z(x,y)	, заданной неявно: 3x - 2 y + z = xz + 5 ,							в данной

точке M0 (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция

2		2		¶2u		¶2u
u = ln(x	+ (y + 1)		) указанному уравнению		+		= 0 .
				¶x 2		¶y 2

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 + z2 + 3z - xy = 7, M0(1,2,1); б) S: 4x2 - 9y2 = 36, M0(-3,0,0).

8. Определить градиент и производную	заданной	функции
z = x2 + y2 в т. M0(6,-8) в направлении	линииy =	-	2	x2 в
		9

сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 1 + 15x - 2x2 – xy - 2y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + 8y + 2xy - 4x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 1. 19

	Вариант 4
1.	Найти и изобразить	на чертеже область определения
функций: а) z = ln(4 - x2 - y2);		б) z = y + arcsin(x + 2).
2.	Вычислить приближенно	cos59° ∙ sin32°.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x - y2).

4.Вычислить значение производной сложной функции

u = ey-2x+2, где x = sin t ,	y = cos t при t =	p	, с точностью
	2

до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez + x + 2y + z = 4, в данной точке M0 (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = xy

указанному уравнению y ¶2u = (1 + y ln x) ¶u .

¶x¶y ¶x

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 + z2 + 6z + 4x = 8, M0(-1,1,2); б) S: x2 – y + z2 - 6 = 0, M0(1,-1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции

x

z = arcsin( x + y ) в т. M0(5,5) в направлении линии y2 = 5x в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x - x2 - xy - y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 5x2 + y2 - 3xy в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.

20