Учебное пособие 948
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
m1 |
|
n1 |
. |
|
|
|
(3.16) |
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
m2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|||
|
|
Условие перпендикулярности прямых записывается как |
||||||||||||||
условие перпендикулярности направляющих векторов q1 |
и q2 : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
l1l2 + m1m2 +n1n2 = 0 |
|
|
(3.17) |
||||||||
|
|
Пример |
3.2.4. |
|
Найти |
угол |
между |
прямой |
||||||||
|
x 3 |
|
y 4 |
|
z 5 |
и прямой, |
проходящей |
через |
две |
точки |
||||||
|
2 |
|
3 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 2, 3,1 и B 1,1,1 .
Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой q 2; 1;3 . Для второй прямой направляющим явля-
ется вектор AB 3;4;0 . Угол между направляющими векторами вычислим, используя формулу (3.15)
cos |
|
2 3 1 4 3 0 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 2 1 2 32 32 42 02 |
|
14 25 |
|
5 14 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
5 14 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки M0 x0; y0;z0 до прямой
x x1 lt,
y y1 mt, вычисляется по формуле
z z1 nt
|
|
y y |
0 |
z z |
0 |
|
2 |
|
|
x x |
z z |
0 |
|
2 |
|
|
x x |
0 |
y y |
0 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||
d |
|
m1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
l1 |
|
m1 |
|
|
|
.(3.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 |
m |
2 n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
Пример 3.2.5. Найти расстояние d от точки M0 1; 2;3 до
x 9 2t,
прямой y 4 4t,
z 7 4t.
Решение. Воспользуемся формулой (3.18). Так как x0 1, y0 2,z0 3,x1 9, y1 4,z1 7,l1 2,m1 4,n1 4, то
4 ( 2) |
7 32 |
9 1 |
7 32 |
9 1 |
4 ( 2) 2 |
d |
|
4 |
4 |
|
|
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( 2)2 ( 4)2 42 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
402 |
402 ( 20)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3600 |
|
10. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
16 16 |
36 |
|
|
|
|
|
|
3.2.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости
Две прямые в пространстве могут: пересекаться; быть параллельными; скрещиваться. В первых двух случаях прямые
лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть прямые |
L1 |
и L2 |
заданы каноническими уравне- |
||||||||||
ниями: |
x x1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
; |
x x2 |
|
y y2 |
|
z z2 |
. |
|
|
l1 |
|
m1 |
|
|
n1 |
l2 |
|
m2 |
|
n2 |
Для принадлежности двух прямых к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора
М1М2 x2 x1;y2 y1;z2 z1 , (M1 и |
M2 точки на прямых |
L1 и |
L2 ),q1 l1;m1;n1 ;q2 l2;m2;n2 |
были компланарны, |
т.е. |
смешанное произведение этих векторов равно нулю:
M |
|
|
|
, q |
q |
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
0 (3.19) |
1 |
M |
2 |
2 |
l |
m |
n |
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
l2 |
m2 |
n2 |
|
- условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
61
|
|
Пример |
|
3.2.6. |
Доказать, |
что |
прямые |
x 2t 3 |
|
x t 5 |
|
|
|||
|
|
и |
|
|
|
|
|
y 3t 2 |
y 4t 1 пересекаются. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4t 6 |
|
z t 4 |
|
|
|||
|
|
Решение. Применим формулу (3. 9). |
|
|
|||
|
5 3 |
1 2 |
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
4 |
8(3 16) (2 4) 10( 8 3) |
|
||
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
=-104 – 6 + 110 = 0.
Таким образом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, поскольку не параллельны.
3.2.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Угол между прямой L ( |
х х1 |
|
y y1 |
|
z z1 |
) и плос- |
l |
m |
|
||||
|
|
|
n |
костью ( Ax By Cz D 0) является дополнительным к углу между вектором нормали плоскости n A;B;C и направляющим вектором прямой q l;m;n; , поэтому
sin cos( |
|
) cos |
|
|
Al Bm Cn |
|
. (3.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
l2 m2 n2 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
q |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12
62
Условие параллельности прямой и плоскости эквива-
лентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости
Аl +Bm +Cn = 0. (3.21)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости экви-
валентно условию параллельности n и q
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
C |
. |
|
|
|
|
|
(3.22) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
|
Пример 3.2.7. При каком значении lи m прямая |
||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z 3 |
и плоскость |
5x 3y z 4 0 |
перпендику- |
||||||||||||
|
l |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лярны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности |
||||||||||||||||||
прямой и |
плоскости. |
Тогда |
5 |
|
3 |
|
1 |
. |
Получаем |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l m |
2 |
|
l 10;m 6.
x 2 5t;
Пример 3.2.8. При каком значении n прямая y 3 2t;
z 5 nt
параллельна плоскости 2x 4y 6z 7 0.
Решение. Используем условие параллельности прямой и плоскости (3.21). Подставляя соответствующие значения в это уравнение, получим 2 5 4 2 ( 6) n 0 или 18 6n 0,откуда n 3.
3.2.7. Пересечение прямой и плоскости
x x1 t
Координаты точки пересечения прямой y y1 mt и
z z1 nt
плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений
63
Ax By Cz D 0 |
|
||||
x x |
t |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
y y |
mt |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
z z |
nt |
. |
(3.23) |
||
|
1 |
|
|
|
|
Пример 3.2.9. |
Найти |
точку |
пересечения |
плоскости |
|
|
|
x 6 2t; |
|
||
|
|
|
|
|
|
3x 4y 5z 16 0 и прямой y 7 t; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 8 3t. |
|
||
Решение. Решим совместно систему уравнений прямой и |
|||||
плоскости. Подставим выражение |
для x; y;z в |
уравнение |
|||
плоскости 3( 6 2t) 4(7 t) 5(8 3t) 16 0. |
|
||||
После упрощения получим 5t 10 0,откуда t 2. Из |
|||||
уравнения прямой при t 2 |
находим координаты точки пере- |
сечения x 2;y 5;z 2.Таким образом, искомой точкой пересечения является точка N( 2;5;2).
3.3.Прямая на плоскости
3.3.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой
вотрезках. Нормальное уравнение прямой
Рассмотрим прямую L в декартовой прямоугольной системе координат Oxy . Пусть прямая L содержит точку
Mo xo , yo и нормальный вектор n= A;B . Уравнение прямой,
содержащей точку Mo , и перпендикулярной вектору n, полу-
чается из условия перпендикулярности векторов |
n и |
МоМ x xo, y yo |
|
A(x xo ) B(y yo ) 0. |
(3.24) |
64
y
n A;B x
0
Рис. 13
Упрощая уравнение (3.24), получаем уравнение прямой общего вида
Ax By C 0,. |
(3.25) |
где вектор n= A;B является нормальным вектором прямой.
Если хотя бы один из коэффициентов A,B,C уравнения (3.25) равен нулю, то уравнение называется неполным. Например, прямая Ax By 0 проходит через начало координат, прямая Ax C 0 параллельна оси Oy .
Полное уравнение прямой может быть приведено к урав-
нению прямой в отрезках:
|
|
|
|
|
|
х |
|
у |
1, |
(3.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C |
|
|
C |
|
a |
b |
|
|||
где a |
, |
b |
. Числа a и b |
равны величинам отрез- |
|||||||
|
|
||||||||||
|
A |
|
B |
|
|
|
ков, которые от начала координат отсекает прямая на осях Ox и O у, соответственно.
Выбирая в уравнении прямой общего вида нормальный вектор единичной длины, получим нормальное уравнение прямой на плоскости
Ax |
By |
C |
0 или |
xcos ycos 0 . |
(3.27) |
|
|
|
|||
|
A2 B2 |
|
|
Расстояние d от произвольной точки М0 (x0;y0) до прямой (3.25) определяется формулой
65
d |
Axo |
Byo |
C |
|
. |
(3.28) |
|
|
|
|
|||||
A2 B2 |
|||||||
|
|
|
|
||||
Пример 3.3.1. Даны вершины треугольника |
A(5;1), |
B(3; 2), C( 1;1). Составить уравнение высоты AD.
Решение. Так как высота AD перпендикулярна стороне BC , то вектор BC 4;3 является вектором нормали для прямой AD . Тогда общее уравнение прямой AD имеет вид
4(x 5) 3(y 1) 0 или 4x 3y 17 0.
3.3.2. Каноническое уравнение прямой
Если ориентацию прямой на плоскости описывать с по-
мощью направляющего вектора прямой q= l;m и ввести
точку Mo xo , yo , принадлежащую прямой, то из условия па- |
||||||
раллельности векторов q |
и М0М = x x0; y y0 легко по- |
|||||
лучить каноническое уравнение прямой |
|
|||||
|
x x0 |
|
|
y y0 |
. |
(3.29) |
|
l |
|
|
|||
|
|
|
m |
|
||
Если в качестве направляющего |
вектора взять вектор |
М1М2 = x2 |
x1;y2 |
y1 , то можно получить уравнение прямой, |
|||||
проходящей через две данные точки M1(х1, у1), M2(х2,у2): |
|||||||
|
|
|
х х1 |
|
у у1 |
. |
(3.30) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х2 х1 |
у2 у1 |
|
Пример 3.3.2. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника c вершинами A(1;3);B( 2; 4);C(5;2).
Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (2.8), найдем координаты точки Е.
66
xE |
|
xB xC |
|
2 5 |
|
|
3 |
; |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||
yE |
|
|
yB yC |
|
|
4 2 |
|
1. |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Зная координаты точки Е( |
3 |
; 1) и |
А(1;3), составим кано- |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ническое уравнение прямой, проходящей через две точки |
||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
y 3 |
или |
|
x 1 |
|
y 3 |
. |
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 3 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.3.3. Даны вершины треугольника: А(1;1), B(10;13), C(13;6). Составить уравнение биссектрисы угла А.
Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла
треугольника |
|
следует, |
|
|
что |
|
|
|
BD |
|
|
|
|
|
AB |
|
|
. |
Но |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
DC |
|
|
|
|
AC |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
AB |
|
|
|
(10 1)2 |
(13 1)2 |
15, |
|
|
AC |
|
|
|
|
(13 1)2 (6 1)2 |
|
|
13. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Следовательно, |
|
BD |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
DC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Так как известно отношение, в котором точка D делит |
||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезок ВС , то координаты точки D определятся по формулам |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 (15 |
)13 |
|
13 (15 |
)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
13 |
, y |
|
13 |
, |
т.е. D(325 |
;259 |
). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 15 |
|
|
|
|
|
1 15 |
|
|
|
|
|
|
28 |
28 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходя-
щей через точки А и D: |
y 1 |
|
|
x 1 |
|
, т.е. 7x 9y 2 0. |
|||
259 |
1 |
325 |
1 |
||||||
|
|
|
|||||||
|
28 |
|
|
|
28 |
|
|
|
67
3.3.3. Параметрические уравнения прямой
Примем за параметр t величину |
х х0 |
|
у у0 |
= t, где |
l |
|
|||
|
|
m |
t . Тогда, находя выражения для x и y, получим па-
раметрические уравнения прямой на плоскости:
x lt x1, |
(3.31) |
|
|
y mt y1. |
|
3.3.4. Уравнения прямой с угловым коэффициентом |
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом |
y kx b |
(школьное уравнение) является отражением того, что прямая является единственным геометрическим объектом на плоскости, описывающим линейную зависимость между переменными x и y .
Если же имеется точка Mo xo , yo , принадлежащая пря-
мой, и угловой коэффициент k tg , где - угол между прямой и положительным направлением оси Оx, то можно заметить, что независимо от положения текущей точки прямой M(x, y) будет выполняться соотношение, называемое уравне-
нием прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку:
k |
y y0 |
. |
(3.32) |
|
|||
|
x x0 |
|
3.3.5. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности
двух прямых
Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
68
A1x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0. Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между
нормальными векторами n1= A1;B1 |
и |
n2 = A2;B2 |
по из- |
|||||||
вестной формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
|
A1 A2 |
B1B2 |
|
, |
(3.33) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A2 |
B |
2 |
|
A2 |
B2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
где угол между прямыми.
Условие параллельности эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 :
A1 |
|
B1 |
. |
(3.34) |
A2 |
|
|||
|
B2 |
|
Условие перпендикулярности прямых соответствует пер-
пендикулярности векторов n1 и n2 :
|
|
|
|
A1A2 B1B2 |
0 . |
|
|
|
(3.35) |
|||||||||||
Если прямые L1 |
и L2 заданы каноническими уравнения- |
|||||||||||||||||||
ми: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х х1 |
|
у у1 |
|
|
|
х х2 |
|
у у2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m1 |
|
|
||||||||||||||||
|
l1 |
|
, |
|
l2 |
|
|
|
|
|
m2 |
, |
||||||||
где направляющие векторы q1 |
= {l1, m1} и |
q2 |
= {l2, m2}, тогда |
|||||||||||||||||
косинус угла между прямыми вычисляется по формуле: |
||||||||||||||||||||
|
cos = |
|
|
|
|
l1l2 m1m2 |
|
|
, |
(3.36) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
l 2 |
m 2 |
|
l |
2 m |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
а условия параллельности и перпендикулярности прямых принимают вид
|
l1 |
|
|
m1 |
, |
(3.37) |
|
l2 |
|
|
|||
|
|
|
m2 |
|
||
l1l2 |
m1m2 0. |
(3.38) |
||||
Если прямые L1 и L2 |
заданы уравнениями с угловыми |
|||||
коэффициентами y k1x b1 |
и y k2 x b2 , то может быть вы- |
|||||
числен тангенс угла между прямыми по формуле |
|
|||||
|
|
69 |
|
|