Учебное пособие 1121
.pdf
|
1 |
|
l |
|
(n m) x |
|
l |
|
(n m) x |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sin |
|
sin |
|
|
0. |
||||||
2 |
(n m) |
l |
(n m) |
l |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично доказывается равенство нулю остальных интегралов. Установим, наконец, справедливость равенств
l |
1 2 |
l |
|
l |
2 n x |
|
l |
2 |
n x |
|
||
|
|
dx |
|
, |
cos |
|
|
dx l , |
sin |
|
|
dx l , n N . |
2 |
2 |
|
l |
|
l |
|||||||
l |
|
|
l |
|
|
l |
|
|
Первое из них, не содержащее тригонометрических функций, очевидно. Далее имеем
l |
2 n x |
|
1 |
l |
|
|
cos |
|
|
dx |
|
1 |
cos |
|
l |
2 |
||||
l |
|
|
l |
|
2n x |
1 |
l |
|
2n x |
|
||
|
dx l |
|
|
cos |
|
dx l , |
|
l |
2 |
l |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
l |
2 n x |
|
1 |
l |
|
|
sin |
|
|
dx |
|
1 |
cos |
|
l |
2 |
||||
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2n x |
1 |
l |
|
2n x |
|
||
|
dx l |
|
|
cos |
|
dx l . |
|
l |
2 |
l |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2.3.3. Коэффициенты и ряд Фурье
Пусть при каждом x [ l ; l] тригонометрический ряд (2.32) сходится. Тогда его сумма является функцией от переменной x . Обозначив её черезF(x) ,
можно записать |
a |
|
|
|
n x |
|
n x |
||
|
|
|
|||||||
F x |
|
0 |
an cos |
|
bn sin |
|
. |
||
2 |
l |
l |
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
Очевидно, что в рассматриваемом случае ряд (2.32) сходится при любом x E1 , а его сумма F(x) на самом деле является 2l - периодической функцией, определённой на всей вещественной оси. Поэтому записанное равенство выполняется при любом x E1 .
Определение. Если функция f (x) , определённая на промежутке [ l ; l] ,
является на этом промежутке суммой тригонометрического ряда (2.32), так что справедливо равенство
61
|
a |
|
|
|
n x |
|
n x |
|
||
f (x) |
|
0 |
an cos |
|
bn sin |
|
, |
(2.34) |
||
2 |
l |
l |
||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||
то говорят, что функция |
f (x) разлагается на промежутке |
[ l ; l] в тригоно- |
||||||||
метрический ряд. |
|
|
f (x) |
разлагается на промежутке [ l ; l] в триго- |
||||||
Ясно, что если функция |
|
нометрический ряд, то с необходимостью выполняется условие f ( l) f (l). Теорема. Пусть функция f (x), определённая и непрерывная на отрезке [ l ; l], разлагается на этом отрезке в тригонометрический ряд (2.34), кото-
рый обладает следующими свойствами: можно интегрировать почленно сам ряд и ряды, получающиеся из данного умножением его на произвольную функцию тригонометрической системы. Тогда коэффициенты a0 , an ,bn , n 1, 2,... находятся по формулам
|
a 1 l |
f x dx , |
|
|||||
|
0 |
l l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 l |
f x cos |
n x |
dx , |
(2.35) |
|||
|
|
|||||||
n |
l l |
|
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
|
||||
b |
1 l |
f x sin |
n x |
dx , |
|
|||
|
|
|||||||
n |
l l |
|
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
|
n 1, 2, ... .
До к а з а т е л ь с т в о. Проинтегрируем равенство (2.34) в пределах от
l до l :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
a |
l |
|
|
l |
|
n x |
|
l |
|
n x |
|
|
|
f x dx |
0 |
dx an cos |
|
|
dx |
bn sin |
|
dx |
a0 l |
|||||
2 |
|
l |
l |
|||||||||||
l |
l |
n 1 |
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
a 1 l |
f x dx. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
l l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фиксируем далее произвольный номер m , умножаем равенство (2.34) на cos ml x и интегрируем получившееся равенство от l до l :
62
l |
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
a0 |
l |
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
n x |
|
|
|
m x |
|
|
|||||||||||||||
|
f |
x cos |
dx |
|
|
cos |
dx ( an |
|
|
cos |
cos |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
|
n x |
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
m x |
|
|
|
m x |
|
||||||||||
b |
|
sin |
cos |
|
dx) |
|
a |
|
|
|
cos2 |
dx b |
|
sin |
cos |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
n x |
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
n x |
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(an |
|
|
cos |
cos |
dx |
bn |
|
sin |
cos |
dx) am l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(символом обозначена |
сумма, |
не |
содержащая |
слагаемого |
с номером |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n m ). |
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am |
1 l |
f x cos |
m x |
dx, m 1,2, ... . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично умножая равенство (2.34) на sin |
m x |
|
|
и интегрируя получив- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шееся соотношение по отрезку l; l , получаем формулу |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 l |
|
f x sin m x dx , m 1, 2,... . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
l l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказанная теорема даёт основание ввести следующее
Определение. Пусть f (x) функция, определённая и интегрируемая на
отрезке |
l; l . Тригонометрический ряд, коэффициенты которого определя- |
||||||||
ются |
формулами (2.35), |
называется |
рядом |
Фурье, а числа |
|||||
a0 , an , bn , n 1, 2,... коэффициентами Фурье функции f (x). |
|||||||||
При этом пишут |
a |
|
|
|
n x |
|
n x |
||
|
f x |
|
|
||||||
|
|
0 |
an cos |
l |
bn sin |
l |
|
||
|
|
2 |
n 1 |
|
|
|
63
(заметим, что ряд Фурье функции f (x) может и не иметь суммой функцию f (x) ).
Функция вида
Sn (x) Sn (x ; f ) a0 |
(ak cos k x |
bk sin k x ), |
n 1,2,... |
|
|
n |
|
|
|
2 |
k 1 |
l |
l |
|
называется n й суммой Фурье функции f (x) , при этом S0 (x) a20 .
2.3.4. Сходимость ряда Фурье
Ответ на вопрос о сходимости ряда Фурье даёт приводимая ниже теорема. Напомним сначала понятие кусочно-дифференцируемой (кусочногладкой) функции, для которой и будет сформулирован результат о сходимо-
сти.
Пусть функция f (x) кусочно-непрерывна на отрезке [a;b], т.е. существу-
ет разбиение |
{x }i k |
, |
a x |
x ... x |
k |
b этого отрезка такое, что функция |
|
i i 0 |
|
0 |
1 |
|
f (x) непрерывна на каждом интервале (xi 1 ; xi ), i 1,..., k, и существуют ко- |
|||||
нечные односторонние пределы |
f (xi 0), f ( xi 0), |
i 1,..., k 1, |
f ( x0 0) |
||
f (a 0) , f (xk 0) f (b 0). Пусть далее для каждого индекса |
i 1, 2,..., k |
||||
функция |
|
|
|
|
|
|
f (x), xi 1 x xi , |
|
|
||
fi (x) f (xi 1 |
0), |
x xi 1 , |
|
|
|
|
f (xi |
0), |
x xi |
|
|
дифференцируема на отрезке [xi 1; xi ]. Тогда функция f (x) называется кусоч- но-дифференцируемой (кусочно-гладкой) на отрезке [a;b].
Справедливо следующее утверждение. |
|
|
|||
Теорема. Пусть функция f x |
кусочно-дифференцируема |
на отрезке |
|||
l; l . Тогда ряд Фурье функции f |
x в каждой точке x ( l ;l) |
сходится и |
|||
его сумма равна |
|
|
|
|
|
|
f (x 0) f (x 0) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
В частности, в точках непрерывности функции f x её ряд Фурье сходится к |
|||||
значению функции f x в этой точке. В точках x l и |
x l |
ряд также |
|||
сходится и имеет своей суммой число |
|
|
64
f ( l 0) f (l 0) . 2
З а м е ч а н и е. Пусть функции f x , кусочно-дифференцируемой на отрезке l; l , соответствует ряд Фурье
a |
|
|
|
n x |
|
n x |
||
|
0 |
an cos |
|
bn sin |
|
. |
||
2 |
l |
l |
||||||
n 1 |
|
|
|
В силу приведённой теоремы данный ряд сходится в каждой точке отрезкаl; l . Как уже было отмечено ранее, в этом случае рассматриваемый ряд
будет сходиться в каждой точке числовой прямой. Пусть F(x) его сумма. Ясно, что F(x) представляет собой 2 l периодическую функцию, которая на отрезке l; l задаётся соотношениями
|
f (x 0) f (x 0) |
, x ( l ;l), |
||||||
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
f ( l 0) |
f (l 0) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
F(x) |
|
|
|
|
|
, x l |
, |
|
2 |
|
|
||||||
|
f (l 0) |
|
|
|||||
|
|
|
f ( l 0) |
, x l . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2.3.5. Неполные ряды Фурье
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций
Пусть x |
|
чётная функция на отрезке l ; l , т.е. |
x x |
x l ; l . |
|
|
|
Рис. 4. График чётной функции x , заданной на отрезке l ; l
65
Тогда, учитывая геометрический смысл определённого интеграла, получаем:
l |
x dx 2 l |
x dx |
l |
0 |
|
(площадь криволинейной трапеции, составленной из двух равных по площади трапеций, симметричных относительно оси Ox , равна удвоенной площади любой из этих трапеций).
Пусть теперь x нечётная функция, заданная на отрезке l ; l , так что x x x l ; l .
Рис. 5. График нечётной функции ( x) , заданной на отрезке l ; l
Тогда
l
x dx 0
l
(интеграл от нечётной функции по симметричному относительно точки x 0
интервалу равен разности площадей равновеликих плоских фигур, т.е. нулю). Заметим ещё, что произведение двух чётных или нечётных функций является чётной функцией, а произведение чётной и нечётной функций нечёт-
ной функцией.
Поэтому при разложении чётной функции f x в ряд Фурье следует учесть, что
|
|
a0 |
1 l |
f |
x dx |
2 l |
f x dx , |
(2.36) |
|
|
|
l l |
|
|
l 0 |
|
|
an |
1 l |
f x cos n x dx |
2 l |
f x cos n x dx , |
(2.37) |
|||
|
l l |
|
|
|
l |
l 0 |
l |
|
|
|
b |
1 l |
f x sin n x dx 0 , |
(2.38) |
|||
|
|
n |
l l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1, 2, ... .
66
В результате для |
f |
x получаем неполный ряд Фурье по косинусам |
|
||||||||||
|
|
|
f x a0 |
|
n x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
an cos |
, |
|
|
(2.39) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
n 1 |
|
l |
|
||||||
коэффициенты которого определяются по формулам (2.36) и (2.37). |
|
||||||||||||
Пусть теперь f x |
нечётная функция, тогда |
|
|||||||||||
|
|
|
a0 |
1 l |
f x dx 0 , |
(2.40) |
|||||||
|
|
|
|
|
l l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
an 1 l |
f x cos |
n x |
dx 0 , |
(2.41) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
l l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
b |
1 l |
f x sin |
n x |
dx 2 l |
f x sin |
n x |
dx , |
(2.42) |
|||||
|
|
||||||||||||
n |
l l |
|
|
l |
|
l 0 |
|
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1, 2, ... .
Врезультате получаем неполный ряд Фурье по синусам
|
n x |
|
|
|
f x bn sin |
, |
(2.43) |
||
l |
||||
n 1 |
|
|
||
в котором коэффициенты bn определяются по формуле (2.42). |
|
|||
П р и м е р ы |
|
|
|
|
1. Разложить в ряд Фурье на интервале ( ; ) функцию f |
x x . |
В рассматриваемом случае l . Найдём коэффициенты Фурье функции f x x . Поскольку f x нечётная функция, то все коэффициенты an , n 0,1, 2, ... равны 0, а коэффициенты bn , n 1, 2, 3, ... находятся по формуле
|
|
1 |
|
|
n x |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
bn |
|
f x sin |
dx |
|
x sin nxdx |
x sin nxdx |
xd ( cos nx ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
n |
67
2n x cos nx
Таким образом,
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
cos nx dx n cos n |
|
|
sin nx |
|
n |
( 1) |
|
|
||||
0 |
n |
n2 |
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( 1)n 1 |
|
2 |
( 1)n 1 |
, n 1,2, ... . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
f (x) 2 ( 1) |
sin nx , |
|
n 1 |
n |
|
при этом справедливо равенство
|
|
|
|
n 1 |
|
|
x 2 ( 1) |
sin nx , x . |
(2.44) |
||
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
( 1) |
n 1 |
|
|
|
Пусть F (x) 2 |
sin nx , x . Тогда F(x) x при x , а |
||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
F( ) F( ) 0. |
График 2 периодической функции F(x) изображён на |
рис. 6.
Рис. 6. График функции F ( x) суммы ряда Фурье функции f (x) x
Положив в формуле (2.44) |
x |
, получим равенство |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2 ( 1) |
sin n . |
(2.45) |
||
2 |
|
n 1 |
n |
2 |
|
Заметим, что все члены ряда из формулы (2.45) с чётными номерами n
равны 0. |
Рассмотрим теперь члены этого ряда с нечётными номерами |
n 2k 1, |
k N . Имеем: |
68
( 1)n 1 |
sin |
n |
|
( 1)2k 2 |
sin (2k 1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
sin (k |
|
|
) |
|
1 |
|
|
||||||||||
n |
2 |
2k 1 |
2 |
|
2k |
1 |
2 |
2k |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( cos k ) |
1 |
|
|
( 1) ( 1)k |
|
|
|
1 |
|
|
( 1)k 1 |
|
|
1 |
|
|
( 1)k 1. |
|
||||||||||||
2k |
1 |
|
|
2k 1 |
2k 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поэтому равенство (2.45) можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( |
1)k 1 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из последнего соотношения получаем: |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2n 1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Разложить в ряд Фурье на отрезке |
; функцию |
f |
x x2 . |
|
|
|
Данная функция является чётной, и потому в результате разложения её в ряд Фурье получим неполный ряд по косинусам. Вычислим её коэффициенты Фурье an :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
x2dx |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
sin nx |
|
|
|
2 |
|
|
2 sin nx |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
an |
|
x |
|
cos nxdx |
|
|
x |
d ( |
|
|
n |
|
) |
|
x |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
x sin nxdx |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
cos nx |
|
|
4 |
|
|
|
cos nx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x sin nxdx |
|
|
xd ( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nxdx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
0 |
|
n |
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
cos n |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n , n 1, |
|
2,... . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем следующее разложение в ряд по косинусам:
69
x2 |
2 |
|
12 |
n |
|
|
|
||||
|
4 |
cos nx , x |
(2.46) |
||
3 |
n 1 |
n |
|
|
|
(равенство выполняется и в граничных точках x и |
x , поскольку |
||||
F( ) F( ) ( f ( 0) f ( 0)) / 2 |
( f ( ) f ( )) / 2 f ( ) f ( ) ). |
Рис. 7. График суммы ряда Фурье F (x) функции f x x2
Интересно отметить, что, подставив x 0 в формулу (2.46), получим ра-
венство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
n |
2 |
, |
|
|
|
||||||||||
из которого следует формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
+ ... ( 1)n 1 |
1 |
+ ...= 2 . |
|||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
12 |
||||
Подставив же в формулу (2.46) |
x , получим равенство |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|||||
из которого следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
... |
|
1 |
|
... |
|
2 |
. |
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
n |
2 |
|
6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ряд Фурье для функции, определённой на отрезке 0; l |
||||||||||||||||||||||||||
Пусть функция f (x) |
задана только на отрезке 0; l . Требуется разложить |
|||||||||||||||||||||||||
в ряд Фурье на отрезке l ; l |
некоторую функцию f (x) такую, чтобы сумма |
|||||||||||||||||||||||||
её ряда Фурье на отрезке 0; l |
(или на интервале (0;l) ) совпадала бы с f (x) . |
70