Учебное пособие 1439
.pdf2.РЯДЫ
2.1.Числовые ряды
2.1.1.Ряды. Сходимость ряда
Кпонятию числового ряда приходят, пытаясь обобщить суммы конечного числа слагаемых на бесконечные суммы. Очевидно, что, во-первых, требуется задать правило, по которому определяется сумма бесконечного числа слагаемых, во-вторых, а затем ответить на вопрос, как эту сумма вычислить. Обычно рассматриваются бесконечные суммы, в которых слагаемые задаются по некоторому общему правилу
Определение |
1. |
Числовым |
рядом |
называется |
выражение |
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 + a 2 + ... + a k + ... = ∑a k |
, |
в |
котором |
члены |
a k |
последовательности |
|||
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
{a k }∞k =1 соединены знаком плюс. |
Числа a k , |
k = 1,2,… |
называются членами |
||||||
ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= a1 + a 2 + ... + a n |
|
|
||
Определение 2. Сумма S n |
= ∑a k |
называется |
|||||||
|
|
∞ |
|
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n-й частичной суммой ряда ∑a k . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
k = 1 |
|
|
образуют последовательность {S n }∞n =1 |
||||
Частичные суммы S n , n = 1, 2,... |
|||||||||
частичных сумм. |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3. |
Ряд ∑a k |
называется сходящимся, если сходится по- |
|||||||
следовательность {S n }∞n =1 |
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
его |
частичных |
сумм. |
Если |
последовательность |
{S n }∞n =1 не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся.
Вопрос об исследовании сходимости данного ряда зачастую является достаточно сложным и требует применения точных результатов. Однако в каждом случае нужно иметь в виду следующий результат, который мы сформулируем в видах пригодных для доказательства сходимости и расходимости исследуемого ряда.
∞
Утверждение (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд ∑a n
n = 1
сходится, то lim a n = 0 .
n → ∞
51
Утверждение |
∞ |
(необходимое условие расходимости ряда). |
Если |
|
|
|
|
lim a n ¹ 0 , то ряд |
∑a n расходится. |
|
|
n → ∞ |
n = |
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
Если ряд ∑a k сходится, то число S = lim S n называется суммой ряда и |
||
k = |
1 |
n → ∞ |
|
||
|
∞ |
|
в этом случае пишут ∑a k = S . |
|
|
|
k = 1 |
|
Заметим, что определение 1.1.2 показывает, как по последовательности членов ряда построить последовательность его частичных сумм. Но и, наобо-
рот, зная последовательность {S n }∞n =1 частичных сумм ряда, |
можно записать |
последовательность a1 = S1 , a 2 = S 2 − S1 , ..., a n = S n − S n−1 , |
... его членов. |
Таким образом, числовой ряд полностью определяется каждой из двух после-
довательностей {a k }∞k =1 или {S n }∞n =1 .
Из всего сказанного следует, что всякий вопрос относительно сходимости рядов можно переформулировать в вопрос о сходимости последовательностей, и наоборот. В частности, из критерия Коши сходимости последовательности получается следующее утверждение.
∞
Критерий Коши сходимости ряда. Пусть дан ряд ∑a n . Следующие
n = 1
условия эквивалентны:
|
∞ |
|
1) |
ряд ∑a n сходится; |
|
|
n = |
1 |
2)для каждого ε > 0 можно найти число nε N такое,
что для всех n > nε и для каждого целого p ³ 0 выполняется нера-
венство a n + a n+1 + ... + a n + p < ε .
Такую форму записи критерия Коши удобно использовать для доказательства сходимости исследуемого ряда. Однако часто критерий Коши применяется для доказательства того, что ряд расходится. В этом случае удобно использовать следующую эквивалентную формулировку этого критерия.
∞
Критерий Коши расходимости ряда. Пусть дан ряд ∑a n . Следующие
n = 1
условия эквивалентны:
52
|
∞ |
1) |
ряд ∑a n расходится; |
|
n = 1 |
2) |
найдется ε > 0 такое, что для каждого n N можно найти целое |
число p ³ 0 так, чтобы выполнялось неравенство a n + a n +1 + ... + a n + p ³ ε .
Примеры решения задач
В примерах 2.1 – 2.3 |
найти сумму ряда или установить его расходимость. |
||
∞ |
1 |
|
|
Пример 2.1. ∑arctg |
. |
||
2 n2 |
|||
n = 1 |
|
Решение. Запишем члены последовательности частичных сумм данного ряда, воспользовавшись при этом формулой суммы арктангенсов:
S1 |
= arctg |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
S2 |
= arctg |
|
|
+ arctg |
= arctg |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
= arctg |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
8 |
|
1- |
× |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
S3 |
= arctg |
|
+ arctg |
= arctg |
|
|
|
|
|
|
18 |
= arctg |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
2 |
|
× |
|
1 |
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
18 |
|
|
|
|
|
||||||||||
По индукции можно записать n-частичную сумму |
Sn = arctg |
n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg1 = π . |
||
Тогда S = lim Sn = lim arctg |
n |
|
= arctg lim |
|
n |
|
|||||||||
n +1 |
|
|
|
||||||||||||
|
n → ∞ |
|
n → ∞ |
n → ∞ n +1 |
4 |
||||||||||
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
S = π . |
|||||
Итак, ряд ∑arctg |
|
|
сходится и сумма его |
||||||||||||
2 n2 |
|||||||||||||||
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2.2. ∑ ln |
1 + |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n =1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Преобразуем общий член ряда следующим образом
53
|
|
|
1 |
|
n +1 |
|
= ln ( n +1 )− ln n . |
||
a n |
= ln 1 |
+ |
|
|
= ln |
|
|
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
Тогда для n-частичной суммы ряда будем иметь
Sn = ln 2 − ln1 + ln 3 − ln 2 + ... + ln n − ln (n − 1) + ln (n + 1) − ln n = ln (n + 1) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
||
lim S n |
= lim ln (n + 1) = ∞ , следовательно, ряд ∑ ln |
1 + |
|
|
|
расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n → ∞ |
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
n |
|
|||
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример |
2.3. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n (n + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Представим общий член ряда в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a n = |
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n (n +1) |
|
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда для S n получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Sn = 1− |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+ ... + |
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
+ |
1 |
− |
|
1 |
|
= 1− |
1 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 2 3 |
|
|
|
n −1 n n n |
+1 |
|
n +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lim Sn = |
lim |
1− |
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n → ∞ |
n → ∞ |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это означает, что ряд |
∑ |
|
|
|
|
|
сходится и его сумма S = 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n =1 n (n + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Этот пример имеет полезное обобщение, а именно, имеет место следую- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щее утверждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение. Если общий член ряда ∑ a n может быть представлен в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
виде a n = b n − b n+1 и существует конечный предел |
lim b n , |
то ряд сходится и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
||
его сумма находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = b1 |
− lim |
|
b n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.1) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем n-частичную сумму ряда, учитывая условие a n = b n − b n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
(b k − b k +1 )= b1 − b 2 + b 2 − b3 + ... + b n−1 − b n + b n − b n+1 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn = ∑ a k = ∑ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k =1 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
= b1 − b n+1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда |
S = lim S n |
= lim |
(b |
1 − b n+1 )= b1 − lim |
b n+1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
→ ∞ |
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
54
Но если существует lim b n , то
n → ∞
В примерах 2.4 – 2.6 покажем, утверждение.
lim |
b n +1 |
= lim b n |
S = b1 |
− lim b n . |
n → ∞ |
|
n → ∞ |
|
n → ∞ |
как может быть использовано доказанное
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.4. Найти сумму ряда ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 n (n +1)...(n + p) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Преобразуем общий член данного ряда к виду a n |
= b n − b n+1 . |
|||||||||||||||||||||||||
a n = |
|
|
1 |
= |
1 |
× |
|
|
|
n + p − n |
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
|
n (n +1)...(n + p) |
|
n (n +1) (n + 2)...(n + p - |
1) (n + p) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
× |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
= b |
n |
- b |
n +1 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
n (n +1)...(n + p -1) |
|
(n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+1) (n + 2)...(n + p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
где |
b |
= |
1 |
× k(k +1)...(k + p -1) |
, то есть b |
является произведением нату- |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ральных чисел от k до k + p −1, умноженным на коэффициент |
1 |
. |
Выражения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
для bn |
и bn+1 получаются, если заменить k на n или n +1 соответственно. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда |
|
b1 |
= |
|
1 |
× |
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
1 |
|
и согласно утверждению |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1× 2 ×...× p |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
× p! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
S = |
|
1 |
|
|
|
- lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
p × p! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
→ ∞ p n (n +1)...(n + p -1) |
|
|
|
|
p × p! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2.5. Найти сумму ряда ∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n (n |
|
+ p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. Как и в предыдущем примере, преобразуем общий член ряда к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виду a n = b n − b n+1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n + p - n |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a |
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
× |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n (n + p) |
|
|
p n (n + p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p n |
|
|
|
n + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- ... - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + p -1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
p n n +1 n +1 |
|
|
|
|
+ p -1 n + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
... + |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
= b |
n |
- b |
n+1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + p -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
p |
n n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 n + 2 |
|
n + p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для b1 получаем
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
1 |
= |
|
1 + |
|
+ ... + |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
p |
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
S = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
lim |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p k =1 k n → ∞ p n |
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
n + p − 1 |
p k =1 k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2.6.Найти сумму ряда ∑ arctg |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n2 |
+ n |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Заметим, что |
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
n +1− n |
|
, |
|
тогда для общего члена |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + n +1 |
+ n (n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a n можно получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1) − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
a n = arctg |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= arctg |
|
= arctg (n +1) - arctg n = bn+1 − b n . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n2 + n + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1+ n (n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Отсюда для суммы ряда надо использовать выражение (1.1) с обратным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаком, то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S = lim b n − b1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для исследуемого ряда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
− |
π |
= |
π |
|
|
|
|
||||||||||
S = lim arctg n − arctg1 = arctg lim n − arctg1 = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2.7. Найти сумму ряда ∑ n q n−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
При |
|
q |
|
³ 1 ряд расходится, |
|
так как для него в этом случае не |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется необходимое условие сходимости. При |
|
q |
|
|
< 1 сумму этого ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
можно найти дифференцированием геометрической прогрессии, что и будет сделано в разделе «Функциональные ряды». Здесь же будет продемонстрирован полезный для практики прием суммирования, не использующий дифференциальное исчисление.
Запишем n-частичную сумму в специальном виде с использованием конечного числа алгебраических операций:
56
Sn = |
1 |
+ |
2q |
+ |
3q 2 |
+ ... |
+ |
= |
1 |
+ |
q |
+ |
q 2 |
+ ... |
+ |
|
|
+ |
q |
+ |
q 2 |
+ ... |
+ |
|
|
|
|
+ |
q 2 |
+ ... |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ ... .... |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(n -1) q n−2 q n−2 q n−2 q n−2
...
q n−2
+n q n−1
+q n−1
+q n−1
+q n−1
... ...
+q n−1
+q n−1
|
1 |
(1 + q + q 2 + |
... + q n−1 - n q n )= |
1 |
|
|
|
1 - q |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
- n q n |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 - q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - q |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
- |
|
q n |
|
|
- |
|
n q n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- q) 2 |
|
- q) |
2 |
|
1 |
- q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(1 |
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
lim S |
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
- |
|
× q n - |
|
|
× n q n |
= |
. |
||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n → ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 - q) |
1 |
- q |
|
|
|
(1 - q) |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
n → ∞ (1 - q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Итак, |
S = |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(1 − q)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
+
+
+
+
+
=
В примерах 2.8 - 2.9 показывается, как могут быть использованы критерий Коши сходимости ряда и необходимое условие сходимости.
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.8. Пусть ряд ∑ a n с положительными членами расходится. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
a |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
Доказать, что расходится также ряд ∑ |
|
, где Sn |
= ∑ a k . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n= 1 |
Sn |
|
k = 1 |
|
|
|
||||
Решение. Запишем очевидное неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a n+1 |
+ |
a n+2 |
+ ... + |
a n+ p |
> |
a n+1 + a n+2 + ... + a n+ p |
= |
|
Sn+ p − Sn |
= 1− |
Sn |
, |
||||
|
Sn+1 |
Sn+2 |
Sn+ p |
|
Sn+ p |
|
|
Sn+ p |
Sn+ p |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в котором n N, |
p N и p > n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
∞
Так как ряд ∑ a n имеет положительные члены, то Sn+1 > Sn , а так как
n=1
ряд расходится, то Sn → + ∞ при n → ∞ . Поэтому каким бы большим ни взять
n, всегда можно выбрать p такое, что |
|
Sn |
< |
1 |
, и, следовательно, |
|||||||||||
Sn+ p |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a n+1 |
+ |
a n+2 |
+ ... + |
a n+ p |
> |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn+1 |
Sn+2 |
Sn+ p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
a |
n |
|
|
|
|
|||
Таким образом, для ряда ∑ |
|
не выполняется условие 2) критерия Ко- |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
Sn |
|
|
|
|
|
ши и, следовательно, ряд расходится.
∞
Пример 2.9. Доказать, что при α ¹ k π (k ÎZ ) ряд ∑sin nα расходится.
n = 1
Решение. Покажем, что для этого ряда не выполняется необходимое условие сходимости. Доказательство проведем от противного. Предположим, что sin nα ® 0 при n → ∞ , тогда sin (n +1)α ® 0 при n → ∞ , то есть
sin nα cosα + cosnα sinα ® 0 при n → ∞ .
Отсюда следует, что cosnα ® 0 при n → ∞ , так как sinα ¹ 0. Таким образом, если sin nα ® 0 при n → ∞ , то и cosnα ® 0 при n → ∞ , что невозможно,
∞
потому что sin2 nα + cos2 nα = 1. Итак, ряд ∑sin nα при α ¹ k π расходится.
n = 1
Задачи для самостоятельного решения
Найти суммы или непосредственно по определению сходимости (расхо- димости) установить расходимость следующих рядов.
|
∞ |
(−1)n+1 |
|
|
1 |
|||||||||
1. |
∑ |
|
|
|
2 |
+ |
|
. |
||||||
n + 1 |
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
n |
||||||||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
∑arctg |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(n + 1)2 −1 |
n2 −1 |
||||||||
5. |
∑arcsin |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n (n + 1) |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
2. |
∑ |
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
(2n −1)(2n + 5) |
||||||
|
∞ |
|
1 |
|
2n + 1 |
|
||
4. |
∑sin |
cos |
. |
|||||
n2 + n |
|
|||||||
|
n =1 |
|
|
n2 + n |
∞
6. ∑logn+1 3(1 − logn (n + 1)).
n=2
58
|
∞ |
2n − 1 |
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
||
7. |
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
8. ∑ ln 1 |
(n + 1) |
2 |
. |
|||||
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
π2 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
9. Известно, что ∑ |
|
= |
|
. Найти сумму ряда ∑ |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n=1 n2 |
|
6 |
|
n=1 (2n −1)2 |
|
10. Пусть {an }∞n =1 является арифметической прогрессией, все члены и разность
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
||
d которой отличны от нуля. |
Доказать, что ряд ∑ |
1 |
|
расходится. Найти сумму |
|||||||
|
|||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
n=1 an |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда ∑ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
n=1 an an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Показать, |
что |
всякая |
периодическая |
десятичная |
дробь |
|||||
α0 ,α1α2 K αn K (0 ≤ αn ≤ 9, n N ) |
определяет рациональное число. |
|
2.1.2. Абсолютная и условная сходимость ряда
Признаки сходимости числовых рядов
∞
Определение 4. Ряд ∑ an называется абсолютно сходящимся, если схо-
n=1
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
дится ряд ∑ |
|
an |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n =1 |
|
|
|
|
∞ |
∞ |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Определение 5. Если ряд ∑ an сходится, а ряд |
∑ |
|
an |
|
расходится, то |
||||||
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n=1 |
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд ∑ an называется условно сходящимся. |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютно сходящиеся ряды обладают следующими свойствами. |
|||||||||||
1. |
Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∞ |
абсолютно сходится, а последовательность {bn }∞n =1 ог- |
|||||
2. |
Если ряд ∑ an |
||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
раничена, то ряд ∑ anbn |
абсолютно сходится. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n=1 |
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
3. |
Если ряды ∑ an |
и ∑bn абсолютно сходятся, то ряд ∑ai k bj k , |
|||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
k =1 |
составленный из всевозможных попарных произведений членов исходных рядов, абсолютно сходится и сумма его равна произведению сумм исходных рядов.
59
∞
4. Если ряды ∑ an
n=1
абсолютно сходится ряд
∞
5. Если ряд ∑ an
n=1
рестановкой членов ряда
∞
и ∑bn абсолютно сходятся, то для любых α, β R
n=1
∞
∑(α an + β bn ).
n =1
абсолютно сходится, то ряд, полученный любой пе-
∞
∑ an , также абсолютно сходится и сумма полученно-
n =1
го ряда равна сумме исходного.
Приведем некоторые свойства условно сходящихся рядов.
∞ |
∞ |
∞ |
1. Если ряд ∑ an |
сходится условно, то ряды ∑αn |
и ∑ βn , составлен- |
n=1 |
n=1 |
n =1 |
ные из положительных членов и абсолютных величин отрицательных членов исходного ряда (взятых в произвольном порядке), оба расходятся.
∞
2. Теорема Римана. Если ряд ∑ an сходится условно, то для любого
n=1
S R можно найти такую перестановку членов этого ряда, что получивший-
ся ряд сходится к S .
Для установления абсолютной сходимости рядов достаточно уметь исследовать на сходимость ряды с неотрицательными членами.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
Теорема (критерий сходимости рядов с неотрицательными членами).
∞
Для сходимости ряда ∑ an с неотрицательными членами ( an ³ 0 " n Î N )
n=1
необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.
∞ |
∞ |
Признак сравнения. Пусть ∑an и |
∑bn – ряды с неотрицательными |
n=1 |
n=1 |
членами и для каждого n N |
выполняется неравенство an £ bn . Тогда из схо- |
∞ |
∞ |
димости ряда ∑bn следует сходимость ряда ∑an , а из расходимости ряда |
|
n=1 |
n=1 |
∞ |
∞ |
∑ an следует расходимость ряда ∑bn . |
|
n=1 |
n=1 |
60