Учебное пособие 1561
.pdfx1(t) c1x11(t) x2 (t) c1x21(t)
c2 x12 (t) ... |
cn x1n (t), |
c2 x22 (t) ... |
cn x2n (t), |
xn (t) c1xn1 (t) c2 xn2 (t) ... cn xnn (t),
где c1, c2 ,..., cn — произвольные постоянные.
Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.
Пример 1. Решить систему
|
|
|
dx1 |
|
|
x1 |
2x2 , |
dx2 |
2x1 |
x2 |
|
||||||
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
||||||||||
Ищем решение в виде |
x |
|
|
|
e t |
, x |
2 |
e t . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
Характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
или |
|
2 |
2 |
3 |
0 |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет корни |
1 |
|
1, |
2 |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Система (3.3) для определения |
1, 2 |
выглядит так: |
|||||||||||||||
( |
1 |
) |
|
1 |
2 |
|
2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
(*) |
||
2 |
|
( 1 |
|
) |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя в (*) |
1, получаем |
|
|
||||||||||||||
|
x (t) |
c |
et |
c |
12 |
e 3t , |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
11 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x (t) |
c |
et |
c |
12 |
e 3t , |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
1 |
11 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда 21 |
|
11 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, x |
|
|
et , x |
21 |
|
et |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
Полагая в (*) |
|
3, находим 22 |
12 , поэтому |
|
||||||||
|
x |
12 |
e 3t , x |
22 |
12 |
e 3t . |
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Общее решение данной системы: |
|
|
|
|||||||||
x (t) |
c |
et |
c |
12 |
e 3t , |
|
|
x (t) |
C et |
C e 3t , |
||
1 |
1 |
11 |
2 |
|
|
|
или |
1 |
1 |
2 |
||
x (t) |
c |
et |
c |
|
|
|
e 3t , |
|
|
C et |
C e 3t . |
|
12 |
|
|
x (t) |
|||||||||
2 |
1 |
11 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
3.5. Решение систем дифференциальных уравнений методом интегрируемых комбинаций.
Этот метод интегрирования систем дифференциальных уравнений (не обязательно линейных) состоит в следующем: посредствам подходящих арифметических операций (например, сложение, вычитание др.) из уравнений заданной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, то есть достаточно просто интегрируемые уравнения вида
F t,u |
du |
|
0 , |
|
dt |
||||
|
|
|||
где u – некоторая функция |
от искомых функций x1(t), |
|||
x2(t),…,xn(t). |
|
|||
Пример 1. Решить систему |
|
|
dx |
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
dy |
|
x 2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
Р е ш е н и е. Перепишем систему (2) в виде |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
y 2 dt |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy |
x 2 dt |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сложив почленно, получим |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
xdx |
ydy |
(x 2 |
y 2 )dt |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
d (x2 |
|
|
y 2 ) |
|
2dt, |
|
|
|
|||
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ln(x 2 y 2 ) |
2t ln C . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Потенцируя, будем иметь |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
C e2t . |
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Вычитая почленно из первого уравнения (3) второе, получим
xdx ydy ( y 2 x 2 )dt
или
|
d (x2 |
y |
2 ) |
2dt, |
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
|
C2 e 2t . |
(5) |
Разрешая (4) и (5) относительно x и y найдѐм общее решение системы (2):
|
|
|
|
|
|
|
x |
~ |
2t |
~ |
|
e |
2t |
C e |
|
C |
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
y |
~ |
2t |
~ |
e |
2t |
|
C e |
|
C |
2 |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
,
,
где для упрощения записи положено
~ 1 |
~ |
1 |
C2 . |
||
С1 |
|
С1 , C2 |
|
||
2 |
2 |
||||
|
|
|
Пример 2. Найти частное решение системы
dx |
|
3x |
5 y, |
|
|
|
|||
dt |
||||
|
|
(6) |
||
dy |
|
|
||
|
2x |
8 y, |
||
|
|
|||
dt |
|
|||
|
|
|
удовлетворяющее начальным условиям
x |t 0 2, |
y |t 0 5. |
(7) |
Р е ш е н и е. Умножив первое уравнение на 2 и сложив
со вторым, получим
|
d (2x y) |
2(2x y), |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
отсюда |
|
2x |
y |
C e2t , |
|
|
|
1 |
(8) |
|
C e2t |
|
|
y |
2x. |
|
|
|
1 |
|
|
Подставляя (8) в первое уравнение системы (6), получаем линейное уравнение для определения x:
|
|
|
|
|
dx |
7x |
5C e2t . |
|
|
|
(9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x C |
|
e 7t |
5 |
C e2t . |
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
C e2t |
2C |
|
e 7t . |
(11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (10) и (11) представляют общее решение системы
(6).
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее условию (7), надо в (10) и (11) вместо t, x и y подставить соответственно числа 0, 2 и 5. Получим систему уравнений для определения C1 и C2:
2 |
C |
|
|
5 |
C , |
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
C |
|
2C |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
9 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
C1 9, C2 |
3. |
|
|
Ответ: |
x |
5e2t |
3e 7t , |
y |
e2t |
6e 7t . . |
4.Элементы теории устойчивости
4.1. Зависимость решения от начальных данных
Рассмотрим вопрос о зависимости решения задачи Коши от начальных данных.
dx |
f(t,x), |
(1.1) |
|
|
|||
dt |
|||
|
|
x(t0)=x0
Если функция f(t,x) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную дf/дх в некоторой области изменения t, x, содержащей точку (tо, xo), то решение задачи Коши существует и единственно. Если изменять значения t0 и x0, то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно будет при этом меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действительно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя. И если сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять решение, то математическая модель окажется мало пригодной для описания реального процесса.
Справедлива следующая теорема о непрерывной
зависимости решения от начальных условий
Теорема 1. Если правая часть f(t,x) дифференциального уравнения
dx/d t= f(t, x) |
(1.1) |
непрерывна по совокупности переменных и имеет ограниченную частную производную дf/дх в некоторой области G изменения t, x, то решение x(t)==x(t,to,хo),
удовлетворяющее начальному |
|
условию |
x(t0)=x0, где |
||||||||||||||
(t0,x0) |
G, непрерывно зависит от начальных данных. |
|
|||||||||||||||
|
Иными словами, пусть через точку (t0,x0) проходит |
||||||||||||||||
решение |
|
|
x(t) |
уравнения |
(1.1), |
|
определенное на |
отрезке |
|||||||||
t |
, t0 ( , |
) . Тогда для любого >0 найдется |
такое |
||||||||||||||
>0, что при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
~ |
t0 |
|
< , |
|
|
|
~ |
x0 |
|
< |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
t0 |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
||||||
решение |
~ |
уравнения |
(1.1), |
|
проходящее |
через |
точку |
||||||||||
x(t) |
|
||||||||||||||||
~ ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
] и отличается там от x(t) |
||
(t0 , x0 ), существует на отрезке [ |
|||||||||||||||||
меньше чем на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
~ |
|
|
|
t |
α, β |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
Аналогичная теорема справедлива и для системы дифференциальных уравнений
dx i |
fi |
(t, x1 , x 2 ,..., x n ), i 1,2,..., n. |
|
dt |
|||
|
|
При выполнении условий теоремы 1 решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача Коши поставлена корректно. Существенным является то
обстоятельство, что отрезок [ , ] изменения t конечен.
Однако |
во |
многих задачах нас интересует зависимость |
|
решения от начальных |
данных в бесконечном промежутке |
||
t0 t |
. |
Переход от |
конечного промежутка, в котором |
рассматривается непрерывная зависимость решения от начальных значений к бесконечному существенно меняет характер задачи и методы исследования. Эта проблема относится к теории устойчивости, созданной А. М. Ляпуновым (см. работу «Oбщая задача об устойчивости движения» (Гостехиздат, 1980)).
Для линейных систем
|
dxi |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij (t)xi |
fi (t), |
i |
1,2,.., n, |
|
|
dt |
||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
||
решение xi (t),i |
1,2,..., n |
существует |
|
для t0 t |
|||
(глобальная теорема существования) |
|
при условии, что |
|||||
функции aij(t) и fi(t) — непрерывны на |
t0 , |
, неограниченно |
продолжаемо вправо и единственно. Не все системы обладают таким свойством.
Например, для скалярного уравнения
|
|
dx / dt |
x2 |
|
|
(1.2) |
|
функция f(t,х) |
х2 непрерывна и имеет производные всех |
||||||
порядков по х. Нетрудно проверить, что функция |
х= |
/(1 - |
t) |
||||
является решением задачи |
|
|
|
|
|||
|
|
dx/dt=x2, x(0)= , |
>0. |
|
|
|
|
Однако, |
это решение |
существует |
только в |
интервале |
|||
(- , 1/ |
), |
зависящем от начального |
условия, |
и |
|||
непродолжаемо на полуинтервал (- |
, 1/ ]. |
|
|
|
|||
Уравнение (1.2) есть уравнение сверхбыстрого |
|||||||
размножения, |
когда |
прирост |
пропорционален |
числу |
всевозможных пар. Его решение показывает, что при таком законе прироста населения количество населения становится бесконечным за конечное время (в то время как обычный закон прироста — экспоненциальный).
4.2. Устойчивость по Ляпунову. Основные понятия,
определения. |
|
Рассмотрим дифференциальное |
уравнение первого |
порядка |
|
dx/dt=f(t,x); |
(2.1) |
модель. Пусть шарик лежит на дне полусферической лунки (находится в положении равновесия). Если малым возмущением вывести шарик из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения, положение равновесия будет устойчивым, при наличии трения колебания шарика будут уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимптотически устойчивым.
Пример.1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х 0 уравнения.
|
|
|
|
|
|
dx/df=0. |
|
|
Решение |
х |
0, |
очевидно, |
удовлетворяет |
начальному |
|||
условию |
|
|
|
0 . Любое другое решение, удовлетворяющее |
||||
х |
t |
t |
0 |
|||||
|
|
|
||||||
начальному условию х |
t t |
x0 , имеет вид х х0. |
Поэтому |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(рис. 6), |
|
|
|
|
|
|
|
|