Учебное пособие 1719
.pdfПоскольку x = dх и y = dу, то полный дифференциал можно записать в виде
|
|
|
|
|
|
|
dz |
z |
dx |
z |
dy , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
где слагаемые |
d x z |
z |
dx и |
d y z |
|
z |
dy называются частными |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||
дифференциалами по x и y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4.4. Производная по направлению. Градиент |
|
||||||||||||||||||
|
Для |
вычисления |
производной |
функции |
|
z f (x, y) |
||||||||||||||
в |
точке |
M x, y |
по |
направлению, |
задаваемому |
вектором |
||||||||||||||
|
l, m , |
проведем |
|
через |
|
точку |
M x, y |
прямую |
L , |
|||||||||||
l |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
параллельную |
вектору |
l . Совершим переход по |
прямой |
|||||||||||||||||
во вторую точку |
M1 |
x x, y y , |
отстоящую |
от точки |
||||||||||||||||
M x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
на |
расстоянии |
l |
x 2 |
y 2 , |
и |
запишем |
соответствующее приращение функции z f (x, y) :
z f x x, y y f x, y .
|
Производная функции |
z f (x, y) |
в точке M |
по |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
направлению вектора l определяется как |
прeдел отношения |
||||||
z |
при стрeмлении точки M1 |
к точке M : |
|
|
|
||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
z |
z . |
|
|
|
|
|
l 0 |
l |
l |
|
|
|
|
|
При условии дифференцируемости функции |
z f (x, y) |
|||||
ее полное приращение при перемещении |
вдоль |
прямой |
L |
||||
записывается в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
(x, y) x |
z |
(x, y) y 1 x 1 y , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где 1 x 1 y |
|
— бесконечно малая величина более высокого |
||||||||||||||||||||||||
порядка малости |
по сравнению |
с x и |
y . Учитывая, |
что |
||||||||||||||||||||||
x l |
|
|
l |
|
cos l, |
y l |
|
m |
|
|
cos l , |
где |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 2 m2 |
|
|
|
|
|||
cos , cos — косинусы направляющих углов, имеем |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
x, y l cos |
z |
x, y l cos x y |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
z |
x, y |
cos |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
z |
x, y cos |
1 x 1 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Производная |
|
функции |
|
z f (x, y) |
по |
направлению |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
z |
z |
вектора l в |
соответствии |
|
с |
определением |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
l |
l |
вычисляется по формуле
Пример z 6xy 8y 2
z |
z cos |
z cos . |
|
l |
x |
y |
|
4.4. Вычислить |
производную |
функции |
|
|
|
|
|
по направлению вектора l 9, 12 |
в точке |
M 1, 2 .
Решение. Найдем косинусы направляющих углов, перейдя
от вектора l 9, 12 к соответствующему орту:
|
|
|
9 |
|
|
|
12 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cos , cos |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
l |
|
92 ( 12)2 |
|
|
|
92 122 |
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z
x
Вычислим частные производные функции в точке M 1, 2 :
(x, y) 6y , |
z |
(1, 2) 12, |
z |
(x, y) 6x 16y, |
z |
(1, 2) 6 32 26 . |
|
x |
y |
y |
|||||
|
|
|
|
Производная по направлению вектора l в точке M равна
z |
|
z |
|
z |
|
3 |
|
|
4 |
|
68 |
|
|
|
|
|
cos |
|
cos = 12 |
|
26 |
|
|
|
|
|
. |
l |
x |
y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
5 |
|
При изучении поведения функции двух переменных самостоятельный интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. Это направлeние задается вeктором, называемым градиентом.
Градиент функции z f (x, y) в точке определяется как вектор
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
grad z i |
|
(x, y) j |
|
(x, y) |
|
(x, y), |
|
(x, y) . |
|
x |
y |
x |
y |
||||||
|
|
|
|
|
Модуль градиента характеризует скорость наискорейшего возрастания скалярной функции z f (x, y) в точке.
Пример 4.5. Найти градиент функции z x 2 y 2 4xy в точке М1 (3,1).
Решение:
grad u (2x 4y)i (2y 4x) j , grad u M1 2i 10 j .
42
4.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков
Для дифференцируемой |
|
функции |
|
z f (x, y) частные |
|||||
производные |
z f |
(x, y) |
и |
|
z |
f |
|
(x, y) могут быть |
|
|
|
||||||||
|
x |
x |
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассмотрены как новые функции двух переменных х и у. Если они тоже дифференцируемы, то их можно снова дифференцировать по этим переменным.
Частные производные второго порядка образуются, как частные производные от частных производных первого порядка, и обозначаются:
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
2 z |
|
|
|
z |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
f xx (x, y) ; |
x y |
|
|
|
|
f xy (x, y) ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
y |
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
f yx (x, y) ; |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
f yy (x, y) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
||||||||||
Частные |
|
|
производные |
|
(x, y) |
|
|
|
(x, y) |
называются |
||||||||||||||||||||
|
|
f yx |
, f xy |
|||||||||||||||||||||||||||
смешанными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 4.6. Найти чаcтные производные второго порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||
функции z 7x3 sin y e xy 25x2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
21x2 |
ye xy 50xy , |
2 z |
42x y 2e xy 50y , |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
|
cos y xe xy 25x2 , |
2 z |
sin y x 2e xy , |
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 z |
xyexy 50x , |
|
2 z |
xyexy 50x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема. Смешанные производные второго порядка равны при условии, что они нeпрерывны:
2 z 2 z .x y y x
По аналогии с частными производными второго порядка частные производные третьего порядка образуются, как частные производные от частных производных второго порядка:
3 z |
|
|
2 z |
|
3 z |
|
|
|
2 z |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
x |
2 |
y |
|
|
y x |
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
и т. д.
Полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка функции z f (x, y) называется полным
дифференциалом второго порядка и обозначается d 2 z d dz :
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
d z d z x dx z y dy z x dx z y dy x |
dx z x dx z y dy y dy = |
|||||||||
= [ f |
(x, y)dx + f |
(x, y)dy]dx +[ f |
(x, y)dx + |
f |
(x, y)dy]dy = |
|||||
|
xx |
|
yx |
|
xy |
|
|
yy |
|
|
|
|
= f |
(x, y)dx2 +2 f |
(x, y)dxdy |
+ f (x, y)dy 2 . |
|
||||
|
|
xx |
|
xy |
|
|
yy |
|
|
|
4.6. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
Для функции двух переменных z f (x, y) точка M 0 (x0 , y0 ) определяется как точка максимума, если найдется такая окрестность около этой точки, что для всех внутренних
точек M (x, y) этой |
окрестности |
выполняется |
неравенство |
|
f (x, y) < f (x0 , y0 ) . Точка M 0 (x0 , y0 ) |
называется точкой |
|||
минимума функции |
z f (x, y) , |
если |
внутри |
некоторой |
|
44 |
|
|
|
окрестности около точки M 0 будет выполняться неравенство
f (x, y) f (x0 , y0 ) .
Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Отметим, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.
Теорема (Необходимое условие экстремума). Если функция z f (x, y) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y0 ) и имеет в этой точке экстремум, то
zxz
y
(x0 , y0 ) 0,
(x0 , y0 ) 0.
Экстремум следует искать либо в стационарных точках, которые образуются, если все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных первого порядка не существует. Такие точки называются критическими. В общем случае наличие или отсутствие экстремума в критической точке определяется с помощью достаточного признака экстремума.
4.7. Достаточный признак экстремума
Введем обозначения для формулирования признака существования экстремума:
|
, y0 ) A , |
|
, y0 ) B , |
|
, y0 ) C , |
f xx (x0 |
f xy (x0 |
f yy (x0 |
Теорема. Если для дважды дифференцируемой функции z f (x, y) точка является стационарной точкой:
достаточного
AC B2 .
непрерывно
M 0 (x0 , y0 )
45
zxzy
то:
(x0 , y0 ) 0,
(x0 , y0 ) 0,
1. Если число > 0, то в точке M 0 (x0 , y0 ) функция f(х,у) испытывает экстремум: максимум, если А < 0 и минимум, если
А> 0.
2.Если число < 0, то в точке M 0 (x0 , y0 ) экстремума
нет.
3. Если число = 0, то признак не работает.
Пример |
4.7. |
Исследовать |
на |
экстремум |
|
функцию |
|||||||||||||||
z 8x3 y 3 4xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Имеем |
z |
24x 2 |
4 y , |
z |
3y 2 |
4x |
. |
Найдем |
||||||||||||
x |
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки возможного экстремума из решения системы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
24x 2 4 y 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3y 2 4x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Это точки M1(0,0) |
и |
M 2 ( |
1 |
, |
2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим |
частные производные второго порядка иссле- |
||||||||||||||||||||
дуемой функции: |
|
|
48x, C |
|
|
6 y, |
|
|
|
|
|
|
4 . |
||||||||
A f xx |
|
f yy |
|
B f xy |
|||||||||||||||||
В точке M1 (0,0) имеем |
|
AC B 2 |
16 < |
0, |
т. е. нет |
||||||||||||||||
экстремума |
в |
данной |
точке. |
В |
точке |
M 2 ( |
1 |
, |
2 |
) |
имеем |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||
AC B 2 |
64 16 > 0. |
Поскольку |
A 16 > 0, |
|
то |
|
в |
|
точке |
||||||||||||
имеется минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
4.8. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Для функции z f (x, y) , непрерывной в замкнутой
области D , найдется точка этой области, в которой функция достигает своего наибольшего значения M, а также точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения m:
m f (x, y) M.
Точки, в которых функция принимает свои наибольшее
и наименьшее |
значения в |
области D , |
могут |
быть либо |
внутренними, либо граничными. |
|
|
||
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений |
||||
функции z f (x, y) в области D требуется: |
|
|
||
1) найти |
внутренние |
критические |
точки |
функции |
zf (x, y) ;
2)найти граничные точки отрезков или дуг граничного контура области D , а также критические точки, находящиеся внутри отрезков или дуг, составляющих границу области D ;
3)после нахождения значений функции во всех выше найденных точках выбрать наибольшее и наименьшее значения функции.
Пример 4.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x2 3y 2 6x 3y 1 в замкнутой области D . Область D ограничена линиями x y 2, x 0 , y 0 .
Решение. Найдем внутренние стационарные точки области, для чего приравняем нулю частные производные
z 6x 6 0,x
z 6 y 3 0.y
Имеем критическую точку M1(1, 12 ).
47
При исследовании границы области D , представляющей собой треугольник АОВ (рис. 5), сперва исследуется отрезок
ОА, на котором имеем x 0 |
и |
z 3y2 |
3y 1. Приравняв |
||
производную функции z 3y 2 |
3y 1 |
нулю, имеем 6y 3 0 , |
|||
|
|
|
1 |
|
|
что дает нам еще одну точку |
M 2 |
0, |
|
. Учитываем границы |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
отрезка ОА точки O 0,0 и |
A 0,2 |
|
как |
«подозрительные», |
где функция тоже может принять наибольшее и наименьшее значения.
|
|
На |
отрезке |
OB |
имеем |
y 0 , |
z 3x 2 6x 1, |
|||||||||
|
dz |
6x 6 0 , |
что |
дает |
|
стационарную |
точку |
M |
|
1,0 . |
||||||
|
|
3 |
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Добавляем точку B 2,0 как границу отрезка OB . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Исследуем |
сторону |
|
AB , |
на которой |
y 2 x , |
|||||||||
|
z 3x2 3 2 x 2 6x 3 2 x 1= 6x 2 15x 7 . Найдем |
|
про- |
|||||||||||||
изводную |
dz |
12x 15 = 0, после чего добавим последнюю |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«подозрительную» точку M 4 |
( |
5 |
, |
3 |
) . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+y=2 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
O |
2 |
x |
Рис. 5
48
Вычислим значения функции в найденных точках:
z A z 0,2 3 4 3 2 1 7 , z B z 2,0 3 4 6 2 1 1 ,
z O z 0,0 3x2 |
3y 2 6x 3y 1 1, |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
11 |
|
||
z M1 |
z 1, |
|
|
3 |
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
, |
2 |
4 |
2 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z M 2 z |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z M 3 z 1,0 3 6 1 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
25 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
38 |
|
|||||||
z M 4 z |
|
|
, |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
1 |
|
|
. |
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
16 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
16 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В |
точке |
A |
|
|
|
функция |
z f (x, y) |
имеет |
наибольшее |
|||||||||||||||||||||
значение |
zнаиб 7 , а в точке |
M1 |
функция имеет наименьшее |
|||||||||||||||||||||||||||
значение zнаим |
|
11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49