Учебное пособие 1758
.pdfПравило нахождения интервалов возрастания и убывания ку- сочно-элементарной функции и определения ее точек экстремума.
1.Находим область определения кусочно-элементарной функции.
2.Находим производную и с ее помощью находим критические точки функции.
3.Наносим критические точки на область определения функции и тем самым разбиваем ее на интервалы знакопостоянства производной.
Рис 5.1
31
4.По знаку производной в некоторой точке каждого интервала определяем знак производной на всем интервале.
5.По знакам производной на интервалах определяем промежутки возрастания и убывания самой функции.
6.В результате точки экстремума функции могут находиться только среди ее критических точек. При этом, так как каждая критическая точка изолирована, то на некоторых интервалах слева и справа от нее критических точек нет и, значит, левее и правее критической точки производная не меняет свой знак. В результате становятся очевидны и точки экстремума.
Аименно, если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума; если с минуса на плюс, то это точка минимума; если производная не меняет свой знак при переходе через критическую точку, то в этой точке экстремума нет.
§6. Дифференцирование функции, заданной неявно
ипараметрически. Производная обратной функции
Если функция задана формулой, то говорят, что она задана явно. Кроме такого, существуют и другие способы задания функции. Например, табличный, графический или алгоритмический. В этом разделе мы рассмотрим проблему вычисления производной для функции, заданной неявно и параметрически.
Как известно, функциональную зависимость переменных x,y
можно задать не только формулой y =f (x) (явно), но и уравнением
F(x,y) =0 (неявно). А именно, значением функции y в точке x
считается корень (один из корней) уравнения F(x,y) =0 с одним неизвестным y. То есть, для всех x из области D определения функции y =y(x) справедливо тождествоF(x,y(x)) ≡0.
32
Покажем процедуру нахождения производной функции, задан-
ной неявно, на примере уравнения x2 y2 4. Согласно определе-
нию имеем y(1) 3, y(2) 2, y(0) 2. (Мы выбрали одну из функций, определяемых неявно уравнением x2 y2 4, которая принимает лишь неотрицательные значения y при всех допусти-
мых x). Для нахождения производной y'(x) воспользуемся тожде-
ством x2 (y(x))2 4. Так как производные равных функций, оче-
видно, равны, то (x2 (y(x))2)' (4)', и, применяя правила нахож-
дения производной суммы и производной сложной функции, получаем
(x2)' ((y(x))2)' 2x 2y(x)y'(x) (4)' 0.
Таким образом, для нахождения производной функции y'(x) мы имеем тождество x y(x)y'(x) 0. Выражая отсюда y'(x) получаем
формулу y'(x) |
|
x |
|
, верную для всех x из области определения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y(x) |
|
|
|
|
||||||||
функции, в которых y(x) 0. В частности |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
||||
y'(1) |
|
, y'( |
|
|
|
2 |
y'(0) 0. |
||||||
|
2) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Полученный результат можно проверить, разрешив исходное урав-
нение x2 y2 4 относительно y (то есть выражая из уравнения y
через x). Имеем y y(x) 4 x2 . Откуда, применяя правила нахождения производной сложной функции, производной разности и таблицу производных, получаем:
|
|
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|
x |
|
|
x |
. |
||
y'(x) ( |
4 x2 )' |
|
(4 x2)' |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 4 x2 |
|
|
2 4 x2 |
|
|
|
4 x2 |
|
|
y(x) |
Что и требовалось доказать.
33
В качестве еще одного применения правила нахождения производной сложной функции рассмотрим вопрос о производной обратной функции.
Пусть |
y f (x) |
некоторая функция с областью значений R(y). |
||||||||||||||
Функция |
x x(y), |
y R(y), |
называется обратной к |
функции |
||||||||||||
y f (x), если она удовлетворяет тождеству |
y f (x(y)), y R(y). |
|||||||||||||||
Дифференцируя обе части |
тождества |
по |
y, |
получаем |
||||||||||||
1 f '(x(y))x'(y), откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x'(y) |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f '(x(y)) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
То есть, производная обратной функции в точке y равна еди- |
||||||||||||||||
нице, деленной на производную исходной (прямой) функции |
f в той |
|||||||||||||||
точке x, в которой исходная функция f |
принимает значение y. |
|||||||||||||||
Например, если |
y f (x) ax, |
то |
f '(x) ax lna, |
и обрат- |
||||||||||||
ной функцией будет x loga |
y. Откуда |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(loga y) x'(y) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
||||
ax( y) |
lna |
aloga y |
lna |
ylna |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Заменяя букву y на букву x, получаем формулу
|
3. |
|
' |
1 |
|
|
|
log |
x |
|
|
, |
|
xlna |
||||||
|
|
a |
|
|
||
|
a 0, a 1 |
|
|
|||
таблицы производных |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
34
Аналогично, |
|
|
если |
|
|
y f (x) cosx, |
|
|
|
то |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f '(x) sinx |
1 cos2 x, откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x'(y) (arccos(y))' |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
||||
sin(arccos y) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 (cos(arccos y))2 |
|
|
1 y2 |
Проверим, заодно, формулу 1 таблицы производных. Пусть
x 0, y(x) xa ealnx .
Тогда, применяя правило нахождения производной сложной функции, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
alnx |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
a 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y'(x) e |
|
|
|
(alnx) x |
|
|
a |
|
|
|
ax |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть теперь x 0 и a― целое и четное. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
a |
|
a |
)' a( x) |
a 1 |
( x)' ax |
a 1 |
( 1) ax |
a 1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
) (( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично, пусть x 0 и a― целое нечетное, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(xa ) (( x)a )' a( x)a 1( x)' axa 1( 1) axa 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Наконец, если x 0 |
и a |
m |
, где n ― целое нечетное, то |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
n ' |
|
|
|
m |
n 1 |
m |
|
|
' |
|
|
m |
|
m |
|
|
|
m |
|
' |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
mxm 1 (xm )' |
xn |
|
n xn |
xn |
|
|
|
n x |
|
|
|
|
|
n |
xn . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
' |
|
|
|
mxm 1 |
|
|
m |
|
|
|
m |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Выражая отсюда xn |
, получаем xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
m |
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все случаи применимости первой формулы доказаны.
Задача 6.1. Проверьте остальные формулы таблицы производных, используя уже доказанные формулы и правила дифференцирования.
35
Случай параметрического задания функции
Данный способ задания функции y y(x) есть на самом деле по-
бочный продукт параметрического задания кривой
x (t) |
, t , |
(6.1) |
|
||
y (t) |
|
|
когда кривая лежит на координатной плоскости и локально является графиком некоторой функции. Это бывает, например, тогда, когда функция x (t) строго монотонна на некотором интервале и,
значит, локально обратима.
В этом способе определения функции по заданному x сначала находится t , для которого (t ) x, после чего y(x) полагается равным (t ). Таким образом, связь аргумента с функцией осу-
ществляется через промежуточную переменную (параметр) t.
Теорема 6.1. Пусть для всех t из некоторой окрестности ( , ) точки t0 существуют производные (t), (t) и (t) 0. То-
гда функция y y(x), заданная системой (6.1), определена и диф-
ференцируема в окрестности точки x0 (t0), а ее производная может быть задана параметрически следующей системой формул
x (t)
|
'(t) |
, t . |
(6.2) |
|
|
||||
y'(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
|
Доказательство. Согласно лемме 5.1 производная (t)не меняет знак на интервале ( , ). Следовательно, (t) строго монотонна на этом интервале и, значит, обратима. Пусть t (x) - ее обратная функция. Тогда по определению функции, заданной параметрически,
y y(x) ( (x)), x ( ( ), ( )).
36
Отсюда, применяя правила дифференцирования сложной функции и обратной функции, получаем
y'(x) '( (x)) '(x) '( (x)) |
1 |
|
'(t) |
, |
'( (x)) |
|
|||
|
|
'(t) |
где t и x связаны соотношением x (t).
Теорема доказана.
Так как первая производная оказалась заданной тоже параметрически системой (6.2), то, предполагая, что функции (t) и (t)
дважды дифференцируемы на интервале ( , ), получаем из этой
системы правило нахождения второй производной :
|
x (t) |
'(t)
y''(x) (t)
(t)
'
, t . (6.3)
Пример 6.1. Рассмотрим следующую функцию, заданную параметрически:
x 2cost
, 0 t .
y 2sint
Так как x2 y2 4cos2 t 4sin2 t 4, а y 0 при 0 t , то стано-
вится понятно, что график нашей функции есть верхняя половина окружности радиуса 2 с центром в начале системы координат.
Найдем y'(x) при x 2. Решая уравнение 2 2cost получаем значение t 4, при котором надо применять формулу (6.2):
y'( |
|
|
(2sint)' |
|
|
|
|
ctg |
|
1. |
2) |
|
|
|
|||||||
(2cost)' |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
t |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Тот же ответ |
получится, если из доказанного |
выше |
равенства |
|||||||||||||
x2 y2 4 сначала выразим y через x явно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
|
4 x2 , |
|
потом |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
найдем y' |
|
|
и, наконец, вычислим y'( |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1. |
||
|
|
|
2) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 x2 |
|
|
4 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 7. |
Дифференциальные теоремы о среднем |
|
|
|
|
|
Приводимые в параграфах § 7, § 8 результаты предназначены для студентов, ценящих красоту и строгость математических рассуждений. Для остальных советуем запомнить только форму-
лу конечных приращений Лагранжа и правило Лопиталя рас-
крытия неопределенностей вида 0 и .
0
Всюду ниже U(x0) означает некоторую малую окрестность (c,d) точки x0 .
Определение 7.1. Если функция имеет в некоторой точке конечную или определённого знака бесконечную производную, то говорят, что функция имеет в этой точке производную в широком смысле.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.1. (Ферма). Если функция определена в некоторой окрестности точки x0 , принимает в этой точке наибольшее
(наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке x0 производную в широком смысле, то эта производная рав-
на нулю.
Доказательство. |
Пусть f : U (x0 ) R и пусть функция f при- |
нимает в точке x0 |
наибольшее в окрестности U (x0 ) значение, так |
что для x U (x0 ) |
f (x) f (x0 ). Тогда выполняются условия: |
38
f (x) f (x0 ) |
0 , если |
x <x0 , (7.1) |
|
x x0 |
|||
|
|
и
|
|
|
|
f (x) |
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
если |
|
x >x0 . |
(7.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из неравенства (7.1) следует, |
|
что |
f |
|
(x0 ) |
lim |
|
f (x) f (x0 ) |
|
0, |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а из неравенства (7.2) следует, что |
|
|
|
|
(x0 ) |
lim |
|
|
f (x) f (x0 ) |
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
f |
|
|
x x0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку |
f |
|
(x0 ) f |
(x0 ) f |
(x0 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
то выполняется неравенство |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 f (x0 ) 0, т. е. |
f (x0 ) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай наименьшего в точке x0 значения рассматривается ана-
логично.
Теорема доказана.
Теорема 7.2. (Ролль). Если функция f (x) |
непрерывна на отрез- |
ке [a ; b] , имеет в каждой точке интервала |
(a ; b) производную в |
широком смысле и принимает равные значения на концах отрезка
[a ; b], т.е. f (a) |
f (b), то существует по крайней мере одна точка |
(a ; b) такая, что |
f ( ) 0. |
Доказательство. Из второй теоремы Вейерштрасса следует, что на отрезке [a ; b] существуют точки, в которых функция f (x) при-
нимает |
своё наибольшее и своё наименьшее |
значения. |
Пусть |
m min |
f (x), M max f (x). Очевидно, что для всех |
x [a ; b] |
выпол- |
a x b |
a x b |
|
|
няется неравенство m f (x) M .
Возможны два случая.
39
Если m M, то функция f (x) постоянна на |
отрезке [a ; b], |
|
f (x) m M для x [a ; b]. В этом случае |
f ( ) 0 |
для (a ; b), |
|
|
|
и теорема доказана.
Пусть теперь m M . Поскольку f (a) f (b), то хотя бы одно из значений m или M функция принимает во внутренней точке промежутка [a ; b]. Из теоремы Ферма следует, что f ( ) 0, и тео-
рема доказана и в этом случае.
Геометрическая иллюстрация теоремы Ролля приведена на рис. 7.1 – касательная в точке ( ; f ( )) параллельна оси O x.
y
f ( ) 0
y f (x)
x
a |
|
b |
Ри. с. 7.1
Теорема 7.3. (Лагранж). Если функция резке [a ;b] и в каждой точке интервала (a
в широком смысле, то между точками a и
кая, что будет выполняться равенство
f (x) непрерывна на от-
; b) имеет производную b найдётся точка та-
f (b) f (a) f ( ) (b a). |
(7.3 ) |
40