Учебное пособие 1808

3.Как связана сила тока разрядки конденсатора с зарядом на его пластинах?

4.Каков закон убывания силы тока во времени при разрядке конденсатора?

5.Что такое время релаксации и как оно связано с параметрами электрического контура?

6.Как графически определить время релаксации?

7.Когда при изучении релаксационных процессов можно использовать измерительные приборы постоянного тока?

8.Как по кривой зависимости силы тока от времени при разрядке конденсатора определить величину заряда конденсатора?

9.Где используется инерционность процесса зарядки-разрядки конденсатора?

Примеры контрольных задач по теории лабораторной работы

Задача 1. Конденсатор емкостью 1 мкФ был заряжен при напряжении на его обкладках, равном 10 В. Определить время, в течение которого заряд конденсатора уменьшился вдвое, если время релаксации 20 с.

Задача 2. Через 14 с заряд конденсатора при разряде на сопротивление 1 МОм уменьшился вдвое. Определить время, за которое заряд конденсатора уменьшился в e раз.

Задача 3. График функции		от времени разрядки конденсатора

есть прямая, составляющая угол 100 к оси времени. Чему равно время релаксации конденсатора? Во сколько раз уменьшится сила тока, текущего через сопротивление, через 2 с после начала процесса разрядки на это сопротивление?

Задача 4. Конденсатор емкостью 1 мкФ разряжается: а) на сопротивление 2 МОм; б) на сопротивление 1 МОм. Найти отношение сил токов, текущих через сопротивления, через 2 с после начала разрядки конденсатора.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

ИЗУЧЕНИЕ ПОЛНОГО КОНТУРА ПРИ ПОМОЩИ «КОБРА-3»

6.1. Цель работы

Исследовать зависимость силы тока от частоты в последовательном контуре переменного тока. Определить собственную частоту контура. Для заданной частоты переменного напряжения построить векторную диаграмму тока и напряжений.

41

6.2.Теоретические сведения

6.2.1.Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний

Пусть в электрический контур, содержащий последовательно соединенные индуктивность L, емкость С и резистор R, подается внешнее переменное напряжение U=U0sinωt, изменяющееся с циклической частотой ω

(рис. 6.1)

L R C

U=U0sinωt

~

Рис. 6.1

В любой момент времени для замкнутого контура должен выполняться второй закон Кирхгофа:

					.	(6.1)
Здесь UC – падение напряжения на конденсаторе, UR – падение напряжения
на резисторе, εS – ЭДС самоиндукции и U – внешнее напряжение. Но
			;		;	.
Следовательно, (6.1) можно представить в виде
					.	(6.2)
Дифференцируя (6.2)					по времени и учитывая, что	, получим

дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в последовательном электрическом контуре:

. (6.3)

Уравнение (6.3) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно силы тока I.

Ясно, что вынужденные колебания тока имеют ту же частоту ω, что и внешнее напряжение. Поэтому решение уравнения (6.3) можно представить в виде

где I0 (амплитуда тока) и φ (		,	(6.4)
	начальная фаза) пока не известны.
	sin

42

6.2.2. Частные случаи решения дифференциального уравнения

Для определения I0 и φ рассмотрим частные случаи решения (6.3) с привлечением векторной диаграммы тока и напряжений.

1. Электрическая цепь с резистором (рис. 6.2).

R

U=U0sinωt

~

Рис. 6.2

Дифференциальное уравнение (6.3) принимает вид

.

Разделяя переменные и выполняя операцию интегрирования, получим

,

(6.5)

где		– амплитуда тока.

Сравнивая (6.5) с внешним напряжением U, приходим к выводу: колебания напряжения и силы тока в цепи с активным сопротивлением R проходят в одной фазе (напряжение и сила тока одновременно достигают своих минимальных и максимальных значений).

2. Электрическая цепь с индуктивностью L (рис. 6.3).

L

U=U0sinωt

~

Рис. 6.3

Дифференциальное уравнение (3) принимает вид

.

Интегрируя последнее выражение, получим

или

.

Выполняя повторное интегрирование, приходим к закону изменения

силы тока во времени:				sin			,	(6.6)
где		– амплитуда тока.			43

Из (6.6) следует, что в цепи с индуктивностью L сила тока отстает в своем изменении во времени от напряжения на угол π/2.

3. Электрическая цепь с емкостью C (рис. 6.4).

C

U=U0sinωt

~

Рис. 6.4

Дифференциальное уравнение (6.3) принимает вид

.

Откуда

sin		,	(6.7)

где		– амплитуда тока.

Из (6.7) следует, что в цепи с емкостью C сила тока в своем изменении во времени опережает напряжение на угол π/2.

6.2.3. Векторная диаграмма тока и напряжений амплитудных значений. Закон Ома для цепи переменного тока

Построим векторную диаграмму тока и напряжений для электрической цепи последовательно соединенных R, L, и C (рис. 6.1)

За ось диаграммы примем ось тока (рис. 6.5), на которой от начала диаграммы отложим амплитуду тока I0 (в последовательной цепи R, L, и C сила тока одна и та же для всех элементов).

	U0L
	(U0L- U0С)			U0
		+π/2
			φ
	0	–π/2
			I0	U0R	ось токов
	U0C

Рис. 6.5

На активном сопротивлении R (резисторе) напряжение по фазе совпадает с током, а его амплитудное значение U0R=I0R отложим на оси тока.

44

На индуктивности напряжение опережает ток на π/2 (угол +π/2 отсчитывается против часовой стрелки), а амплитуда напряжения U0L=ωLI0.

На емкости напряжение отстает от тока на π/2 (угол –π/2 отсчитывается по часовой стрелке), а амплитуда напряжения U0С=(1/ωС)I0.

Как видно из рис. 6.5 результирующее напряжение

,

а его величина

или

,

откуда

. (6.8)

Формула (6.8) есть закон Ома для цепи переменного тока. В отличие от закона Ома для постоянного тока выражение (6.8) справедливо только для амплитудных значений силы тока и напряжения.

Отметим также, что ввиду инерционности электрические приборы фиксируют так называемые эффективные значения силы тока и напряже-

ния, которые в √2 раз меньше амплитудных, т.е. Iэф=I0/√2 и Uэф=U0/√2. Следовательно, (8) можно представить в виде

эф

эф

.

(6.9)

Из векторной диаграммы (рис. 6.5) следует, что в общем случае изменение напряжения не совпадает по фазе с изменением силы тока, так что имеется сдвиг фаз (угол φ), величину которого можно рассчитать по формуле

эф Сэф	.	(6.10)

эф

6.2.4. Явление резонанса напряжений

Как показывает (6.9) величина силы тока при заданных R, L, C существенно зависит от частоты ω переменного напряжения. Наибольшего значения сила тока достигает при

/

/

0,

(6.11)

где ω/ – значение частоты напряжения, при которой выполняется (6.11). Из (6.11) следует

/,

45

что совпадает с собственной частотой ω0 колебаний электрического контура. Итак, при

(6.12)

амплитуда переменного тока (или эффективное значение силы тока) достигает максимального значения:

эф.

эф

.

(6.13)

При этом цепь последовательно соединенных R, L, C работает как чисто активное сопротивление.

Явление резкого возрастания силы тока в последовательной цепи переменного тока при совпадении частоты переменного напряжения ω с собственной частотой контура ω0 называется электрическим резонансом (точнее резонансом напряжений).

Величины XL=ωL и XС=1/ωС, входящие в формулы (6.8) и (6.9), носят названия соответственно индуктивного и емкостного сопротивлений. Иначе эти сопротивления называют реактивными. В отличие от активного (омического) сопротивления на реактивных сопротивлениях не происходит выделения ленц-джоулева тепла.

6.3. Описание экспериментальной установки

Общий вид экспериментальной установки приведен на рис. 6.6. В установку входят: интерфейс Кобра 3 (1), источник питания для интерфейса (2), катушка (3), коммуникационная коробка (4), резистор R=47 Ом (5), конденсатор C=1мкФ (6), соединительные провода (7).

Для выполнения лабораторной работы требуется подключение к ПК.

	2	5
1			3
		4
	7

6

Рис. 6.6

46

6.4. Порядок выполнения работы

Лабораторную работу необходимо выполнять, строго соблюдая правила техники безопасности, установленные в лаборатории электричества и магнетизма.

1.Под наблюдением преподавателя включить компьютер.

2.Открыть программу выполнения работы, наведя курсор на

«Measure».

3.Навести курсор на «Прибор».

4.Навести курсор на «Power Graph».

5.Выбрать «Function Generator» (активировать схему).

6.По заданию преподавателя установить начало измерений по частоте

иконец измерений по частоте.

7.Выбрать шаг измерений по частоте. Появится рисунок.

8.Навести курсор на «Далее».

9.Навести курсор на «Начать измерения».

10.По окончании измерений навести курсор на «Окончить измере-

Появится график зависимости силы тока I от частоты напряжения
ния».11. Определить положение максимума силы тока по частоте (частота.	,

соответствующая максимуму тока, и определяет экспериментальную собственную частоту 0 колебаний электрического контура R, L, C).

12.Повторить пп. 4-9. Поставить частоту 1, заданную преподавателем.

13.Мультиметром измерить напряжения на R, L, C. Реальная катушка

индуктивности обладает омическим (активным) сопротивлением RL. В данной работе используется катушка с RL=0,8 Ом, которое значительно меньше сопротивления резистора R=47 Ом. Поэтому падением напряжения на RL можно пренебречь.

Вычислить по закону Ома силу тока в контуре при частоте 1 и заполнить табл. 6.1.

Таблица 6.1 Построение векторной диаграммы тока и напряжений

1,с

1

URэф,

ULэф,

UCэф,

Iэф,

Uэф,

φэксп

φрасч

R, Ом

L, Гн

С, Ф

0,с

1

В

В

В

А

В

47

2 10-3

10-6

14.По полученным данным построить в удобном масштабе векторную диаграмму тока и напряжений в контуре. Пользуясь масштабом, определить Uэф0. Измерить угол φ.

15.По заданным значениям L и C вычислить частоту собственных колебаний электрического тока в контуре 0. Сравнить ее с частотой мак

симума кривой Iэф( ). Объяснить расхождение расчетного значения 0 и экспериментального.

47

16. Рассчитать теоретическое значение угла сдвига фаз между током и напряжением по формуле

,

где ω1=2π 1.

Сравнить величину расчетного угла φ с измеренным по векторной диаграмме.

Контрольные вопросы

1.Нарисовать и объяснить работу схемы вынужденных электрических колебаний.

2.Составить дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

вэлектрическом контуре.

3.Записать и объяснить вид решения дифференциального уравнения вынужденных электрических колебаний.

4.Записать закон Ома для цепи переменного тока.

5.В чем суть электрического резонанса в последовательной цепи R, L, C переменного тока? Объяснить условие резонанса.

6.Как построить векторную диаграмму тока и напряжений в последовательном контуре?

7.Как выглядит векторная диаграмма тока и напряжений в последовательном контуре при резонансе?

Примеры контрольных задач по теории лабораторной работы

Задача 1. К зажимам генератора присоединили конденсатор емкостью 0,15 мкФ. Определить амплитудное значение напряжения на зажимах, если амплитудное значение силы тока 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц.

Задача 2. Определить в случае переменного тока частоты 50 Гц полное сопротивление участка цепи, состоящего из последовательно включенного конденсатора емкостью 10 мкФ и резистора сопротивлением 50 Ом.

Задача 3. В цепи переменного тока (рис. 6.7) с частотой 50 Гц вольтметр показывает нуль при значении емкости конденсатора 20 мкФ. Определить индуктивность катушки.

L	С	R

V

~ Рис. 6.7

48

Задача 4. Последовательно соединенные резистор сопротивлением 10 Ом и конденсатор подключены к переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Амплитуда тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и напряжением.

Задача 5 Написать уравнения зависимости напряжения и силы тока от времени для бытового прибора сопротивлением 50 Ом, включенной в сеть переменного тока с частотой 50 Гц и напряжением 220 В.

Рекомендуемая литература

1.Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.2/ И.В. Савельев.— М.: ООО

«Издательство Арстель», 2003.- 230 с.

2.Детлаф, А.А. Курс физики / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.— М.: «Акаде-

мия», 2007.-720 с.

3.Трофимова, Т.И. Курс физики/ Т.И. Трофимова. — М.: «Академия», 2007.-560 с.

4.Головинский, П.А. Курс лекций по физике. Электричество и магнетизм / П.А. Головинский, М.А. Преображенский. – Воронеж: ВГАСУ. – 2002.

5.Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерности / Л.А. Сена. –

М.: Наука, 1988.

Приложение

СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Фундаментальные физические постоянные

Постоянная	Значение
Заряд электрона	e = -1,60·10-19 Кл
Электрическая постоянная	ε0 = 8,85·10-12 Кл2/
	(Н·м2)
Магнитная постоянная	µ0 = 4π·10-7 Гн/м
Масса покоя электрона	me = 9,10·10- 31 кг
Масса покоя протона	mp = 1,67·10-27 кг

49

Окончание прил.

Греческий алфавит

Альфа	А α	Эта	Н η	Ню	N ν	Тау	Т
						τ
Бета	В β	Тета	Θ θ	Кси	Ξ ξ	Ипсилон	Υ
						υ
Гамма	Г γ	Йота	I ι	Омикрон	Ο о	Фи	Ф
						φ
Дельта	∆ δ	Каппа	К κ	Пи	П π	Хи	Χ
						χ
Эпсилон	Е ε	Лямбда	Λ λ	Ро	Р ρ	Пси	Ψ
						ψ
(Д)зета	Z ζ	Мю	М µ	Сигма	Σ σ	Омега	Ω
						ω

Множители и приставки СИ для десятичных кратных и дельных единиц

Приставка	Обозначе-		МножительПриставка		Обозначе-		Множитель
	ние				ние
экса	Э,	Е	1018	деци	д,	d	10-1
пета	П,	Р	1015	санти	с,	с	10-2
тера	Т,	Т	1012	милли	м,	m	10-3
гига	Г,	G	109	микро	мк,	µ	10-6
мега	М,	М	106	нано	н,	n	10-9
кило	к,	k	103	пико	п,	р	10-12
гекто	r,	h	102	фемто	ф,	f	10-15
дека	да,	da	101	атто	а,	а	10-18

50