Учебное пособие 1852
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b |
Если f (x) 0 |
на a, b , то f (x)dx 0 и |
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a |
b |
b |
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S= f (x)dx |
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f (x) |
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dx . |
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a |
a |
Если f(x) принимает на a, b значения разных знаков, то
b
S f ( x) dx .
a
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями: y 1x ; y 0; x 1; x 2 (рис. 4).
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Решение: S |
dx |
ln x |
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12 |
ln 2 ln1 ln 2 (кв. ед.). |
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x |
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y |
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y |
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0 |
+ |
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2 |
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0 |
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xt |
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1 |
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2 |
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xt |
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Рис. 4 |
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Рис. 5 |
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Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли- |
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ниями y sin x |
0 x 2 ; y 0 (рис. 5). |
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0 |
0 x |
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Решение: sin x |
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0 |
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2x 2 |
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2 |
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2 |
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S |
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sin x |
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dx sin xdx |
( sin x)dx |
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0 |
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0 |
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70 |
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cos x 0 cos x 2 1 1 1 1 4.
Иначе: S 2 sin xdx 4 .
0
4.2. Длина дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости задана кривая уравнением у= f(x), непрерывная на a, b .
Длина дуги кривой у= f(x) на a, b вычисляется по фор-
муле
b
L 1 f (x) 2 dx .
a
Пример. Определить длину окружности x 2 y 2 r 2 .
Решение. Вычислим длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги АВ будет
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x |
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y r 2 |
x 2 , |
откуда y |
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. |
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r 2 x2 |
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|
Следовательно, |
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r |
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r |
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r |
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1 |
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x2 |
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r |
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x |
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L |
1 |
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dx |
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dx r arcsin |
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2 . |
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4 |
r 2 |
x2 |
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r |
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r 2 |
x2 |
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0 |
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0 |
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0 |
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Длина всей окружности s 2r.
4.3. Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной кривой y=f(x) a x b , вращается вокруг оси Ох.
Объем тела вращения вычисляется по формуле
71
b
Vx f ( x) 2 dx .
a
Пример. Сегмент параболы y 2 4x , отсекаемый прямой
х=1, вращается вокруг оси Ох. Найти объём тела вращения (рис. 6).
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y |
O |
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x |
y |
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Рис. 6 |
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1 |
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1 |
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Решение: V 4xdx 2x 2 |
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2 (куб. ед.). |
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0 |
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0 |
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Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.12, №№ 10,
12, 19, 41, 45, 46], [3, №№ 1596 1599, 1613 1615, 1628 1631, 1636 1638], [4, гл.6, №№ 6.3, 6.5, 6.7, 6.11, 6.15, 6.41,
6.42, 6.55, 6.57 6.69, 6.81, 6.83, 6.86].
Задачи для самостоятельного решения
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
1. |
y 4 x2 , y 0. |
|
2. y 2 2 px, x h. |
|
3. |
y ln x, x e, y 0. |
4. y x2 , y 2 x2. |
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5. |
y x2 , y = 1. 6. |
y cos2 x sin 2 x, y 0, x 0, |
x / 4. |
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72 |
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7. |
y |
|
x |
|
1, |
y 0, x 2, x 1. |
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8. |
y sin x, |
y x2 x. |
9. y arcsin 2x, x 0, y / 2. |
||||||||||
10. |
y sin 2x, |
y 1, x / 2, где |
/4 x / 2. |
||||||||||
11. |
x2 y 2 |
1, |
x 2. |
12. |
xy 4, x 4, y 4, x 0, y 0. |
||||||||
|
y x2 , |
|
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|||||||
|
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|
|
y |
x2 1, |
|
|||||
13. |
y x. |
14. |
y 0, x 2, x 2. |
||||||||||
15. |
Найти площадь фигуры, заключенной между параболой |
||||||||||||
y x2 2x 2, касательной к ней в точке (3, 5) и осью Оу. |
|||||||||||||
16. |
Найти площадь фигуры, заключенной между параболой |
||||||||||||
y x2 4x 3 |
и касательными к ней в точках (0, 3) и (3,0) . |
Найти длину дуги кривой:
17. y x3 / 2 от x 0 до x 4.
18. y x2 1, отсеченной осью Ох.
19. |
y |
|
a |
e x / a |
e x / a от |
x 0 до x a. |
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2 |
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20. |
y ln cos x |
от |
x 0 |
до |
x / 6. |
|||||||||
21. |
y ln sin x |
от |
x / 3 |
до |
x 2 / 3. |
|||||||||
22. |
y |
x2 |
|
1 |
ln x |
от |
x 1 |
до |
x e . |
|||||
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|||||||||||
|
4 |
|
2 |
|
|
|
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|||||
23. |
y 2 |
4 |
|
(2 x)3 |
от |
x 1 до x 2 . |
||||||||
|
||||||||||||||
|
9 |
|
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||||
24. |
y x2 от |
х = 0 |
до x 2 . |
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25. |
x et sin t, |
y et cos t, |
0 t / 2. |
|||||||||||
26. Астроиды |
x a cos3 t, |
y asin3 t . |
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73 |
27. Кардиоиды a 1 cos , a 0, |
0 2 . |
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
28.y2 2 px, x h вокруг оси Ox.
29.y 4 x2 , y = 0, x = 0, где x 0 вокруг: 1) оси Ох;
2)оси Оу .
|
y x2 , |
y |
|
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вокруг оси Ох. |
|
|
|||||||
30. |
|
x |
|
|
|||||||||||
31. |
|
y e x , |
x 0, x 1, |
y 0 вокруг: 1) оси Ох; |
2) оси Оу. |
||||||||||
32. |
y x2 1, y 0, |
x 1, |
x 2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Оу. |
||||||||||||
33. |
y x3 , |
y 1, x 0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу. |
|||||||||||||
34. |
|
y x x2 , |
y 0 вокруг |
каждой из следующих прямых: |
|||||||||||
1) |
y = 0; |
2) |
x = 0; 3) x = 2; |
4) x= 2; |
5) y = 1; |
6) y = 2. |
|||||||||
35. |
|
y ln x , |
y 0 , |
x = e вокруг каждой из следующих пря- |
|||||||||||
мых: y = 0; 2) x = 0; |
3) |
y = 1; 4) x = 1; 5) x = 1; 6) y = 1. |
|||||||||||||
36. |
y sin x , |
y = 0, |
0 x вокруг каждой из следующих |
||||||||||||
прямых: |
y = 0; |
2) x = 0; |
3) x 2 ; |
4) x = 1; |
5) x = 2; |
||||||||||
6) |
y = 1; |
7) |
y = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
37 x2 y 2 4, |
y = 2, |
y = 0 вокруг оси Ох. |
|
||||||||||||
38. |
y x, |
y x2 вокруг: 1) |
оси Ох; 2) |
оси Оу. |
|
||||||||||
39. |
|
y cos 2x , |
y 0, |
x = 0, где, |
0 x / 4 вокруг: 1) оси |
||||||||||
Ох; |
2) оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
40. |
|
y sin x , |
y 0, где 2 х 3 |
вокруг каждой из следую- |
|||||||||||
щих |
прямых: 1) y = 0; |
|
2) x = 0; |
|
3) х ; |
4) y = 2. |
74
41. |
|
y 2x x2 , |
|
|
y 0 |
|
вокруг каждой из следующих прямых: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) x = 0; |
2) |
|
y 0; |
3) x = 1; |
4) y = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
42. |
|
|
y |
4 |
, |
|
x = 1, |
x = 4, |
y 0 |
вокруг: 1) оси Ох; 2) |
|
оси Оу. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
43. |
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
x 1, |
|
x 1, |
y 0 вокруг: 1) оси Ох; |
|
2) оси Оу. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
44. |
|
y x2 1, |
y 3x 1 |
вокруг оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
Ответы |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||||||||
1. 32/3. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3. 1. |
4. 8/3. |
5. 4/3. |
|
6. 1/2. |
7. 11/2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2. |
h 2 ph. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||
8. 2 3 / 6. |
|
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|
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|
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|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9. 1/2. |
|
10. |
|
|
|
|
11. |
|
2 3 ln(2 |
3). |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
4 ln(4e). |
|
|
|
|
13. 1/3. |
14. |
4. |
|
|
|
|
15. |
9. |
|
|
|
|
|
|
16. |
9/4. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(e2 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
17. |
|
(10 10 1). |
18. |
|
5 |
ln(2 |
|
|
5). |
19. |
. |
20. |
ln 3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2e |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1 |
(e2 1). |
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1 |
ln(4 |
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21. |
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ln 3. |
22. |
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23. |
4/3. |
24. |
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17 |
17). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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4 |
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(e / 2 |
1) . |
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27. 8a. 28. ph2. |
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256 |
; 8 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
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|
2 |
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26. 6a. |
|
29. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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15 |
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30. |
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3 |
|
. |
|
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31. |
|
(e2 1) |
; |
2 . |
|
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32. |
178/15 ; 21/ 2. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
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2 |
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|||||||||||
33. |
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6 |
; |
3 |
. |
|
|
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34. |
|
|
; |
|
; |
; |
|
5 |
|
|
; |
|
11 |
|
; |
19 |
. |
|
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
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7 |
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|
|
5 |
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|
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30 |
|
|
6 |
|
2 |
66 |
|
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|
|
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
35. |
(e 2); |
|
(e2 |
1) |
; e; |
(e2 3) |
; |
(e2 5) |
; (4 e). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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2 |
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|
2 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||
36. |
|
2 |
|
|
; 2 2 ; 6 2 ; 2 ( 2); 2 ( 4); |
(8 ) |
; |
( 16) |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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2 |
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
75 |
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|
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|
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|
32 |
|
|
|
|
1). |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
; |
|
( 2). |
|
|
|
|||||
37. |
(2 2 |
|
|
|
38. |
; |
. |
39. |
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
15 |
6 |
8 |
|
4 |
|
|
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|||||||||||||||||
|
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|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
( 16) |
|
|
|
8 |
|
16 |
|
16 |
|
8 |
|
|||||||||
40. |
; 10 |
; 6 |
; |
|
|
|
|
|
|
. |
|
41. |
|
; |
|
|
|
; |
|
|
; |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
15 |
3 |
5 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
42. 12 ; 24. |
43. |
( 2) ; ln 2. |
44. |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Задания к типовому расчету
Задача 1. Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
1.1. |
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
2x |
|
3x |
2 |
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
|
1.3. |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
1 cos x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2
1.5.x log 2 x dx .
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
x 1 |
|||||||
1.7. |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
x |
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x dx |
|
||||||
1.9. |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
0 |
|
x |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
1 ln x |
|
|
|||||||
1.11. |
|
dx . |
|||||||||
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
1.2. dx .
1 x x3
3
1.4.x dx .
sin 2 x
4
e1
1.6.ln x 1 dx .
0
|
|
1 |
|
|
dx |
|
||||
1.8. |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 3x |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x3dx |
|
|
|
|
||
1.10. |
|
|
. |
|
||||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
0 |
x |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.12. |
x2 |
ln x2 |
dx . |
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
1
1.13.x3 4 5x4 dx .
0
|
|
|
|
|
|
|
||
1.15. |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
x cos x dx . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
e ln 2 x |
|
|
|
|||
1.17. |
|
|
x |
dx . |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.19. |
2 |
x 3 sin x dx . |
||||||
|
||||||||
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
dx |
|
|
|
|
1.21. |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
5 4x x2 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
e 2
1.23.x ln x dx .
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.25. |
2 |
|
|
|
sin x cos 2 x dx . |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1.27. |
sin 2 |
dx . |
||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x 2e x3 ) dx . |
||||||
1.14. 3 (x 2 |
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.16. |
xe 2x dx . |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.18. |
x ln 2 x dx . |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
x 2 e |
|
|
|
|
|
||||
1.20. |
|
|
3 dx . |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
1.22. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
4 x 2 |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.24. |
arctg 2x 3 dx . |
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
cos x |
|
|
|
|
|
||
1.26. |
|
|
|
|
dx . |
||||||
|
1 |
cos x |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.28. |
sin x cos3 x dx . |
6
77
|
1 |
e |
2x dx |
|
ln 2 |
|
|
dx |
|
|
1.29. |
|
. |
1.30. |
|
|
|
. |
|||
|
x |
|
x |
|
x |
|||||
|
0 |
e |
1 |
0 |
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
|
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|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
16x 4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
16x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(x2 |
4)3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
4 (16 x2 )5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(x2 |
4x |
5) |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|||
|
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|
arctg 2x |
|
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|
|
|
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|||||||
2.11. |
|
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|
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|
dx. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
0 |
|
|
(1 4x2 ) |
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|||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
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2.13. |
|
|
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|
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|
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|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
4x2 4x |
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||||||||||||||||||
|
0 |
5 |
|
|
|
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||||||||||||
|
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|
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|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
2.15. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16x dx |
|
|
|
|||
2.2. |
|
. |
|
|
||||
|
|
|||||||
|
1 |
16x 4 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
2.4. |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
1 |
16x4 1 |
x2dx
2.6.3 (x3 8)4 .0
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
||||
2.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 4x 1 |
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|||
2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
2 |
4x 5 |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
16dx |
|
|
|
|
||||
2.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(4x2 4x 5) |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) dx
2.14.3 (x2 4x 1)4 .0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
arctg 2x |
|
||
2.16. |
|
|
|
dx. |
||||
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
1 4x2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
78
|
|
|
|
|
|
|
4dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
x(1 ln 2 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
7dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(x 2 4x) ln 5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
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|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
2.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
|
(4 x2 ) |
arctg |
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.23. |
e 3x x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x |
2 |
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x(ln x |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
9x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18. x sin x dx.
0
dx
2.20.1 (1 9x2 ) arctg2 3x .
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
2x) ln 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2.24. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
dx. |
||||||||||
|
x |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
1 (6x2 5x 1) ln |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.30. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость
1 |
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dx |
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. 3 |
|
|
|
3.2. |
|
|
|
|
. |
||||
2 |
4x |
|
|
x |
2 |
6x 9 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
|
|