Учебное пособие 1920

4.Собственные функции, отвечающие различным соответственным значениям, ортогональны с весом (x):

l

(x)Xn(x)Xm(x)dx 0, если n m.

0

5.(Теорема Стеклова). Если функция f(x) имеет на отрезке [0,l] непрерывные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет граничным условиям f(0)=f(l)=0, то она разлагается в абсолютно и равно-

мерно сходящийся ряд Фурье

			f (x) cn Xn(x),
где						n 1
cn			1			l (x)f (x)Xn(x)dx,
			Xn
					2 0

l

Xn 2 (x)Xn2(x)dx.

0

Утверждение 1 и 5 примем без доказательства.

Особые случаи. Особые случаи Штурма - Лиувилля отличаются от неособого случая тем, что или функция k(x) может обращаться в ноль в некоторых точках отрезка [0,l], или уравнение рассматривается на промежутке бесконечной длины.

Рассмотрим случай, когда функция	k(x) обращается в
ноль в точке х=0, причем k(x) x (x), где	(x) 0.	Это озна-
чает, что число 0 является простым	корнем	уравнения

k(x) 0. В этом случае справедливо следующее утверждение, которое примем без доказательства.

Теорема. Пусть функции k(x) x (x),k (x),q(x), (x) непрерывны на отрезке [0,l], причем (x) 0,q(x) 0, (x) 0.

40

Тогда если Х1(х), Х2(х) линейно независимые решения

нашего уравнения и если lim X1(x) X1(0) ,	то lim X	2(x) .
x 0	x 0

Общее решение нашего уравнения в этом случае имеет вид

X(x) C X	(x) C		X		(x), где lim X		(x) X	(0)	, lim X	2	(x) .
1 1		2		2		x 0 1	1		x 0
Поэтому если		решение				X(x) C1X1(x) C2X2(x) удовлетворяет
условию limX(x) X(0) 0,						то C2 0.	Условие		lim X(x) X(0) 0
x 0									x 0

позволяет найти одну из постоянных в общем решении уравнения нашего, то есть это условие заменяет одно из граничных условий задачи Штурма–Лиувилля. Поэтому задача ШтурмаЛиувилля в первом случае ставится следующим образом.

Найти ненулевые решения уравнения

k(x)X (x) q(x)X(x) (x)X(x) 0,

удовлетворяющие граничным условиям

lim X (x) X(0) 0, X (0) 0.

x 0

В особом случае условие lim X(x) X(0) 0 заменяет

x 0

условие X (0) 0 в неособом случае.

Справедливы следующие утверждения о собственных значениях и собственных функциях в особом случае:

1.Существует бесконечно много собственных значений1 2 ... n ..., которым соответствуют собст-

венные функции X1(x),X2(x),...,Xn(x),... Собствен-

ные значения могут быть кратными, причем кратность каждого собственного значения конечна: каждому собственному значению может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных функций.

2. Собственные значения n 0, число 0 может быть собственным значением.

41

3. Собственные функции Xn (x),	Xm (x), различным
собственным значениям n, m,	ортогональны на от-
l

резке [0,1], (x)Xn(x)Xm(x)dx 0,	если n m.
0

4.(Теорема Стеклова). Если функция f(x) имеет на отрезке [0,l] непрерывные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет граничным условиям

f (0) f (l) 0,	если	lim q(x)	и
		x 0
f (0) , f (l) 0,	если lim q(x) q(0) ,то		функ-
	x 0

ция f(x) разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

		f (x) cn Xn (x),
где				n 1
cn		1		l (x)f (x)Xn(x)dx.
		Xn
			2 0

Второй особый случай задачи Штурма-Лиувилля заключается в том, что ненулевые решения основного уравнения ищутся в промежутке бесконечной длины, например, в промежутке [0, ) или ( , ). В этом случае справедливо следующее утверждение, которое примем без доказательства.

		Теорема. Пусть функции k(x),			k (x), q(x), (x) непрерыв-
	ны на промежутке			[0, ) , причем	k(x) 0,	q(x) 0, (x) 0, и
	пусть Х1(х), Х2(х)			линейно независимые решения основного
	уравнения. Тогда если для некоторого n					lim	X1(x)	0, то
		X2(x)				x	xn
	lim		, если решение X1(x)		при x растет не бы-
	x	xn

42

стрее некоторой степенной функции xn,то решение X2 (x) при x растет быстрее любой степенной функции x n .

Из этой теоремы следует, что если из общего решения

X(x) C1X1(x) C2X2(x)уравнения требуется		найти		частное
решение, растущее при	x не быстрее некоторой степен-
ной функции, то С2 0,	то есть условие lim	X1(x)	0	для не-
	x	xn

которого n заменяет граничное условие X(l)=0. Поэтому задача Штурма-Лиувилля во втором особом случае ставится следующим образом. Найти ненулевое решение основного уравнения, удовлетворяющее граничному условию Х(0)=0 и растущее при x не быстрее некоторой степенной функции x n .

Свойства собственных значений и собственных функций во втором особом случае формулируются так же, как и свойства 1-4 в первом особом случае.

1.9. Уравнение колебаний мембраны

Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую пленку. Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости хОу и занимает некоторую область D, ограниченную замкнутой кривой L. Далее предположим, что мембрана находится под действием равномерного натяжения Т, приложенного к краям мембраны. Это означает, что если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы, действующая на элемент ds линии, будет равна Tds. Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости хОу, параллельно оси Оu. Тогда смещение и точки (х,у) мембраны будет функцией от х, у и t. Рассматривая далее только малые колебания мембраны, будем считать, что функция u(х,у,t), а также ее частные

43

производные по х и у малы, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами. Выделим произвольный участок (σ) мембраны, ограниченный в положении равновесия кривой L . Когда мембрана будет выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформируется в участок σ' поверхности мембраны, ограниченный пространственной кривой l'. Площадь участка σ/ в момент времени t равна

' 1 ux2 u2y dxdy dxdy .

Таким образом, при наших предположениях можно пренебречь изменением площади произвольно взятого участка мембраны в процессе колебаний и считать, что любой участок σ' мембраны будет находиться под действием первоначального натяжения Т.

Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны. Рассмотрим произвольный участок σ' мембраны. Со стороны остальной части мембраны на этот участок действует направленное по нормали к контуру l' равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в касательной плоскости к поверхности мембраны. Найдем проекцию на ось Оu сил натяжения, приложенных к кривой L', ограничивающей участок σ' мембраны. Обозначим через ds' элемент дуги кривой dl'. На этот элемент действует натяжение, равное по величине Tds'. Косинус угла, образованного вектором натяжения Т с осью. Он

равен, в силу наших предположений, ди , где n - направление

дп

внешней нормали к кривой l, ограничивающей участок мембраны в положении равновесия (рис. 1.13). Отсюда следует, что проекция на ось Оu сил натяжения, приложенных к эле-

менту ds' контура, равна T u ds', и проекция на ось Оu сил на-

n

тяжения, приложенных ко всему контуру, равна T		u	ds'.
l	/	n

44

Рис. 1.13. Анализ участка мембраны

Так как при малых колебаниях мембраны можно считать ds≈ds', то, применяя формулу Грина, получим

T	u			2	u			2	u
	n	ds T	x		2		y		2	dxdy.
l

Предположим далее, что на мембрану параллельно оси Оu действует внешняя сила р(х, у, t), рассчитанная на единицу площади. Тогда проекция на ось Оu внешней силы, действую-

щей на участок σ/ мембраны, будет равна p x, y,t dxdy.

Силы должны в любой момент времени t уравновешиваться силами инерции участка σ' мембраны

2u

x,y t2 dxdy,

где ρ(х,у) — поверхностная плотность мембраны. Таким образом, мы получаем равенство

			2u		2u		2u
		x,y		T					p x,
			t2		x2		y2

y,t dxdy 0.

Отсюда в силу произвольности площадки следует, что

45

x, y	2u			2u			2u			p x, y,t .
			T
		2			2			2
	t			x			y

Это есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны. В случае однородной мембраны ρ=const, и уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде

2u

2u

2u

f x, y,t ,

a2

2

2

2

t

x

y

p x, y,t

.

где a

T

; f x, y,t

Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х,у,t) = 0, то получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны

	2	u					2	u			2	u
			a	2
t		2				x		2		y		2

Как и при рассмотрении колебаний струны, одного этого уравнения недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно задать смещение и скорость ее точек в начальный момент времени:

u		t 0			x, y ,	u			t 0	x, y .
				0		t				1

Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть u L 0 при любом t ≥ 0.

1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны

Задача о свободных колебаниях однородной круглой мембраны с закрепленной границей заключается в следующем.

Найти функцию u(t,x,y), удовлетворяющую в круге x2 y2 R2 дифференциальному уравнению

46

2u(t,x,y)

2u(t,x,y)

2u(t,x,y)

a2

,

t2

x2

y2

u(t,x)

t 0

(x),

начальным условиям

u(t,x)

(x)

t 0

t

и граничному условию

u(t,x, y)

x2 y2 R2

0 (рис. 1.14).

y

x

0 R

Рис. 1.14. Схема круглой мембраны

В полярных координатах r, эта задача формулируется следующим образом. Найти функцию u(t,r, ), удовлетворяющую в круге r Rдифференциальному уравнению

2u(t,r, )	a2	2u(t,r, )			1 u(t,r, )			1
t2			r2		r		r		r2

начальным условиям

u(t,r, ) t 0 (r, ),

u(t,r, )

t 0 (r, )t

и граничному условию u(t,r, ) r R 0.

2(t,r, )

2 ,

47

Рассмотрим частный случай этой задачи, когда начальные отклонения и начальные скорости не зависят от переменной . Это означает, что точки, одинаково удаленные от центра мембраны, в начальный момент времени имеют одинаковые отклонения и одинаковые скорости. В этом случае и при t>0 отклонение точек мембраны не будет зависеть от переменной . Таким образом, рассматривается следующая задача. Найти функцию u(t,r), удовлетворяющую в круге r Rдифференциальному уравнению

2u(t,r)

t2

начальным условиям

2u(t,r)

1 u(t,r)

a2

,

r2

r r

u(t,r)

t 0

(r),

u(t,r)

(r)

t 0

t

и граничному условию u(t,r) r R 0.

Для решения этой задачи используем метод разделения переменных, примененный нами ранее для решения задачи о колебаниях конечной струны. Найдем сначала ненулевые решения нашего уравнения, удовлетворяющие только гранично-

му условию.

Эти

решения

будем искать в виде

u(t,r) Т (t)Х (х), где Х(0)

,

Х(R) 0.

Дифференцируя функцию u(t,r)

и подставляя результа-

ты дифференцирования в наше уравнение, получим

2

1

T

X

(t)X(r) a

r

X (r) T(t) 0,

X

1

(r)

r

X (r)

T (t)

.

a2T(t)

X(r)

Отсюда следует, что

48

		T			2	T(t) 0,	(***)
					(r) a
X		1	X
	(r)				(r) X(r) 0 (0 r R),
		r
		(X(0) ,				X(R) 0).

Уравнение можно записать в виде

r2 X (r) rX (r) r2 X(r) 0.

Следовательно, это уравнение является уравнением Бесселя с n=0. Поэтому на отрезке [0,R] при n=0 сделаем в уравнении замену независимой переменной r R ,тогда

d		d 1				d2		d2	1
					,						.
								d 2		R2
dr d R dr2

В результате этой замены уравнение примет вид

X ( ) 1 X ( ) R2 X( ) 0.

Таким образом, мы пришли к следующей задаче. Найти ненулевые решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие на отрезке [0,1] граничным условиям

Х(0) ,	Х(1) 0.
Ненулевые решения,	удовлетворяющие		условию
Х(0) , существуют только при R2 ( k(0) )2,		где	(k0) по-
ложительные решения уравнения J0( ) 0, и		эти	решения

имеют вид Xk ( ) J0( k ), k 1,2,3..... Таким образом, наша

										( (0))2
	задача имеет ненулевые решения только при									k	, и
										R2
								k
							0
	эти решения имеют вид Xk (r) J						k r
						0	R	. Подставляя значе-
	ния	k		( k(0))2	в уравнение (***)			и решая полученное
				R2

уравнение, находим

49