Учебное пособие 1969
.pdfпровода. Объемы участков соответственно будут определяться следующими выражениями.
1. Первый участок длиной x1, представляет собой усеченный конус. Его объем определяется как:
V1 |
1 |
|
x1(r02 |
r0r1 r12 ) , |
|
3 |
|||||
|
|
|
где r0 и r1 - радиусы его соответственно большего и меньшего основа-
ний.
2. Объем второго участка, представляющего собой цилиндр длиной х2 и
радиуса r2 , равен:
V2 r22 x2
3. Объем третьего и четвертого участков определим из предположе-
ния, что основание 21 является состоящим из ряда изогнутых полос, каждая из которых несет собой набор катушек 24 с сердечниками 22. Тогда, для од-
ной пары катушек объем V3 третьего участка определяется, как:
V3 2r0 (r0 r1 )rт
где rт - толщина полосы основания
Принято, что ширина полосы основания равна 2r0, а длина третьего участка х3 :
x3 r0 r1
Знак приблизительного равенства показывает, что объем принимается равным объему параллелепипеда, хотя в действительности, это тело является цилиндрическим поясом. Однако при больших радиусах изгиба полосы дан-
ное обстоятельство не вносит существенных погрешностей. Окончательное выражение для V3 имеет вид:
V3 2r0rт x3
4. Исходя из аналогичных допущении, объем четвертого участка V4 как функция длины х4 этого участка определится следующим образом:
41
V4 2r0 rт x4
Рассматривая схему, приведенную на рис. , нетрудно заметить, что наименьшим сечением среди всех четырех участков обладает второй уча-
сток. Исходя из этого можно определить rт исходя из равенства сечений второго и четвертого участков:
r22 |
|
r2 |
|
2r0rт , откуда: rт |
2 |
||
2r0 |
|||
|
|
Практически допустимо применение неравенства:
|
r2 |
|
rт |
2 |
|
2r0 |
||
|
поскольку толщина основания может быть увеличена из соображений проч-
ности. Используя выражение для rт, запишем полностью полином, опреде-
ляющий ограничение на объем, складывая выражения ( ), ( ), ( ) и (
):
1 |
(r2 |
r r r2 )x |
r2 x |
r2 x |
r2 x V |
||||||
|
|||||||||||
3 |
0 |
0 1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
4 |
зад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, возникли три новых переменных: r0, r1, r2 . Обозначим через R расстояние от центра вращения руки манипулятора до внутренней стороны основания 21, то есть той стороны, с которой прикреплены катушки
24.
Тогда из геометрических соотношений имеем:
r0 |
(R |
x2 )sin |
r1 |
(R |
x1 x2 )sin |
где - центральный угол, соответствующий одному сердечнику. Кро-
ме того, исходя из принципа равенства сечений, целесообразно принять: r1=r2.
Таким образом, с учетом выражения для х3, окончательно имеем:
42
1 |
|
(R |
x |
|
) sin |
2 |
(R |
x |
|
) sin2 |
(R x x |
|
) (R |
x |
|
x |
|
) sin |
|
2 x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(R |
x |
|
|
x |
2 |
) sin |
2 x |
2 |
|
|
(R |
x |
x |
2 |
) sin |
|
(R x |
x |
2 |
) sin |
x |
3 |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(R |
x |
|
|
x |
2 |
) sin |
2 x |
4 |
V |
зад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Таким |
образом, |
для |
решения |
помимо |
задания |
максимального объе- |
ма Vзад, требуется задание R и .
Аналогично составляется уравнение и для масс:
m1 m2 m3 m4 mзад
Массы всех участков, кроме второго, находятся как произведение соот-
ветствующих объемов на плотность стали с. Масса же второго участка m2
определяется как:
m |
V |
(r2 |
r2 )x |
2 к |
2 |
2 c |
0 |
1 |
где к – объемная плотность катушки 24.
Как и уравнение для объемов, уравнения для масс составляется из
расчета или на один, или два полюса. Третье и четвертое уравнение для функций - ограничении получим, используя выражения для плотности тока и магнитодвижущей силы электромагнита постоянного тока, в наших обоз-
начениях имеем:
j |
2k |
|
(r2 |
h) |
|
jдоп |
|
||||
k |
3 |
(h2 |
2hr ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
x2 |
|
2k |
h(h |
r2 )k3 |
|
(I ) |
|
|||
|
|
|
(h 2r2 ) |
|
доп |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где j - плотность тока в обмотке; I |
- магнитодвижущая сила; |
-число витков; I - ток; k - коэффициент теплоотдачи;
-превышение температуры; h - толщина обмотки;
- удельное сопротивление провода; k3 - коэффициент заполне-
ния.
43
Выражение для целевой функции находится по уравнению ( ), толь-
ко вместо выражении для масс единиц длин отдельных участков, подставля-
ется выражения для соответствующих стоимостей 9 . Кроме того, возможно
введение коэффициентов, характеризующих технологичность, эксплуатаци-
онные свойства.
Система функций ограничений ( ), ( ), ( ) и ( ), как видно,
при неизвестных x1 , х2 , х3, требует задания всех остальных переменных.
Возможно введение и дополнительных ограничений, например, на ве-
личину, связанных с минимизацией потока рассеяния, а также на ограни-
чение других переменных.
Центральный угол можно выбрать из условия:
1 |
k |
, или |
1 |
|
n |
n(1 k ) |
|||
|
|
где 1 - угол сервиса, заданный при проектировании манипулятора; n - число сердечников на одну полосу основания;
k = 0,2:0,3 - коэффициент, характеризующий центральный угол при за-
зоре между сердечниками.
Величина R находится из условия статического равновесия:
Rmп R1mк , откуда |
R |
R1 |
mк |
|
|
mп |
|||||
|
|
|
|||
где R1 - длина полностью вытянутой руки; |
|
|
|
||
mк - масса кисти; |
|
|
|
|
|
mп - масса блока приводов. |
|
|
|
|
|
Величины, входящие в формулы ( |
) и ( |
), определяются исходя из |
известных рекомендаций, приведенных, например, в 8 .
Математическая процедура нелинейного программирования также вхо-
дит в число подпрограмм ЕС-1022 7 .
Основные результаты расчета выглядят следующим образом.
44
Для линейной модели с эмпирически изображенными коэффициентами:
X1 = 46,7; X2 = 44; X3 = 69; Х4 = 21.
Для нелинейной модели, построенной с использованием соотношений
( ), ( ), ( ), ( ):
X1 = 27,6; X2 = 63,1; X3 = 56,3; Х4 = 33,7.
Размеры даны в миллиметрах. Кроме вышеприведенных соотношений,
в нелинейную модель были введены условия, обеспечивающие постоянст-
во суммарных длин первого и второго, а также третьего и четвертого участ-
ков. Эти условия вызваны тем, что известных R, , n, и при известной вели-
чине воздушного зазора между наконечниками и якорем, длина пути внешне-
го магнитного потока фактически определена. Неясным остается лишь рас-
пределение длин по участкам. Эта задача и разрешается методом нелинейно-
го программирования.
В результате удалось подобрать также значения длин участков внеш-
него магнитного потока, которые при выполнении заданных технических требований по обеспечению максимальной индукции в зазоре, одновременно обеспечивают минимальные массу, габариты и стоимость внешней магнит-
ной системы электромеханического манипулятора.
Уменьшение массы подвижной части удобно продемонстрировать, на-
пример, на примере электромеханического робота типа ТУР-10, грузоподъ-
емностью 10 кг. Робот имеет манипулятор, выполненный в ангуальной сфе-
рической системе координат. На неподвижном основании размещен лишь привод поворота. Приводы качания плеча и руки, поворота и ротации кисти расположены в виде единого блока на вращающемся основании и соединены с соответствующими звеньями тягами или ценными передачами. Каждый из четырех приводов имеет волновой редуктор, датчики положения и скорости.
Двигатели постоянного тока имеют печатный якорь и возбуждение от посто-
янных магнитов. Масса двигателя типа ДПУ составляет 5 кг, из них на маг-
45
нитную систему приходится около 4,5 килограмм.
Вынос магнитной системы на основание, таким образом позволяет уменьшить массу каждого двигателя, а следовательно, и привода на 4,5 ки-
лограмма. Поскольку имеются четыре привода, общее снижение массы подвижной части робота составляет 18 кг. В свою очередь, это уменьшает момент инерции подвижного основания и первую постоянную времени при-
вода поворота, что позволяет повысить быстродействие, а, следовательно, и
производительность робота в целом. Аналогичный подход может быть ис-
пользован и для роботов типа РПМ-25 грузоподъемностью 25 кг, ПР-25
грузоподъемностью от 25 до 50 кг. и других, работающих в сферической и цилиндрической системах координат.
2. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
Анализ основных особенностей данных систем целесообразно начать с изучения механических процессов, среди которых можно выделить три ос-
новных типа: |
|
|
|
|
|
|
1. Раздельный |
режим. |
Каждый |
ротор |
является автономным элек- |
||
тродвигателем, работающим на свою нагрузку. |
|
|
||||
2. Параллельный (многодвигательный) |
режим. |
Все роторы включе- |
||||
ны параллельно и |
работают на общую нагрузку |
через многовходовый |
||||
редуктор планетарного или волнового типов. |
Данное соединение целесооб- |
|||||
разно рассматривать в виде эквивалентного двигателя. |
||||||
3. Совместный |
режим. |
Механическими средствами (тормозами) рото- |
||||
ры фиксируются относительно выходного вала и |
вращаются вместе с |
|||||
ним, образуя единую конструкцию. |
В |
случае привода постоянного тока, |
||||
при использовании |
цилиндрических |
якорей возможна линейная модифи- |
||||
кация совместного |
режима, |
когда |
при увеличении осевой длины ВМС, |
|||
рабочий ход осуществляется |
при взаимодействии лобовых частей с основ- |
|||||
|
|
|
46 |
|
|
|
ным потоком.
Таким образом, данная электромеханическая система является много-
мерной. Ее математическое описание будем рассматривать в переменных состояния:
x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
Здесь A(t) - матрица объекта размерностью (n, n), В(t) - матрица управ-
ления или входа размерностью (n, m), Q(t) - матрица выхода размерностью
(1, n) и матрица компенсации D(t) размерностью (1, m), где m - число вхо-
дов, l - число выходов, n -размерность вектора состояния. x(t), u(t), y(t) соот-
ветственно вектора входа и выхода.
Особенностью орбитальных систем является то, что наряду с наличи-
ем традиционных входов (роторов), имеет место условие механического включения тормозов, в зависимости от которого, существенно меняются координаты выходного вектора.
Таким образом, наряду с многомерностью, имеет место и изменение структуры системы.
Наиболее простым описанием подобных систем является сусматричная форма, при которой каждый элемент сложной матрицы является трехмер-
ной матрицей-столбцом, элементы которого, в свою очередь, относятся к па-
раллельному, раздельному или совместному режимам.
Например, для одномассового (по отношению к выходному валу) не-
упругого привода ПР постоянного тока, сложная матрица имеет вид:
d i |
R / L C / L |
i |
i / L 0 |
U |
|
|
|
i / J 0 |
|
0 |
i / J M c |
dt |
|
Здесь элементы являются векторами - столбцами:
47
iрз |
рз |
U рз |
M рз |
i iпр |
пр |
U Uпр |
M М пр и т.д., |
iсв |
св |
Uсв |
М св |
|
а индексы "рз", "пр", "св" относятся к вышеупомянутым режимам. |
|||||
|
Основываясь на |
этих соображениях, |
можно |
составить соответст- |
||
венно три матричных уравнения |
на |
основе |
уравнений обобщенного элек- |
|||
тромеханического преобразования. |
|
|
|
|
||
|
При этом для |
раздельного |
режима |
выделяются обмотки "единич- |
||
ного" ротора, и соответствующего |
участка |
ВМС, |
для параллельного ре- |
|||
жима |
определяются |
параметры |
эквивалентного двигателя, а для совмест- |
|||
ного |
режима должна |
рассматриваться совокупность обмоток неподвижных |
составляющих ротора при условии вращения составного ротора. Сущест-
венное, особенно при переходе к совместному режиму, изменение конфигу-
рации обмоток, приводит к изменению взаимных и полных индуктивностей.
Должно учитываться также наличие некоторого противодействующего момента в случае одностаторного асинхронного привода, возникающего на стороне ротора, противоположной статору. Этот момент отсутствует в
двухстаторном исполнении. При этом исполнении число обмоток статора и число соответствующих уравнений увеличивается вдвое.
Очевидно, что переход от раздельного к параллельному режиму сопро-
вождается электрической перекоммутацией, переход от параллельного к
совместному режиму связан с механической перекоммутацией роторов,
а переход от раздельного к совместному режиму сопровождается и меха-
нической и электрической перекоммутацией.
Из возможных математических моделей орбитальных систем в самом общем случае можно выделить три основные:
1. Ротор, совершающий собственное вращение при свободном орби-
тальном движении. Данный случай соответствует раздельному режиму, при
этом допустимо рассмотрение не всего статора, а его сегмента, в котором
48
происходит свободное движение.
2. Ротор, совершающий собственное вращение при вынужденном ор-
битальном, связанным с собственным коэффициентом редукции -
параллельный режим.
3. Вращение составного ротора, состоящего из заторможенных состав-
ляющих роторов - совместный режим.
Следует отметить, что энергетические показатели магнитной системы
орбитальных машин существенно зависят от типа исполнения роторов. При
цилиндрических роторах наблюдается значительная неравномерность воз-
душного зазора, что приводит к увеличению его средней величины. При дисковых же роторах величина воздушного зазора остается штатной, но уменьшаются размеры активной зоны из-за необходимости осуществления
сегментной зоны прохода выходного вала при орбитальном движении.
Начнем рассмотрение с цилиндрического ротора. Известно, что при определении напряженности в явнополюсных машинах неравномерный воз-
душный зазор заменяется некоторой средней величиной [ ]. Неравномер- |
||
ность же |
зазора учитывается путем введения радиальной магнитной прони- |
|
цаемости |
рад, изменяющейся в пространстве по закону: |
|
|
рад |
2 cos2n s , |
где n - число периодов пространственно распределенного токового |
||
слоя, приходящихся на s в 2 рад, |
||
s - |
угол в механических |
пространственных радианах, измеренный |
в координатной системе статора. |
|
|
Индукция B= H определяется как: |
B |
a ( |
2 cos2n |
S ) |
r2 |
k S sinn S |
r2 |
k r sinn S |
, |
|
ng |
ng |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
где rr - внешний радиус ротора, rs - внутренний радиус статора,
49
g=rs-rr ,
k – поверхностная плотность тока is.
Для раздельного и параллельного режимов характерно наличие реак-
тивного момента, изменяющегося по закону sin S, где S электрический про-
странственный угол (в n раз больший механического угла ) между рото-
ром и статором при t=0, имеющего максимум при S=90 . Для совместного режима характерно наличие реактивного момента, изменяющегося по закону sin 2 , имеющего максимум при =45 .
В [ ] рассматривается поле в неравномерном зазоре ( ) при наличии эксцентриситета .
Считая заданной линейную нагрузку на поверхности статора
AS ( ,t) AS sin( t) ,
1
где AS - линейная токовая нагрузка статора,
-порядковый номер гармоники,
-угловая частота,
атакже представляя зазор в виде:
( ,t) 0 cos( E t ) ,
где 0 - средний (равномерный) воздушный зазор,
E=(1-S)- угловая скорость точки эксцентриситета, находящейся в середине статора,
- угол между линией, соединяющей центры статора и ротора и осью
вращающегося поля при t=0, |
и считая << 0, выражение для напряженности |
||||||
поля получают в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
H ( ,t) |
Fm |
|
|
cos(p |
t) |
|
|
0 |
|
1 ( / S0 ) cos( |
E t |
) , |
|||
|
|
p - число пар полюсов.
После гармонического анализа данное выражение приобретает вид:
50