Учебное пособие 2001
.pdfх3 |
|
, |
х2 |
2а 1 |
|
|
|
||||
4а2 |
6а2 |
||||
|
|
|
Первое из этих равенств возводим в квадрат, второе – в куб и приравниваем правые части
|
|
|
|
2 |
|
2а |
|
1 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
4а 2 |
|
|
6а 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
16а 4 |
|
|
|
1 |
|
3 |
2 16 |
|
1 |
3 |
|||
или |
2 |
|
8а3 |
|
, |
а |
|
||||||||
|
2 16а6 |
|
2а |
|
|
27 |
2а |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е эволютой оказалась полукубическая парабола (рис. 19)
y
y y=ax2
C1 |
C3 |
|
x |
x |
C2 |
а) |
б) |
Рис. 19
Пример 2. Найти эволюту эллипса x = acost, y = bsint.
Решение. Находим производные.
х а sin tx а cost, y b cost,
y bsin t
По формулам 3.17.
53
а cost |
|
|
|
а2 sin2 t |
b2 cos2 t |
|
|
cost |
||||||||
|
|
|
аb sin2 t |
аb cos2 t |
|
|||||||||||
cost |
|
а |
|
а2 sin2 t |
b2 cos2 t |
b |
|
|||||||||
|
|
|
аb |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cost |
|
|
а2в |
|
|
а2b sin2 t |
b3 cos2 t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
аb |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cost |
|
а2b cos2 t b3 cos2 t |
|
а2 |
|
b2 |
cos3 t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
аb |
|
|
|
|
а |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в sin t |
|
|
а2 sin2 t |
b2 cos2 t |
|
а sin t |
||||||||||
|
|
аbsin2 t |
аbcos2 t |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin t |
в |
а3 sin2 t аb2 cos2 t |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
аb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
аb2 |
|
|
а3 sin2 t |
аb2 cos2 t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
аb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sint |
аb 1 cos2 t |
а3 sin2 t |
b2 а2 |
|
sin3 t |
|
|
||||
|
аb |
|
|
|
b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b2 |
а2 |
3 |
|
|
в 2 а2 |
3 |
|
||
Т.о., |
|
|
|
cos t , |
|
|
|
sin |
|
t |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
в |
|
|
Это – уравнение астроиды (рис. 19 б).
Пример 3. Найти эволюту циклоиды. x = t – sint, y = 1 – cost.
54
Решение. |
Вычисляем производные |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
1 |
cost |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin t, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
sin t, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cost |
|
|
|
|
|
||||
Представляем в (3.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
х |
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
xу |
|
yх |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
sint |
|
|
|
1 |
cos 2 |
sin2 t |
|
sint |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
cost |
cost |
sin2 t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
t |
sint |
|
1 |
|
2cost |
cos2 t |
sin2 t |
sint |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
sin2 t |
|
|
|
|
|
||||||||
t |
sint |
2 |
|
|
2cost |
sint |
t |
sin |
t |
2 1 |
cost |
sint |
t |
sint |
2sint t sint |
|||||||
|
|
cost |
1 |
cost 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
x2 |
|
|
y2 |
|
x |
1 |
cost |
|
1 |
cos 2 |
sin2 t |
|
1 |
cost |
||||||
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
yx |
|
|
|
|
1 |
cost cost |
sin2 t |
|
|||||||||
1 |
cost |
2 1 |
|
cost |
1 |
cost |
2 |
2 cost |
1 |
cost |
|
|||||||||||
Т.о., параметрические уравнения циклоиды имеют вид |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= t+sint, |
|
= 1+cost. |
|
|
|
|
Легко показать, что это - тоже уравнение циклоиды, но иначе расположенной, чем исходная кривая (рис20). Действительно, положив t=τ+π, получим
= + sin( + ), = -1+cos(t+ ) - = -sinτ, = -1-cos
55
или - = - sin , +2=1- cosτ.
Это – параметрические уравнения циклоиды, конгруэнтной первоначальной и получающейся из нее путем смещения.
Y
|
|
|
|
C |
|
|
2 |
|
|
O |
π |
2π |
2 |
X |
|
|
|
|
E |
Рис. 20
Замечание. Центры кривизны, соответствующие максимуму или минимуму радиуса кривизны исходной кривой, являются точками заострения (точками возврата) эволюты (рис.
19, 20).
3.3.1. Свойства эволюты и эвольвенты.
Рассмотрим два важных свойства.
I. Нормаль к эволюте в точке P служит касательной к эволюте в центре кривизны C, с соответствующим точке P (рис. 21)
Доказательство. Для доказательства определим производ-
ную ddsn . Т.к. вектор
n есть единичный вектор, то согласно
56
|
|
|
|
|
|
|
Лемме, |
dn |
, т.е. вектор |
dn |
параллелен касательной. Ди- |
||
|
n |
|
|
|||
ds |
ds |
|||||
ференцируя очевидное равенство |
n 02 по S, будем иметь: |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ds |
|
ds |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
.C2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
R2 |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
1 |
C1 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
C |
|
|
|
|
|
R1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
σ1 |
|
||
2 |
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X
рис .21 |
|
|
|
рис. 22 |
1 – эвольвента, 2 – эволюта. |
|
1 – эвольвента, 2 - |
||
эволюта |
|
|
|
|
Или, пользуясь формулой (3.3), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|
|
|
N n |
|
0 |
|
|
ds |
||
|
|
|
||
|
|
|||
Но векторы N |
и n |
совпадают по направлению, и, в силу |
(3.15) |
|
|
|
K , но K |
1 |
. Поэтому из последне- |
N n |
K n |
n |
|
|||
R |
го равенства следует
57
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dn |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что вектор и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dn |
|
коллинеарны, видим, что вектор |
||||||||||||||||||||||
|
ds |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
по направлению противоположен и имеет длину |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dn |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
ds |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.е. |
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
||||||||||
|
ds |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Обозначим r – радиус-вектор точки P на кривой, |
– ра- |
|||||||||||||||||||||||
диус-вектор точки C эволюты (рис.18). Дифференцируя равен- |
|||||||||||||||||||||||||
ство (3.16) по S, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
dR |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
dn |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
n |
R |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
ds |
ds |
ds |
Учитывая (3.2) и (3.19), получим
d |
|
dR |
, т.е. |
d |
|
dR |
(3.20) |
||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
||
ds |
|
ds |
ds |
ds |
Правая часть этой формулы есть вектор, направленный по направлению к кривой (эвольвенте) в точке P, а левая – вектор, направленной по касательной к эволюте в точке C. ч.т.д.
II Приращение радиуса кривизны эвольвенты равно (с точностью до знака) приращению соответствующей дуги эволюты (рис. 22), т.е.
R2 R1 дл.С1С2
При этом предполагается, что
а) функции x(t) и y(t), задающие кривую, трижды дифференцируемы;
б) кривая лишена особых точек; в) радиус кривизны R конечен;
58
г) величина dR на рассматриваемом участке кривой со- ds
храняет знак.
Доказательство. Естественным параметрам для эволюты является ее длина дуги S1. Согласно правилу дифференцирования сложных функций получим
|
|
d |
|
|
d |
|
ds |
|
ds' |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
ds |
|
|
ds1 |
|
ds |
|
ds |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где 1 – единичный вектор касательной эволюты, Под- |
||||||||||||
ставляя в (3.20), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dR |
|
ds1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ds |
|
ds |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
откуда, сравнивая модули векторов, стоящих в обеих частях
|
|
|
ds| |
|
|
dR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого равенства, будем иметь |
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
ds1 |
|
dR |
, |
||
|
ds |
|
|
ds |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда или ds |
dR , или ds |
|
dR , т.к. |
dR |
сохраняет знак |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
ds |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
по предположению. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя эти соотношения по рассматриваемому участ- |
|||||||||||||||||
ку, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = s1+const |
или R = -σ+const. |
|||||||||||||||
Если обозначить через σ1 и σ2 значения σ, соответствую- |
|||||||||||||||||
щие точки С1 и С2 (рис. 22), то в первом случае получим. |
|||||||||||||||||
|
R1 = σ1+Const, R2 = σ2+Const, |
||||||||||||||||
откуда |
R2 – R1 = σ2-σ1 = дл. С1С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Во втором случае, аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R2 – R1 = - (σ2-σ1) = -дл |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
С1С2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
что и доказывает свойство 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Требование сохранения знака |
|
|
dR |
означает, что R |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
для рассматриваемой дуги либо все время возрастает (случай
59
dR |
0 ), либо убывает (случай |
dR |
0 ). Если это условие не |
|
ds |
ds |
|||
|
|
выполнено, то свойство II может перестать быть верным.
.
3.3.2. Эвольвента как развертка эволюты
Свойство II допускает важное механическое истолкование Следует отметить, что надлежащим выбором направления отсчета дуги S можно добиться, чтобы возрастанию S отвечало возрастание R, т.е. чтобы
dR |
0 |
В этом случае, как было установлено, |
|
|
|||
ds |
|||
|
|
R2-R1 = дл. С1С2 .
Аналогичное равенство будет иметь место и для любого промежуточного значения R (рис. 23)
. C2
C . R2
C1 . |
. |
|
|
P2 |
|
. R1 |
R |
|
. |
||
P1 |
P
Рис.23.
|
|
R-R1 = дл. С1С |
(3.21) |
Можно представить себе, что на эволюту навернута гибкая не растягиваемая нить, которая сходит с эволюты в точке C1 и идет далее по касательной к эволюте до точки P1, где и заканчивается.
Возьмем нить за ее конец P1 и начнем сматывать ее с эволюты, оставляя все время натянутой. Пусть C2C P – ка- кие-нибудь промежуточное положение. При этом свободная часть нити, очевидно, возрастет на дл. CC1, т.е будет выполнено равенство
PC P1C1 дл. С1С2
60
Сопоставляя данное равенство с (3.21), видим, что | PC | = R, т.е. точка P лежит на эвольвенте. Т.о., свободный коней P нити навернутый на эволюту, при сматывании этой нити описывает эвольвенту.
Иными словами, эволюта представляет собой развертку эволюты.
3.4. Приложение к задачам механики точки. 3.4.1. Вращательное движение.
Важными примерами плоского движения является вращательное движение, задаваемое формулами
x = R cos2t, y = R sin2t,
где R и - положительные числа. Возведя обе части ра-
венств в квадрат и сложив почленно, получим x2+y2 = R2,
т.е. траекторией этого движения является окружность радиуса R. Координаты вектора скорости движения
х |
2 Rsin 2 |
t , y |
2 vRcos2 vt , |
|||
а модуль скорости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 2 vR . |
||
|
|
V t |
|
Т.е. скорость движения по величине постоянна, а меняется лишь ее направление. В единицу времени точка проходит расстояние 2R, т.е. она пробегает длину всей окружности раз. Поэтому называется частотой вращательного движения. Периодом этого движения, называется время, требуемое для прохождения полной окружности
1
Если точка движется по окружности с постоянной скоростью, то каждая из проекции этой точки на ось координат совершает гармоническое колебание.
Ускорение вращательного движения имеет координаты
х 4 |
2 2 |
|
4 |
2 2 |
R sin 2 vt . |
|
Rcos2 vt ; y |
|
61
Отсюда видно, что вектор ускорения а имеет направление, противоположное направлению радиус-вектора r .
Ускорение отлично от нуля, хотя численное значение скорости постоянно. Это объясняется тем, что меняется направление вектора скорости с течением времени. Однако численная величина ускорения постоянна:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 R |
|
|
|
|
||
|
|
|
х2 |
у 2 4 2 v2 R |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.4.2. Произвольное плоское движение. Тангенциаль- |
||||||||||||||||
ное и нормальное ускорения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим теперь плоское движение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
x t i y t i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По произвольной траектории (рис. 24). В каждый |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
момент времени t единичный вектор |
||||||||||||
|
|
|
|
|
касательной и нормали |
|||||||||||
|
an |
a |
|
|
|
взаимно |
перпендику- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
лярны. Раньше мы видели, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
что вектор скорости |
dR |
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|||||||||||||
|
P |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
по направлению совпадает |
||||||||||
|
|
|
|
|
с |
|
.(рис. |
15б) |
Вектор ус- |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
O . |
r |
|
|
|
корения |
|
|
в общем |
||||||||
|
|
|
|
|
а t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
случае |
|
можно |
разложить |
|||||||
|
|
|
|
по касательному и нормальному на- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 24 |
|
правлениям, |
т.е. а |
|
|
|
n . Обо- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значим |
|
|
|
а |
, |
|
n |
аn . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Составляющая а |
вектора |
а Называется тангенциальным ус- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
корением (касательным ускорением), а an |
- нормальным. Т.о., |
|
|
|
|
|
|
|
а |
а |
аn |
|
|
|
|
|
|
||
Для того, чтобы найти а |
и аn рассмотрим базис e1 |
, e2 |
та- |
кой, что в рассматриваемый момент времени t0 имеем
62