Учебное пособие 800377
.pdf
|
m 2 |
|
2kT |
||
Сделаем замену |
x |
t2 , d x |
|
|
dt ; |
|
|||||
|
|
||||
|
2kT |
|
m |
|
|
I |
|
|
2kT 0 e t |
dt |
|
|
2kT |
|
|
|
1 |
2 kT . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставляя I |
в выражение для P, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
e |
|
|
2kT |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.92. Распределение Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F( ) 4 ( |
|
m |
)3/2 2e |
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
представим |
|
|
|
в |
|
|
виде |
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
переменной |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (u), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u / вер |
|
|
|
m |
. |
|
|
|
Будем |
|
|
исходить |
из |
|
равенства |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dn n0F( )d n0F (u)du, |
|
т.е. |
F( )d F (u)du, |
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F( ) |
|
d |
|
В |
|
выражении F( ) |
заменим |
|
|
на |
u. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F (u) |
|
du |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
вер u |
|
2kT |
|
|
( u |
|
2kT |
|
) и учтем, что |
вер |
|
2kT |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (u) 4 ( |
|
|
m |
) |
3 |
|
2kT |
u2e u2 |
( |
2kT |
) |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
u2e u2 |
|
4 |
u2e u2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, искомая функция получает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (u) |
4 |
|
u2e u2 |
, |
где u / вер . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
6.93. Из соотношения p RT / M, выразим величину
T / M p /( R). Из формул в 2RT /M , 8RT / M
и кв |
3RT / M для скоростей молекул газа при нормаль- |
||||||||||||||||||
ном давлении p, |
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
2p |
, |
|
8p |
|
, кв |
3p |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для |
p 105 Па |
и |
|
1,00г/л: в 450м/с, |
510м/с, |
||||||||||||||
кв |
550м/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6.94. Приведем функцию распределения Максвелла в |
||||||||||||||||||
виде F (u) |
4 |
|
u2e u2 |
, |
где u / вер . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a) |
По |
|
условию |
вер вер , |
0,01; |
uвер 1 .
вер
При этом
|
N |
|
F (1) 2 |
4 |
|
|
|
|
e 1 2 0,01 1,66 10 2 |
1,66%. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
кв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
б) кв кв |
u |
(1 ) |
3 |
|
(1 ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
в |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
N |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
F |
(u) u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e e |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
3 |
0,01 1,85 10 2 |
1,85%. |
|
2 e3 |
||||
|
|
|
6.95. Определим температуру газа в следующих услови-
ях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) кв в , |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
( )2 |
|
|||||||||
|
3kT |
|
2kT |
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 v T |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 2 |
|
|||||||||||||||||||||
Масса молекулы водорода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
M |
2 |
10 3 |
|
/1023 |
|
0,33 10 26 кг. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NA |
|
|
6,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для 400м/c: T |
|
|
0,33 10 26 |
|
|
|
4002 |
|
|
380K. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 1,38 10 23 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) F( ) Fmax при 420м/с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Напишем функцию распределения в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( ) |
2 |
|
e m 2 /2kT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из условия экстремума F( ) по будем иметь: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2e |
2kT |
|
|
0 2 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда T |
|
m 2 |
. Масса молекулы кислорода |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
3,2 10 3 |
|
|
5,53 10 26 кг. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,02 1023 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Температура кислорода T |
|
|
5,33 10 26 |
(420)2 |
340K. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 1,38 10 23 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.96. Найдем температуру газообразного азота, при кото-
рой F( 1) F( 2 ), где 1 |
300м /с, |
|
2 |
600м/ с. |
|
|
|
|||||||||||
Из заданного условия имеем равенство |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2e m 12 /2kT |
2e m 22 /2kT , |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из которого следует: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m |
|
|
2 |
|
|||
exp |
|
|
22 |
12 |
2/ 1 |
|
|
|
|
|
|
22 12 2ln |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
T |
|
m( 2 |
2 ) |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4k ln( |
2 |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Масса молекулы кислорода m 5,33 10 26кг. Для заданных 1
и 2 |
температура T 330K. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6.97. В пункте б) |
задачи |
6.95 было |
найдено, |
что |
|||||||||||||||||
F( ) F |
|
при 2 |
|
2kT |
|
|
|
2. При подстановке выражения |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
max |
|
|
m |
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для 2 в формулу для F получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
m |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
||||||||
По |
условию Fmax (T1)/ Fmax (T2) . |
Тогда |
|
|
|
, |
или |
|||||||||||||||
|
T1 |
/T2 |
||||||||||||||||||||
T 2T . |
Пологая, |
что 1, |
|
скажем: температура газа при |
||||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заданном изменении состояния увеличилась в 2 |
раз. |
|
||||||||||||||||||||
|
6.98. Дано: F( ,T0 ) F( ,T ), где T |
T0 , 1. |
|
|||||||||||||||||||
Найти . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e |
|
|
|
|
|
|
|
)2 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
0 4 |
|
|
( |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2kT0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
exp ( 1) |
|
|
( 1) |
|
|
|
|
ln |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 kT |
2 kT |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
3 kT0 ln |
vкв |
|
|
|
ln |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m( 1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
где кв |
|
|
|
|
|
|
3kT0 |
|
|
- средняя квадратичная скорость молекул при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
температуре T0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6.99. Наиболее вероятная скорость молекул, положим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
азота, в1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
для молекул кислорода в2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2kT /m1 |
2kT /m2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По условию в |
|
в |
, |
где 30м/c. Отсюда получаем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
1) (2kT /m )( |
|
|
|
|
|
|
1)2 ( )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2kT |
|
|
m2 |
|
|
|
|
m2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
m2 |
( )2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k( |
|
|
|
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь m |
2 |
32 |
|
|
|
|
10 3 |
|
|
|
|
|
5,33 10 26 |
кг, |
|
|
m |
2 |
|
|
32 |
1,14. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6,02 10 |
23 |
|
|
|
|
m |
|
28 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Температура T |
|
|
|
5,33 10 26 302 |
|
|
|
|
|
370K. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 1,38 10 23( 1,14 1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6.100. |
|
|
|
Смесь |
H2 |
и |
|
|
He |
|
при |
T 300K. |
Условие |
F( ,T,m1) F( ,T,m2 ), где m1 и m2 массы молекул водорода и атомов гелия соответственно. Найти скорость молекул.
75
3 m 2 |
|
3 m 2 |
||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
Согласно условию имеем равенство m12e 2kT m22e 2kT
сюда вытекает:
. От-
|
|
3 |
|
|
m |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
e |
|
|
||||
m |
|
|||
1 |
|
|
(m2 m1) 2 |
|
|
|
3 |
|
|
m |
|
(m m ) 2 |
||||||
|
|
||||||||||||||
2kT |
|
ln |
|
2 |
|
|
2 1 |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2kT |
||||||||
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3kT ln( |
m2 |
) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
. |
|
|||||
|
m ( |
m2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
m2 |
|
|
|
4 |
2, |
m 0,33 10 26 |
кг, |
T 300K, v 1,61км /c. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.101. Число частиц, имеющих скорость в пределах от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
до , |
|
где , определим выражением |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
3 |
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
N F( ,T) 4 |
e 2kT . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку |
|
и |
имеют определенные значения, |
то |
|||||||||||||||||||||||||||||||
N ( N) |
|
|
|
|
|
при |
|
F( ,T) F . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 m 2 |
бу- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
max |
|
Функцию g T 2e 2kT |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дем рассматривать как функцию одной переменной T. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
из условия |
dg |
|
0 получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
2 T 2 |
|
|
0 T |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2kT2 |
|
3k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наиболее вероятностная скорость молекул при найденном значении T равна
н.в. 2kT /m 2/3.
76
6.102. Плотность вероятности распределения молекул га-
за по x - компоненте скорости определяется выражением:
|
|
|
|
m |
|
1 |
|
|
m x2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e 2kT . |
|
|
||||||||
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 kT |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Среднее значение составляющей vx |
|
- скорости равно |
|||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
1 |
|
m x2 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|||||||||
x vx ( x )d x |
|
|
vxe 2kT d x 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 kT |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку интегрируется нечетная функция по симметрично-
му промежутку переменной x .
Среднее значение модуля x - скорости равно
0
x x ( x )d x x d x x d x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kT |
|
|
|||||
|
2 |
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н.в. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||||||||||||||||
|
|
2 kT |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, получили: |
x 0, |
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2kT / m |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
6.103. Определим среднее значение квадрата |
|||||||||||||||||||||||||||||||
сти молекулы при температуре T. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
1/2 |
|
|||||||
x |
x ( x)dvx |
2 x |
( x)d x |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 kT |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2e t2 dt, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ .
x - скоро-
m x2
x2e 2kT d x
77
|
|
m |
|
2 |
|
t |
2 |
|
|
|
|
где t x |
2kT , |
t |
|
e |
|
dt |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следственно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x2 4kT |
kT . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
4 |
m |
|
|
6.104. В процессе движе- |
z |
|
|
|||||||
ния молекулы газа испытывают |
|
|
|||||||||
соударения |
не |
только |
между |
|
|
||||||
собой, но и со стенками сосуда. |
|
y |
|
||||||||
|
z |
|
|||||||||
Считается, |
что |
при |
|
ударах о |
|
y |
x |
||||
стенку |
молекулы |
|
отражаются |
0 |
x |
||||||
|
|
||||||||||
упруго. Это означает, что ком- |
|
|
|
||||||||
понента скорости перпендикулярная к плоскости стенки, при |
|||||||||||
отражении изменяется на прямо противоположную. За едини- |
|||||||||||
цу времени поверхности стенки будут достигать все молекулы, |
|||||||||||
находящиеся от |
неё |
на |
расстоянии, |
меньшем или равном |
|||||||
x (поскольку x - путь, проходимый в единицу времени моле- |
|||||||||||
кулой, движущейся в положительном направлении на оси |
x). |
||||||||||
На единицу поверхности стенки за одну секунду будут попа- |
|||||||||||
дать все молекулы, находящиеся в параллелепипеде высотой |
|||||||||||
vx и с единичным основанием (см. рисунок). Объем этого па- |
|||||||||||
раллелепипеда равен x |
ед.об. В нем находится xdnv моле- |
||||||||||
кул, компоненты скорости которых лежат в интервалах x и |
|||||||||||
x d x , y и y d y , z |
и z d z . |
|
|
||||||||
Поверхности стенки будут достигать молекулы, находя- |
|||||||||||
щиеся в указанном параллелепипеде, независимо от значений |
|||||||||||
компонент скорости y и z , параллельных этой поверхности. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
Число частиц с данной компонентой скорости x (при произ-
вольных значениях двух других компонент y |
и z ) в единице |
||||||||||
объема равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dnvx n ( x )d x ( y )d y ( z )d z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m |
1 |
|
m x2 |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n ( |
)d |
|
n |
|
|
|
e 2kT d |
. |
|
||
|
|
|
|||||||||
x |
|
x |
|
2 kT |
|
|
|
x |
|
|
Здесь ( y )d y ( z )d z 1(в этом легко убедиться вы-
числением).
Число частиц находящихся в параллелепипеде, объемом
x , соответственно равно
|
|
|
m |
1 |
|
m x2 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d dn |
n |
|
|
|
e 2kT d |
|
. |
(*) |
|||
|
|
||||||||||
x |
x |
|
2 kT |
|
|
|
|
x |
|
|
Интегрируя (*) по положительным значениям vx , поскольку молекулы с отрицательными значениями компоненты скорости по оси xдвижутся не к рассматриваемой стенке, а от неё, получим
|
|
|
1 |
|
|
mvx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2kT |
|
n |
|
|
2kT |
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
e 2kT |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 kT |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
2 m 2 |
|
|
m |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
n v . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
m |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, число молекул, попадающих в единицу времени на единичную площадку, равно 1/4 произведения концентрации и средней скорости молекул газа: v n / 4.
79
6.105. Для нахождения давления, оказываемого на стенку сосуда, нужно вычислить полное изменение количества движения молекул газа, испытывающих отражение от единицы поверхности сосуда в единицу времени. Оно равно изменению импульса в одном соударении молекулы со стенкой, умноженному на полное число ударов, приходящихся на единицу площади за единицу времени.
Каждая из d молекул, ударяющихся в стенку, передает её импульс 2m x , так что за 1 секунду молекулы с данными значениями x передают стенке импульс, равный 2m xd , где
|
m |
1 |
|
m x2 |
||
2 |
|
|||||
|
|
|
||||
d n |
|
|
|
e 2kT d x (см. фомулу(*) задачи 6.104). Интег- |
||
|
||||||
|
2 kT |
|
|
|
|
рируя последнее выражение по всем возможным значениям компоненты скорости x (от нуля до бесконечности), получим давление газа p на стенку:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
m x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
kT 2kT |
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
p n |
|
|
|
2m e 2kT d x |
n |
|
|
|
|
|
|
2m 2 |
|
|
|
|
t |
e |
|
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 kT |
0 |
|
|
|
|
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
2m m |
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
kT t2e t2 dt |
|
kT |
|
nkT. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В окончательном виде, p nkT.
6.106. Среднее значение величины, равной обратной скорости молекул идеального газа при температуре T , определим так:
80