Учебное пособие 800672
.pdf
|
|
= − |
ln |
|
|
− |
|
+ |
( ) |
(3.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стохастические |
ДУ |
(3.4)-(3.7) |
исследованы |
наиболее |
полно, дают адекватное описание СП во многих радиотехнических системах и позволяют получить замкнутые выражения для алгоритмов оценивания сигналов. Однако системы, базирующиеся непосредственно на таких уравнениях, как правило, не могут быть реализованы и исследованы из-за отсутствия необходимых стабильных нелинейных элементов аналоговой техники. В связи с этим на практике осуществляется переход от непрерывных к дискретным во времени системам на основе различных разностных схем [80,82]. Для обеспечения соответствия разностной схемы и уравнений вида (3.3), (3.4) от вычислительной техники требуется высокое быстродействие и большая точность представления чисел.
Стохастические разностные уравнения (3.3) свободны от этого недостатка, так как представляют последовательность чисел, для формирования которой можно воспользоваться методами цифровой техники. Поэтому в задачах с нелинейными моделями наблюдений, но при гауссовских компонентах, системы с дискретным временем имеют очевидные преимущества при технической реализации. Вместе с тем, при отличии ПРВ случайных последовательностей (3.3) от гауссовских возника-
( |
|
,В− 1) |
определения нелинейных функций |
( |
|
, ) |
и |
ет |
|
задача |
по заданным распределениям. |
|
|||
|
|
|
|
ряде задач желательно построить (синтезировать) нелинейное уравнение (3.3) на основе априорных данных о виде безусловного одномерного распределения. К сожалению, такого же простого пути, какой существует для построения моделей (3.5)-(3.7), здесь нет. В работе [15] синтез марковской модели приводится не на основе априорных статистических характеристик СП, а на экспериментальных данных. При этом
решение получено лишь |
для |
ограниченного клас- |
|||||
са линейных функций ( |
|
, ), |
( |
|
|
, −1). |
Полученные |
|
|
||||||
|
|
|
131 |
|
|
модели марковских СП используются для решения задач прогноза.
Рассмотрим асимптотический подход для решения поставленной задачи, основанный на предположении о существовании предельного стохастического ДУ Ито [44, 91]
для заданного( ) = |
|
( , |
|
) |
|
|
|
+ |
( , ) |
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
(3.8) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разностного |
стохастического уравнения (3.3), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
записанного в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− |
= ( |
|
|
|
, |
;)+ |
( |
|
|
, |
|
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Будем связывать значения |
|
|
|
|
и |
|
|
c моментами време- |
|||||||||||||||||||||||||||
ни |
|
= |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
. При условии существования предельных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
соотношений для детерминированных функций |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( ( ), |
|
|
+ |
|
|
|
) − |
( ) |
|
|
|
|
( ( ), |
|
) + |
( |
|
|
|
), |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
( + |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
перепишем (3.9) в форме, |
позволяющей найти характеристики |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
( ) + |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
приращений |
− |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
( |
|
|
, |
+ |
|
|
|
( ) |
|
|
|
( ) |
|
, |
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
( |
|
|
|
) = |
|
( |
|
|
( ), + |
)− ( )) ( ) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
+ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( ) = { ( )}, = |
|
|
|
( |
|
+ |
|
|
|
) |
, |
|
( ) = ( |
|
|
|
, −1), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
где, – независимые СВ, распределенные по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
132
3.4.Моделислучайныхпроцессовввидевременныхрядов.
3.4.1.Авторегрессионные модели случайных последовательностей
Пусть последовательность СВ удовлетворяет стохастическому уравнению
|
|
= |
|
, |
|
, |
, |
= 1,2,… |
(3.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с начальным условием |
|
|
|
|
где |
|
|
– некоторые |
||||
функции; |
|
|
|
=– заданная |
последовательность неза- |
|||||||
|
|
|
|
и |
|
|
||||||
висимых СВ,=называемая, , ,… |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
порождающейиливозмущающей после- |
довательностью. Уравнение (3.10) представляет собой простейшую
авторегрессионнуюмодельСП = { , , ,…}[49].
Рис. 3.2. Процессы авторегрессии первого порядка
В качестве возмущающей последовательности чаще всего используется последовательность стандартных независимых гауссовских СВ. В случае линейности функции процесс также будет гауссовским, а при соответствующем вы-
133
боре нелинейных функций и негауссовских возмущений можно получить широкий класс негауссовских процессов [12, 74].
Примером марковской СП может быть процесс авторегрессии 1-го порядка, полученный с помощью линейного преобразования последовательности , ,… ,… независимых гауссовских СВ { } по следующему правилу:
= |
|
+ |
|
, = 2,3,.. |
|
|
|
(3.11) |
|
Каждое | | < 1; |
|
= 0; |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
очередное значение |
|
содержит часть преды- |
||
дущего |
|
и добавку в виде независимой СВ [10, 16]. |
||||||
|
На рис. 3.2 представлены типичные графики реализаций |
такого процесса при различных значениях параметра , входящего в модель (3.11). Во всех случаях параметр , влияющий только на масштаб по оси ординат, выбран равным единице. Из этих рисунков видно, что при , близких к единице, процесс становится более гладким; при малых , напротив, значения процесса слабо зависимы между собой; при отрицательных корреляция между соседними значениями процесса
отрицательна, поэтому он часто меняет знак. |
|
|
|
|||||
|
При выборе начального значения |
, |
обеспечивающего |
|||||
стационарность и постоянство дисперсии |
|
|
|
па- |
||||
раметр |
|
равен |
коэффициенту |
корреляции между лю- |
||||
|
|
{ |
} = |
, |
|
быми двумя соседними значениями СП. Действительно, ум-
ножая |
|
левую |
и правую |
часть |
(3.11) |
на |
} = |
и |
нахо- |
||
|
|
|
|
. |
получим |
{ |
|
|
или |
||
дя математическое ожидание, |
|
|
|
||||||||
|
= |
{ |
}/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повторяя аналогичные операции после подстановки в |
|||||||||
уравнение |
(3.11) |
= |
+ |
|
, |
= |
+ |
…, можно записать следующую формулу для КФ:
где |
( ) = |
{ |
} |
= | | = |
| |, |
|
|
|
134 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом=, |
−ln |
; |
|
= |
1 − |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СП (3.1) имеет экспоненциальную КФ. В то же время СП (3.11) является марковской, поскольку лю-
бые вероятностные характеристики значения |
полностью оп- |
|||
ределяются только предшествующим значением СП |
. При |
|||
заданном |
формула (3.17) позволяет найти все характери- |
|||
стики без |
учета |
предыстории, |
т. е. |
значений |
,,…, СП. Так, условная ПРВ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
( |
|
|
− |
|
) |
(3.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
может быть получена из ПРВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правил |
|
|
|
|
|
|
ПРВ |
|||||||||||
с учетом |
связи |
|
|
|
и |
|
|
|
нахождения |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записать выражение и для совместного |
|||||||||||||||||||||||
функций СВ. Легко= |
− |
|
|
|
числа n членов рассмотренной |
|||||||||||||||||||||||||||
распределения |
произвольного |
|||||||||||||||||||||||||||||||
марковской СП: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( |
|
, ,…, |
) = |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
= ( |
|
|
|
( − |
|
|
(3.13) |
|||||||||||||||||||||||||
) |
|
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку вид всех ПРВ2 |
перехода (3.12) не зависит от |
номера члена СП, то уравнение (3.11) представляет однородную марковскую СП. Для стационарности необходимо вы-
брать |
СВ |
таким |
образом, чтобы |
все |
безусловные ПРВ |
|||||
(3.11)( ), |
= 1,2,…, |
были одинаковыми. Проведенный анализ |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
показывает, |
|
что в стационарном |
случае все |
члены |
||||
{ } последовательности |
имеют нулевое среднее и дисперсию |
|||||||||
= |
( Кроме). |
того, |
|
CП |
гауссовская, |
так как |
получена |
|||
в результате линейного преобразования{ } |
гауссовских |
СВ |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
135 |
|
|
|
|
Таким образом, ПРВ всех значений стационарной последовательности (3.11) будут иметь следующий вид:
При( ) = |
√ |
2 |
− |
2 |
, |
= 1,2,…, . |
|
|
1 |
|
|
|
|
этом начальное значение формируется как нор- |
||||||
мальная СВ |
с |
нулевым |
|
средним |
и дисперсией , |
а последующие члены последовательности образуются в соответствии с рекуррентным соотношением (3.11).
Уравнения вида (3.11), которые часто называются уравнениями авторегрессии или стохастическими разностными уравнениями, представляют весьма узкий класс гауссовских марковских СП с экспоненциальной КФ. Вместе с тем имеются различные возможности для существенного расширения этого класса [10, 49]. Одной из них является писание СП с помощью авторегрессионных (АР) уравнений более высоко-
го порядка: |
|
|
+ + |
|
|
|
+ |
|
, = 2,3,…, |
|
(3.14) |
|||||||||||||
где |
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с |
|
m-порядок авторегрессии. С помощью подбора коэффици- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
,…, |
|
можно |
получить гауссовские |
|
СП |
, |
||||||||||||
ентов |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
разнообразными корреляционными свойствами [10]. Дейст- |
|||||||||||||||||||||||
вительно, |
умножая |
|
(3.13) |
|
на |
|
|
|
и |
|
нахо- |
|||||||||||||
дя математические ожидания, |
получим |
|
после |
|
деления |
на |
||||||||||||||||||
ний=КФ{: |
|
}, = 1,2,…, |
, |
следующее соотношение для значе- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
( ) = |
|
( −1) + |
|
( − 2)+ + |
|
( − ), |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Общее решение этого |
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разностного уравнения в стацио- |
|||||||||||
нарном случае представляется суммой экспонент [82]: |
|
|
||||||||||||||||||||||
где |
|
|
= |
|
( ) = |
| |
| |
+ |
|
|
| | |
+ + |
|
| | |
, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
; - |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
, |
= 1,2,…, |
|
|
корни характеристического |
|||||||||||||
уравнения |
− |
|
− |
|
|
|
− − |
|
= 0. |
. Требование |
||||||||||||||
стационарности СП (3.14) выполняется, если |
|
< 0 |
, т.е. ко- |
|||||||||||||||||||||
гда |
все |
|
корни |
|
, |
= 1,2,…, |
136 |
|
|
|
|
|
уравне- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристического |
ния лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости.
|
|
|
Подставляя в (3.15) значения |
|
|
|
|
получим из- |
|||||||||||||||
вестную систему уравнений Юла- |
Уокера [10,16]: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
= 1,2,…, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
(1) |
+ + |
|
|
( −1) = (1); |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
( −2) = (2); |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1)+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
……………………………………………………… |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Решение( − 1)+ |
|
( |
− 2)+ + |
|
= |
( |
). |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
, |
|
,…, |
|
|
, |
|
|
этой системы позволяет найти коэффициенты |
||||||||||||||
|
|
|
|
уравнения авторегрессии (3.14) по заданным или |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
оцененным |
|
|
|
|
на |
|
|
основе |
|
|
|
эксперимента |
|||||||||||
ям (1В), |
|
(2),….качестве, ( ) КФ СП. |
|
примера |
|
|
|
рассмот- |
|||||||||||||||
рим процесс авторегрессии второго |
|
порядка: |
|
|
− |
||||||||||||||||||
ходимо+, |
|
, |
|
= 2,3,…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Для стационарности |
процесса необ- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|||||||
|
|
|
|
чтобы |
корни |
|
характеристического уравнения |
|
− = 0 лежали внутри единичного круга, т. е. чтобы па-
раметры и находились в треугольной области, показан-
ной на рис. 3.3[10,16].
Рис. 3.3. Область значений коэффициентов и
137
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стационарного СП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Значения КФ стационарной СП связаны между собой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рекуррентным |
|
|
|
|
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
и . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
с |
|
|
начальными |
|
условиями |
|
|
|
|
|||||||||||||||
(1) = |
|
/(1− |
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
( ) = |
|
|
|
−1) + |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
| |
|
|
|
|
| | |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этого соотношения следует, |
что |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
−2), |
|
> 0, |
|
(0) = 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
= ln |
( ) = |
= ln |
|
|
|
+ |
и |
|
= |
корни |
|
+ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
− |
|
|
|
характеристического |
|||||||||||||||||||||||
уравнения; |
|
|
|
|
) ; |
|
|
|
|
|
= 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
; . Дисперсия СП |
|
находится |
||||||||||||||||||||||
по формуле= ( )(: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух уравнений |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) . . Система |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Юла-Уокера = |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
= |
|
(2) |
по- |
||||||||||||||||||||||||
зволяет |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
(1) = |
(1), |
|
(1)+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
определить коэффициенты |
и |
|
уравнения авторег- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
рессии |
|
|
по |
|
заданным |
|
или |
|
измеренным |
|
|
значениям |
|||||||||||||||||||||||||||
(1) |
|
Вид(2) |
КФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
КФ определяется областью треугольника допусти- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
мых значений коэффициентов |
и . (рис. 3.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ния |
|
|
Если |
+4 |
|
|
|
|
0 |
, |
корни характеристического |
уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
действительны и КФ представляет сумму двух затухаю- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щих экспонент. |
При |
|
|
|
|
, |
|
> 0 |
(область I |
на рис. 3.3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
корни |
|
имеют |
разные |
|
|
знаки: |
|
|
|
|
. Отрицательному |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
корню соответствует |
осциллирующее слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| | |
| |
| |
|
|
> 0, |
|
> 0 |
|
| | |
|
|
| | |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| | |
= |
|
(−1) |
|
| | |
= |
(−1) |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Однако |
в области |
|
I |
коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||
КФ |
|
|
|
|
не изменяет знака. |
Во второй области, |
показанной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
на рис.(3.3,) |
оба корня положительны и КФ монотонно убывает. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
На одной границе области II |
|
= 0 |
авторегрессия имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первый порядок и |
|
|
|
( ) = | |
|
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
На другой границе, где |
|
|
характеристиче- |
|||
ское уравнение имеет кратный |
корень |
= |
= |
|
. В этом |
|
|
||||||
|
+4 = 0 |
|
|
случае выражение для КФ запишется в таком виде:
|
( ) = (1+ | |
|) |
|
|
| | |
, |
|
|
где |
2 |
|
||||||
|
|
1 − |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
4 |
. |
|
|
|
|
В третьей |
1+ |
4 |
|
|
рис. 3.3 |
кор- |
||
|
области |
|
|
|
ни характеристического уравнения комплексные и КФ определяется по следующей формуле:
где |
|
|
|
|
( |
) = |
| | |
( | |
|+ ), |
|||
= |
− |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
= arccos |
|
|
, = |
1 |
|
|||
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
= (1+ |
|
)/(1− |
. |
При этом графики КФ имеют вид синусоиды с экспоненциальным уменьшением амплитуды.
139
Рис. 3.4. Корреляционные функции при (1) = 0,9
Рис. 3.5. Корреляционные функции при (7) = 0,5
Для иллюстрации рассмотренных ситуаций на рис. 3.4 и рис. 3.5 представлены зависимости КФ ( ) при различных
140