Учебники 80115

	10x − 2x					+ 2x =3,		8x − 4x			+ x =5,
		1		2		3			1	2	3
№19.	5x1	− 2x2			+12x3 =1,		№20.	−3x1 +11x2 −5x3 = −2,
	2x − 4x		2		+11x =1.			4x + 5x		2	+10x = −3.
	1					3			1		3

Задача №4

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Задание.		Найти		численное		решение линейной краевой задачи для
дифференциального уравнения					второго порядка конечно-разностным методом,
используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг h = 0,1.
		y′
№1.	y′′ +		+ 2y = x;
		x
				2y(1) + 3y′(1) =1,2.
	y(0,7) = 0,5,
№2.	y′′ − xy′ + 2y = x +1;
	y(0,9) − 0,5y′(0,9) = 2,					y(1,2) =1.
№3.	y′′ + xy′ + y = x +1;
	y(0,5) + 2y′(0,5) =1,				y′(0,8) =1,2.

№4.

№5.

				2	;
y′′ + 2y′ − xy = x
	= 0,7, y(0,9) − 0,5y′(0,9) =1.
y′(0,6)
		y
y′′ + 2y′ −			= 3;
		x
	= 2,		0,5y(0,5) − y′(0,5) =1.
y(0,2)

№6.

№7.

				2y
y′′ − y′		+						= x + 0,4;
				x
	− 0,5y′(1,1) = 2, y′(1,4) = 4.
y(1,1)
						y
y′′ − 3y′			+					=1;
						x
		= 2,						y(0,7) + 2y′(0,7) = 0,7.
y(0,4)

11

					y
№8.	y′′ +	3y′ −					y = x + 1;
					x
							2y(1,5) − y′(1,5) = 0,5.
	y′(1,2) =1,
			y′				= 2x2;
№9.	y′′ −			+ 3y
		2
		+ 2y′(1) = 0,6, y(1,3) =1.
	y(1)

№10.	y′′ +1,5y′ − xy = 0,5;
	2y(1,3) − y′(1,3) =1,							y(1,6) = 3.
№11.	y′′ + 2xy′ − y = 0,4;
	2y(0,3) + y′(0,3) =1,							y′(0,6) = 2.
№12.	y′′ − 0,5xy′ + y = 2;
							y(0,7) + 2y′(0,7) =1,4.
	y(0,4) =1,2,
		2y′
№13.	y′′ +					− 3y = 2;
		x
							2y(1,1) + y′(1,1) = 3.
	y′(0,8) =1,5,
				2
№14.	y′′ +	2x				y′ + y = x;		y(0,8) = 3.
	2y(0,5) − y′(0,5) =1,
№15.	y′′ − 3xy′ + 2y =1,5;
	y′(0,7) =1,3,						0,5y(1) + y′(1) = 2.
№16.	y′′ + 2xy′ − 2y = 0.6;
	y′(2) =1, 0,4y(2,3) − y′(2,3) =1.
		y′
№17.	y′′ +			− 0,4y			= 2x;
		x
	y(0,6) − 0,3y′(0,6) = 0,6, y′(0,9) =1,7.
		y′
№18.	y′′ −			+ 0,8y = x;
		2x
								y′(2) =1.
	y(1,7) +1,2y′(1,7) = 2,

12

		y′
№19.	y′′ −		+ xy		= 2;
		3
					3y(1,1) − 0,5y′(1,1) =1.
	y(0,8) =1,6,
				y		1
№20.	y′′ +	2y′ −			=		;
				x		x

	+ y′(0,9) =1, y(1,2)	= 0,8.
0,5y(0,9)

Задача №6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ

Задание. Найти максимум целевой функции при заданных ограничениях.

	Z(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + 2x5 → max,															Z(x) = x1 + 2x2 + x3 + x4 → max,
	x − 2x					+ 2x			≤ 6,							x − x					+ 2x + x =10,
		1			2			3										1	2					3		4
№1.	x1 + 2x2 + x3 + x4											= 24,			№2.	x1 + 2x2 + x3 ≤14,
	2x + x					− 4x			+ x				= 30.			2x + x					2	− 4x			+ x =12.
			1		2			3			5							1						3		5
	xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i
	Z(x) = x1 + x2 − x3 + x5 → max,															Z(x) = 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → max,
	x + 2x					+ x + x					=11,					x + 2x					+ x + x					= 9,
		1		2				3		5							1		2				3		5
№3.	2x1 −1x2 + x3 ≤ 8,														№4.	x1 −1x2 + x3 ≤ 2,
	x + x				− x			+ x	4		= 20.					x + x			− x					+ x	4	=16.
		1	2			3											1	2				3
	xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i
	Z(x) = x + 2x + x											+ x		+ x → max,		Z(x) = −x1 + 2x3 + x4 + x5 → max,
					1			2			3		4	5
	2x + x + x ≤ 3,															2x1 + x2 + x3 ≤ 5,
		1		2			3
	x −1x				+ x			+ x			= 23,							−1x		+ x				+ x		=17,
№5.				2											№6.	x
		1				3			5								1	2				3			5
	x + x			− x			+ x			=18.						x + x			− x				+ x			= 26.
		1	2			3		4									1	2				3		4
	xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i

13

№7.

№9.

№11.

№13.

№15.

№17.

Z(x) = x + x + 2x									+ x	4	+ x → max,			Z(x) = x1 − 2x2 + 2x3 + x4 + x5 → max,
			1			2	3					5
x + x			− x			≤10,								x1 + x2 − x3 ≤11,
	1	2			3
2x + 2x					+ x + x				= 24,							+ 2x				+ x			+ x		= 31,
													№8.	2x
x + x			− x + x				= 32.							x + x				− x			+ x			= 40.
	1		2			3	5								1			2			3			5
1		2			3	4								1		2				3			4
xi ≥ 0, i														xi ≥ 0, i
Z(x) = x − 2x + 2x + x												+ x → max,			Z(x) = x1 − x2 + x3 + x4 − x5 → max,
			1			2			3		4	5
x + x − x ≤ 5,															x1 + x2 − x3 ≤ 7,
	1	2			3				= 24,								−1x2 + x3 + x5 = 34,
2x1 −1x2 + x3 + x5													№10.		2x1
2x + x			2	− x + x			4	= 38.							x + x					− x			+ x		= 21.
	1					3										1		2			3			4
xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i
Z(x) = −x1 + x2 + x3 − x4 + x5 → max,															Z(x) = −x1 + x2 + x3 − x4 − x5 → max,
x − x			− x			≤16,									x − x				− x			≤ 9,
	1	2			3											1		2			3
2x1 + x2 + x3 + x5								= 42,					№12.		2x1 + x2 + x3 + x5 = 29,
x − x			+ x			+ x	= 36.								x − x				+ x			+ x			= 39.
	1	2			3	4										1		2			3			4
xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i
Z(x) = −x1 + x2 + 2x3 − x4 − x5 → max,															Z(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + x4 − x5 → max,
x − x + x ≤ 7,															x + x + x ≤ 6,
	1	2			3										1			2			3
2x1 + x2 + x3 + x5								= 23,					№14.		x2 + x3 + x5 =19,
x − x			+ x			+ x	= 37.								x − x + x + x										= 33.
	1	2			3	4									1			2			3			4
xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i
Z(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 → max,														Z(x) = 2x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 → max,
x + x + x ≤ 6,														2x + x − x ≤ 3,
	1	2			3										1			2			3
x1 + x2 + x3 + x5 =18,													№16.	x1 + x2 + x3 + x5 = 23,
x − x			+ x + x				= 34.							x − x				+ x + x						= 31.
	1	2			3	4									1	2				3			4
xi ≥ 0, i														xi ≥ 0, i
Z(x) = 2x1 + x2 − x3 + x4 + x5 → max,															Z(x) = x2 − x3 + x4 + x5 → max,
2x + x − x ≤ 4,															2x + x − x ≤1,
		1	2			3										1				2			3
x1		+ x2 + x3 + x5					= 26,						№18.		−x1 + x2 + x3 + x5 =14,
−x + x				+ x + x				= 32.							x + x					+ x			+ x		= 27.
		1	2			3	4									1		2			3				4
xi ≥ 0, i															xi ≥ 0, i

14

	Z(x) = 2x1 + x2 − x3 + x4 + x5 → max,							Z(x) = x1 − x2 + x3 − x4 + x5 → max,
	2x + x − x ≤ 4,							x − x + x ≤ 5,
		1	2	3				1	2	3
№19.	x1	+ x2 + x3 + x5			= 26,		№20.	−2x1 + x2 + x3 + x5 =17,
	−x + x			+ x + x	4	= 32.		x + x		− x	+ x = 31.
		1	2	3				1	2	3	4
	xi ≥ 0, i							xi ≥ 0, i

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задача №1

Задание. Дана табл. 4 значений функции y = f (x). Построить для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью его найти приближенное значение функции для заданного аргумента x = 3,57.

								Таблица 4
	X		3,50	3,55	3,60		3,65	3,70		x
	Y		33,115	34,813	36,598		38,475	40,447		3,57
Решение.			Часто	приходится		рассматривать		функции		f (x), заданные
табличными значениями yi = f (xi ),						(i = 0,1,2,...,n). Эти значения могут быть

получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же

функции в		промежуточных точках неизвестны и их	получение может быть
связано	с	проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых
случаях	даже при известной зависимости y = f (x)		ее использование в

практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию f (x), заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией ϕ(x) так, чтобы отклонение ϕ(x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция ϕ(x) при этом называется аппроксимирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

ϕ(x) = a	0	+ a x + a	2	x2	+ ... + a	m	xm .	(1)
		1

При этом коэффициенты ai подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.

15

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции y = f (x) строим многочлен (1), принимающий в заданных точках xi те же значения yi , что и функция f (x), т.е.

	ϕ(xi ) = yi ,	i = 0,1,...,n.		(2)
При этом предполагается, что среди значений			xi	нет одинаковых, т.е.
xi ≠ xk при	i ≠ k .
Точки	xi называются узлами	интерполяции,	а	многочлен ϕ(x) -

интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.

Максимальная степень интерполяционного многочлена m = n. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

ϕ(x) = a	0	+ a x + a		2	x2	+ ... + a	n	xn	(3)
			1
используется для интерполяции			функции			f (x) на		всем	рассматриваемом

интервале аргумента x. Коэффициенты ai многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).

Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего

отрезка [a,b]. Пусть для функции					y = f (x)			заданы n +1 значения таблично
заданной функции	yi = f (xi ) для					равноотстоящих значений независимой
переменной (табл. 5):		xi = x0 + ih ,			(i = 0,1,2,...,n), где h −шаг интерполяции.
								Таблица 5
		x	x0		x1	x2		…	xn
		y	y0		y1	y2		…	yn

Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.

Составим разности значений заданной функции:

∆y0 = y1 − y0 = f (x0 + h) − f (x0 ), ∆y1 = y2 − y1 = f (x0 + 2h) − f (x0 + h),

.............................................................

∆yn−1 = yn − yn−1 = f (x0 + nh) − f [x0 + (n −1)h].

Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить n −1 конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:

16

∆2 y0 = ∆y1 − ∆y0; ∆2 y1 = ∆y2 − ∆y1; ....; ∆2 yn−2 = ∆yn−1 − ∆yn−2.

Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка k определяется формулой:

∆k yi−1 = ∆k−1yi − ∆k−1yi−1,

где k = 1,2,..., n и ∆0 yi = yi .

В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой

∆y0 = y1 − y0 ;

∆2 y		0	= ∆y − ∆y	0	= (y		2	− y ) − (y − y						0	) = y		2	− 2y − y			0	;
			1								1	1						1
∆3 y	0		= ∆2 y − ∆2 y		0	= (∆y				2	− ∆y ) − (∆y − ∆y						0	) = ∆y	2	− 2∆y + y			0	=
			1									1		1								1
		= (y3 − y2 ) − 2(y2 − y1) + (y1 − y0 ) = y3 − 3y2 + 3y1 − y0.
Аналогично для любого k можно записать:
			∆k y0 = yk −					k	yk−1			+	k(k −1)			yk−2 + ...+ (−1)k y0 .
								1!				2!

Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле xi :

∆k yi = yk+i − kyk+i−1 + k(k −1) yk+i−2 + ...+ (−1)k yi .

2!

Для функции y = f (x), заданной таблицей своих значений y0, y1,..., yn в узлах x0 , x1,..., xn , конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид

q(q −1)

2

q(q −1)(q − 2)

3

P (x) = y

0

+ q∆y

0

+

∆

y

0

+

∆ y

0

+

n

2!

3!

(4)

q(q −1) ... (q − n + 1)

.... +

∆

n

y0

,

n!

где q = x − x0 . h

Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, разности ∆k yi вычисляются через значения функции yi , yi+1, ..., yi+k , причем i + k ≤ n .

Поэтому при больших значениях i	мы не можем вычислить разности высших
порядков (k ≤ n − i). Например, при	i = n − 3 в (4) можно учесть только ∆y ,
∆2 y и ∆3 y.

17

Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (табл. 6):

					Таблица 6
xi	yi	∆yi	∆2 y	i		∆3 y	i
3,50	33,115	1,698	0,087			0,005
3,55	34,813	1,785	0,092			0,003
3,60	36,598	1,877	0,095			------
3,65	38,475	1,972	------			------
3,70	40,447	------	------			------

При составлении табл. 6 конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем n = 3. Приняв x0 = 3,50, y0 = 33,115, будем иметь:

	P (x) = 33,115 +1,698 q + 0,087		q(q −1)	+ 0,005	q(q −1)(q − 2)
3			2			6
или
	P3(x) = 33,115 +1,698q + 0,0435q(q −1) + 0,00083q(q −1)(q − 2),
где q =	x − 3,50	= 20(x − 3,5). Подставим в выражение для				q вместо x значение

0,05

x = 3,57. Получим q = 20(3,57 − 3,5) =1,4.

Тогда

P3(1,57) ≈ 33,115+1,698 1,4+ 0,0435 1,4 (1,4−1) + 0,00083 1,4 (1,4−1) (1,4− 2) = = 33,115+ 2,372+ 0,02436− 0,000278= 35,511.

Следовательно,	f (1,57) ≈ 35,511.
	Задача №2
Задание.	Дана табл. 7 значений функции y = f (x). Используя метод

наименьших квадратов, подобрать для заданных значений x и y :

1)линейную функцию y = A0 + A1x;

2)квадратичную функцию y = A0 + A1x + A2x2. Построить графики этих функций.

Таблица 7

X	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
Y	0,31	0,82	1,29	1,85	2,51	3,02

18

Решение. Пусть для неизвестной функции f (x) в точках x0 , x1, ..., xm экспериментальным путем получены значения y0 = f (x0), y1 = f (x1),

ym = f (xm ) . Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию f (x) с помощью более простой функции ϕ(x). При этом требуется выполнение в узлах интерполяции {xi} равенства f (xi ) = ϕ(xi ) (i = 0,1,...,m). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях

желательно иметь единую приближенную формулу f (xi ) ≈ ϕ(xi )	(i = 0,1,...,m),
пригодную для большего отрезка [a,b]. При этом точность	приближения

может оцениваться по-разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение

f(xi ) −ϕ(xi ) (i = 0,1,...,m).

Всвязи с этим возникает задача о приближении: таблично заданную функцию f (x) заменяют многочленом Pn (x) , который имеет не слишком

высокую степень n < m −1 и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена Pn (x) от функции f (x) принимается их среднее квадратичное отклонение

m

δ = ∑[Pn (xi ) − yi ]2 .

i=0

Задача состоит в

том, чтобы

в

аппроксимирующем

многочлене

P (x) = A

+ A x + ...+ A xn

подобрать

коэффициенты A , A ,..., A

так, чтобы

n

0

1

n

0 1

n

минимизировать

δ = ∑m

[A0 + A1xi + ...+ An xin − yi ]2 = δ (A0, A1,..., An ). Так как

i=0

коэффициенты A0, A1,..., An выступают в

роли

независимых

переменных

функции δ , то необходимым условием минимума

является равенство нулю

∂δ

∂δ

∂δ

всех частных производных

,

, …,

.

Приравнивая к нулю эти

∂A

∂A

∂A

0

1

n

частные производные, получим систему уравнений:

19

	m
2	∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi ) = 0;
	i=0
	m
2	∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi )xi	= 0;
	i=0
	m
	∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi )xi2 = 0;
2
	i=0
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....
	m
2	∑ (A0 + A1xi +A2 xi2 + ... + An xin − yi )xin	= 0.
	i=0

После преобразования система принимает вид

	m		m	m	m
A0m + A1 ∑xi +A2 ∑xi2 +...+ An ∑xin = ∑yi;
	i=0		i=0	i=0	i=0
	m		m	m	m	m
A0 ∑xi +A1		∑xi2 +A2		∑xi3 +...+ An ∑xin+1 =		∑xi yi;
	i=0	i=0		i=0	i=0	i=0
	m		m	m	m	m
	∑xi2 +A1 ∑xi3 +A2 ∑xi4 +...+ An ∑xin+2 = ∑xi2 yi;
A0
	i=0		i=0	i=0	i=0	i=0
.........................................................................................
	m		m	m	m	m
A0	∑xin +A1		∑xin+1 +A2 ∑xin+2 +...+ An ∑xi2n = ∑xin yi.
	i=0		i=0	i=0	i=0	i=0

Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому она имеет единственное решение A0, A1,..., An .

1. Аппроксимируем таблично заданную функцию y = f (x) линейной

y = A0 + A1x.

Составим систему для определения A0, A1:

			6	6
A0m		+ A1	∑xk = ∑yk ;
			k=1	k =1
	6		6	6
A0 ∑xk + A1 ∑xk2 = ∑xk yk .
k=1			k =1	k=1

20