Учебники 80281
.pdfe 0 C cos |
|
|
|
|
|
x C sin x |
|||
1 |
2 |
|
|
C1cos x C2sin x.
x |
|
0; |
(0) |
|
0 |
C1 1 |
C2 0 |
0 |
|
|
C1 |
0, C2 0. |
|||||||||
x |
|
; |
( ) |
|
0; C 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
C sin |
|
|
|
x |
sin |
0 |
|
|
|
|
n, n |
0,1, 2,3,... |
||||||
(ноль отбрасывается как тривиальное решение n |
1, 2,3,...) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
; |
|
|
(квантование) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Csin( |
|
n |
x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Практическое занятие № 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 1. Показать, что, |
если операторы |
ˆ |
ˆ |
являются |
|||||||||||||||||
А и В |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
также линейные. |
||||||
линейными, то операторы А |
Ви АВ |
||||||||||||||||||||
Условия линейности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
С2 |
ˆ |
|
ˆ |
2 ; |
|
|
|
||||||||
А(С1 |
1 |
|
2 ) АС1 |
1 |
АС2 |
|
|
|
|||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
С2 |
ˆ |
|
ˆ |
2. |
|
|
|
||||||||
В(С1 |
1 |
|
2 ) В С1 |
1 |
В С2 |
|
|
|
11
Решение.
1) |
ˆ |
ˆ |
С2 |
ˆ |
С2 2 ) |
(А В)(С1 1 |
2 ) А(С1 1 |
|
ˆ |
|
|
С2 |
2 ) |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
В(С1 |
|
1 |
С1 А |
1 |
С2 А 2 |
|
||||
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
1) |
|
|
С1В |
|
1 |
С2В |
2 |
С1(А |
1 |
В |
|
||
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
ˆ |
|
С2 (А |
2 |
В |
2 ) С1(А В ) |
1 |
С2 (А В ) 2 |
|||||
2) |
ˆ ˆ |
|
|
|
С2 |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
2 ) |
|
АВ(С1 |
1 |
2 ) А(С1В |
1 |
С2В |
|||||||
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
С1 АВ |
1 |
С2 АВ 2 . |
|
|
|
|
Задача 2. Показать, что собственные значения эрмитова оператора вещественны (и средние).
Решение.
Вещественность собственных значений, означает, что Ln L*n . В самом деле, собственное значение Ln по сути - это
среднее значение в собственном состоянии n .
Ln |
* |
n |
ˆ |
* |
Ln ndq |
L ndq |
n |
Ln |
* |
ndq |
Ln . |
n |
|||
При |
1 |
* и 2 |
условие эрмитовости дает |
12
Ln |
* ˆ |
dq |
ˆ* |
* |
* |
L |
L |
dq |
L |
||
L |
L* |
, |
|
|
|
что и доказывает вещественность средних значений и, как частный случай, собственных значений.
Задача 3. Доказать коммутационное соотношение.
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
[A,B C] [A,B] [A,C] |
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
[A,B |
C] |
(A (B |
C) |
(B |
C) A) |
(AB |
AC |
BA CA) |
|
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|||
AB BA |
AC CA |
[A,B] |
[A,C] |
|
|
|
Задача 4. Доказать, что если коммутатор |
ˆ ˆ |
, то |
|||||
|
[А,В] 1 |
|||||||
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
[А,В ] 2В. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
1. |
|
|
|
|
[А,В] |
АВ ВА |
|
|
||||
|
|
|
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
Умножим равенство АВ |
ВА |
1 на В сначала слева |
|
||||
|
ˆ ˆ ˆ |
ˆ 2 ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
ВАВ |
В А |
В ; |
|
|
|
|
|
|
затем справа |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ ˆ 2 |
ˆ ˆ ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
АВ |
ВАВ |
В . |
|
|
|
|
|
После сложения получим
13
|
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ 2 |
ˆ |
|
|
|
|
||
|
АВ В А 2В |
[А,В ] 2В. |
|
|
|
|
||||||||
|
Задача 5. Доказать следующие теоремы: |
|
|
|||||||||||
|
а) |
Если |
операторы |
ˆ |
ˆ |
имеют |
общие собственные |
|||||||
|
А и В |
|||||||||||||
функции, то такие операторы коммутируют. |
|
|
|
|||||||||||
|
б) |
Если операторы |
ˆ |
ˆ |
коммутируют, |
то они имеют |
||||||||
|
А и В |
|||||||||||||
общие собственные функции (без вырождения). |
|
|
||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) |
Если |
|
- |
общая собственная |
функция операторов |
||||||||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А и В, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AB |
|
BA |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
BA |
[A,B] |
||
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
|
ˆ |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
BA |
BA |
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||||
|
б) |
Пусть |
|
- |
собственная функция оператора |
ˆ |
||||||||
|
|
А . Из |
||||||||||||
коммутативности операторов |
ˆ |
ˆ |
следует, что |
|
||||||||||
А и В |
|
|||||||||||||
|
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
AB |
BA |
|
BA |
AB |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ˆ |
ˆ |
) |
|
ˆ |
ˆ |
' |
A |
' , |
|
|
|
|
|
|
A(B |
AB |
A |
|
|
|
|
||||||
|
где |
' |
ˆ |
|
' - также собственная функция опера- |
|||||||||
|
B |
|
||||||||||||
|
ˆ |
с собственным значением А. |
|
|
|
|
|
|||||||
тора A |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Отсюда следует, что собственное значение А принадле- |
|||||||||||||
жит и |
, |
и |
' , |
которые, следовательно, описывают одно |
||||||||||
квантовое состояние. Но тогда между |
и |
' |
не может быть |
отличий принципиальнее постоянного множителя, например
14
В: |
ˆ |
. Но |
ˆ |
ˆ |
общая |
' B |
' B |
B B |
собственная функция операторов |
ˆ |
ˆ |
А и В. |
Задача 6. В некотором состоянии квантовая система A имеет определенные значения физической величины А. Имеет
ли в этом состоянии определённое значение |
также и величина |
|
В, если соответствующие им операторы |
ˆ |
ˆ |
А и В коммутативны? |
||
Ответ: Только в том случае, если |
A |
одновременно яв- |
ляется и собственной функцией В. В общем же случае – нет. Это случай вырождения.
Задача 7. Доказать, что если операторы |
ˆ |
ˆ |
А и В эрмитовы |
и коммутирующие, то оператор ˆ ˆ тоже эрмитов.
АВ
Решение.
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
Из условия эрмитовости операторов А и В следует: |
|||||||
* ˆ |
ˆ |
2 )dq |
ˆ |
ˆ * |
* |
|
|
1A(B |
B |
2 A |
1dq |
|
|
||
ˆ * |
* |
ˆ |
|
ˆ * ˆ * |
* |
dq . |
|
A |
1 |
B 2dq |
|
2B A |
1 |
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
ˆ * ˆ * |
ˆ * ˆ * |
Из коммутативности А и В ( А В |
В А ) следует: |
|||||
* ˆ ˆ |
|
|
ˆ * ˆ * |
* |
dq |
|
1AB 2 )dq |
|
2B A |
1 |
|
||
ˆ * ˆ * |
* |
dq |
условие эрмитовости. |
|||
2A B |
1 |
15
Задача 8. Найти собственные функции и собственные значения операторов dxd и i dxd .
Решение.
1) |
|
d |
|
|
ce x . |
|
|
||
|
dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
При x |
|
должно быть конечно, следовательно, |
|||||||
i |
чисто мнимое число; |
действительное число. |
|||||||
2) |
i |
d |
|
ce i |
x , где |
; |
|||
dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
|
|
|
|
i |
- спектр непрерывный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Задача 9. Найти собственные функции и собственные значения оператора x dxd .
Решение.
x |
d |
|
|
d |
( |
) ; |
||
|
|
|
|
|||||
dx |
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
( |
)dx |
ln |
x |
x2 |
c'. |
||
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор не эрмитов, его собственные значения комплексные
16
c e x |
x2 |
|
2 для |
(комплексн.) |
Задача 10. Найти собственные функции и собственные значения оператора dd .
Решение.
d |
c e ; |
|
|
||
d |
||
|
( ) |
|
( |
|
2 ) |
|
|
|
|
е 2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
im, m |
0, |
1, |
2,... |
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 11. Доказать, что оператор |
ˆ |
2 |
коммутирует с |
||||||||||||||
M |
|
||||||||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приведем доказательство на примере |
ˆ |
|
|
|
|
||||||||||||
Mx . |
|
|
|||||||||||||||
ˆ 2 ˆ |
ˆ ˆ |
2 |
2 |
2 |
|
2 ˆ |
ˆ |
|
ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
||||||
M Mx |
MxM (Mx |
My |
Mz )Mx |
Mx (Mx |
My |
Mz ) |
|||||||||||
ˆ 2 ˆ |
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
ˆ 2 |
ˆ ˆ 2 |
|
|
|
|
|
||||
MyMx |
MzMx |
MxMy |
MxMz . |
|
|
|
|
|
|||||||||
Прибавим и вычтем MyMxMy и MzMxMz : |
|
||||||||||||||||
|
ˆ ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ |
|
|
ˆ ˆ ˆ |
|
|||||||||
|
My |
My |
Mx |
|
Mz |
Mz |
Mx MxMyMy |
|
MxMzMz |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
ˆ ˆ ˆ
MyMxMy
ˆ ˆ ˆ
My (MyMx
ˆ ˆ ˆ
MyMxMy
ˆ ˆ
MxMy )
ˆ ˆ ˆ
MzMxMz
ˆ ˆ ˆ
Mz (MzMx
ˆˆ ˆ
MzMxMz
ˆˆ
MxMz )
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|||||||||
(MyMx |
MxMy )My |
(MzMx |
MxMz )Mz |
|
||||||||||||
ˆ |
ˆ |
|
i |
|
|
ˆ ˆ |
|
i |
|
|
ˆ ˆ |
|
ˆ ˆ |
|
||
i MyMz |
|
|
|
Mz |
My |
|
|
|
Mz |
My |
i MyMz |
0 |
||||
|
|
|
|
|
Практическое занятие № 3
Задача 1. Найти собственные значения и нормированные
|
ˆ |
собственные функции оператора Mz . |
|
Решение. |
|
ˆ |
Mz имеет решение |
Уравнение Mz |
|
|
A exp |
iMz |
Mz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из требования однозначности |
( |
) |
( 2 ) |
|||||||||||||||
|
i |
M |
|
|
i |
M ( 2 ) |
|
i |
M |
|
|
i |
M 2 |
|
|
|||
Ae |
|
Z |
|
Ae |
|
Z |
|
Ae |
|
|
Z |
e |
|
Z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i |
M |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку cos =1 при 2 |
m, m |
0, |
1, |
2,... |
18
MZ |
m; MZ |
|
m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из условия нормировки |
|
|
|
|
|
* dv |
1 следует |
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* d 1 |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
eim |
|
|
|
|
e |
|
|
Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 2. Доказать, что оператор |
ˆ |
эрмитов. Доказа- |
|||||||||||||
MZ |
тельство провести в а) полярной и б) декартовой системе координат.
Решение.
ˆ |
i |
эрмитов. |
а) Докажем, что MZ |
* ˆ |
2d |
* |
|||
1MZ |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i |
1*d |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
i |
|
|
1*d |
|
|
i |
|
|
|
|
2d |
i |
|
|
|
||||||
i |
|
|
1*d |
0 |
|||
ˆ * |
|||||||
|
|
* |
|
||||
|
|
2MZ |
1d . |
|
* |
2 |
d |
1 |
|
|
|
|
Это прямое доказательство эрмитовости.
19
Знак минус при нуле следует из требования однозначно-
сти ( ) |
( 2 ) . |
б) Докажем для формы: MZ |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|||||
xPy |
yPx . |
|
|
|
|||||||
* |
ˆ |
2dv |
( |
* ˆ |
|
* ˆ |
2 )dv |
|
|
|
|
1MZ |
1xPy |
2 |
1 yPx |
|
|
|
|||||
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(операторы Py |
и Px эрмитовы) |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
* ˆ |
|
|
* ˆ |
|
|
ˆ |
* |
|
|
|
1Py 2dv y |
1Px 2dv x 2Py 1dv |
|
|
|
|||||||
y |
ˆ |
* |
|
ˆ |
ˆ |
* |
|
ˆ* |
|
* |
|
2Px |
1dv |
2 (xPy |
yPx ) |
1dv |
|
2LZ |
|
1dv. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
Задача 3. Исходя из доказанной эрмитовости MX , |
|
||||||||||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
|
ˆ 2 |
|
|
|
|
|
MY , MZ доказать эрмитовость |
M . |
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
ˆ 2 |
2dv |
* |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
ˆ 2 |
|
2dv |
|
|
|
1M |
1 |
(MX |
MY |
MZ ) |
|
|
|
|
|||
Мы ранее доказывали, что если операторы |
ˆ |
ˆ |
эрми- |
||||||||
А и В |
|||||||||||
товы и коммутируют, то |
ˆ ˆ |
- тоже эрмитов. Каждый опера- |
|||||||||
АВ |
тор коммутирует сам с собой, следовательно, для эрмитова
оператора |
ˆ |
оператор |
ˆ |
2 |
эрмитов. Отсюда следует, что опе- |
А |
А |
|
ˆ 2 |
ˆ 2 ˆ 2 |
- эрмитовы. |
|
раторы MX , MY , MZ |
|
||
|
ˆ 2* * |
ˆ 2* * |
ˆ 2* * |
|
2MX 1dv |
2MY 1dv |
2MZ 1dv |
20