ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ сопровождающий трёхгранник
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2014г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 1 / 13 |
Касательная кривой I
Гладкая без особых точек кривая имеет в каждой точке, отвечающей параметру t = t0, единственную касательную, направляющий вектор которой коллинеарен r0(t).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 2 / 13 |
Касательная кривой II
Если ρ(t) – радиус-вектор текущей точки на касательной кривой γ, то уравнение этой касательной имеет вид
ρ(t) = r(t) + ur0(t),
где u (−∞, +∞) – параметр, определяющий положение точки на касательной, t (a, b) – параметр, определяющий точку на кривой γ, в которой проведена
касательная.
Если ρ(t) = (X, Y, Z), r(t) = (x(t), y(t), z(t)), то уравнение касательной в произвольной точке
X − x(t) = Y − y(t) = Z − z(t) . x0(t) y0(t)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 3 / 13 |
Касательная кривой III
Касательная пространственной кривой, заданной как пересечение двух поверхностей, определяется соотношением
X − x(t) |
|
= |
Y − y(t) |
|
= |
Z − z(t) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Fy Fz |
|
|
Fz Fx |
|
|
Fx Fy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φy Φz |
|
|
Φz Φx |
|
|
Φx Φy |
|
где (x(t), y(t), z(t)) – координаты точки на кривой, в которой проведена
касательная.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 4 / 13 |
Касательная кривой IV
Уравнение касательной плоской кривой в декартовой системе координат имеет вид
X − x(t) = Y − y(t) . x0(t)
Если плоская кривая задана неявным уравнением F (x, y) = 0, то уравнение касательной
Fx (x(t), y(t))(X − x(t)) + Fy (x(t), y(t))(Y − y(t)) = 0.
где (x(t), y(t)) – координаты точки на кривой, в которой проведена касательная.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 5 / 13 |
Нормальная плоскость
Определение
Плоскость, проходящую через данную точку кривой перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Уравнение нормальной плоскости в произвольной точке, радиус-вектор которой r(t), в зависимости от способа задания кривой имеет вид
(ρ(t) − r(t)) · r0 (t) = 0
или
x0(t)(X − x(t)) + y0(t)(Y − y(t)) + z0 (t)(Z − z(t)) = 0
или
|
|
|
|
|
Fy Fz |
|
Fz Fx |
|
Fx Fy |
|
(X − x(t)) + |
(Y − y(t)) + |
||
Φy Φz |
|
Φz Φx |
|
Φx Φy |
(Z − z(t)) = 0.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 6 / 13 |
Соприкасающаяся плоскость I
Определение
Плоскость, проходящую через заданную точку кривой γ параллельно векторам r0 (t) и r00 (t), когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью
кривой.
Пусть ρ(t) – радиус-вектор произвольной переменной точки, лежащей в соприкасающейся плоскости кривой γ. Тогда уравнение соприкасающейся плоскости кривой γ в произвольной точке, радиус вектор которой r(t), имеет вид
ρ(t) = r(t) + ur0(t) + vr00 (t), u (−∞, +∞), v (−∞, +∞),
где u, v - аргументы векторной функции ρ(t) определяют радиус-вектор текущей точки соприкасающейся плоскости, t – фиксированный параметр, задающий
точку на кривой, в которой проведена указанная плоскость.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 7 / 13 |
Соприкасающаяся плоскость II
Так как в данном случае векторы ρ(t) − r(t), r0 (t), r00(t) компланарны, то уравнение соприкасающейся плоскости кривой γ представимо в виде
(ρ(t) − r(t), r0 (t), r00(t)) = 0,
или в декартовой прямоугольной системе координат
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X − x(t) Y − y(t) Z − z(t) |
||||||||||
|
|
0 |
(t) |
|
0 |
(t) |
|
0 |
(t) |
|
|
x |
y |
z |
= 0. |
||||||
|
x |
00 |
(t) |
y |
00 |
(t) |
z |
00 |
(t) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 8 / 13 |
Нормаль кривой
Определение
Нормаль кривой – это прямая, проходящая через точку, радиус-вектор которой r(t), перпендикулярно касательной кривой в этой точке.
Если кривая плоская, то уравнение нормали в декартовых координатах имеет вид
x0(t)(X − x(t)) + y0(t)(Y − y(t)) = 0,
а при неявном способе задания плоской кривой уравнение нормали
|
X − x(t) |
= |
Y − y(t) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Fx |
Fy |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ) |
2014г. 9 / 13 |