диОСК
.pdfОсновные уравнения теории оболочек, безмоментная теория оболочек вращения
1.Основные определения
Впредыдущих лекциях были рассмотрены
пластины, т. е. тонкостенные элементы, ограниченные двумя плоскостями. Оболочка является более сложным объектом — она представляет собой тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми h (толщина оболочки) мало по сравнению с другими характерными размерами. Оболочки разнообразных форм являются распространенными элементами летательных аппаратов различного назначения. Расчетная схема оболочки используется для анализа герметических кабин самолетов, корпусов и баков ракет, баллонов давления и других элементов.
По аналогии с пластинами поверхность, разделяющую толщину оболочки пополам, назовем срединной поверхностью, а отрезок нормали к срединной поверхности mn — нормальным элементом. Геометрия оболочки полностью определяется формой ее срединной поверхности и толщиной.
Отнесем оболочку к системе координат α, β, γ, причем ось γ является прямолинейной и направлена по
нормали к срединной поверхности, а оси α и β являются криволинейными и лежат в срединной поверхности. Проведем через ось γ семейство плоскостей, нормальных к срединной поверхности. Тогда в результате пересечения этих плоскостей со срединной поверхностью оболочки в точке O образуется семейство кривых, среди которых существуют две такие, у которых радиусы кривизны являются максимальным и минимальным в данной точке.
Касательные к этим кривым называются главными направлениями поверхности и, как доказывается в теории поверхностей, являются ортогональными.
Кривые, касающиеся в каждой точке главных направлений, называются линиями главной кривизны и в теории оболочек обычно используются в качестве
координатных линий α и β. Введенная таким образом система координат α, β, γ является ортогональной.
Длины элементов координатных линий α и β запишем в виде: dsα = A dα; dsβ = B dβ
где А и В — некоторые масштабные коэффициенты, определяющие, скольким единицам длины соответствуют единичные приращения переменных α и β.
Тогда квадрат длины дуги произвольного элемента, лежащего в срединной поверхности, равен:
ds2 = dsα2 + dsβ2 = A2 dα2 + B2 dβ 2
Полученное соотношение называется первой квадратичной формой поверхности,
а параметры А и В — коэффициентами первой квадратичной формы. Для плоскости, отнесенной к декартовым координатам х,y получим
ds2 = dx2 +dy2
т. е. А=В=1,
Для плоскости, отнесенной к полярным координатам r, θ
ds2 = dr2 +r dθ2
т. е. А=1 В=r
Геометрия срединной поверхности оболочки полностью определяется
коэффициентами А, В и главными радиусами кривизны R1, R2, которые в общем
случае являются функциями переменных α и β.
Для элемента длины дуги произвольной линии, заключенной между поверхностями на расстоянии γ от срединной поверхности можно записать следующую формулу:
|
|
|
|
|
γ |
2 |
|
|
|
|
|
γ |
|
2 |
|
|
|
ds |
2 |
= A |
2 |
|
|
dα |
2 |
+ B |
2 |
|
|
dβ |
2 |
+dγ |
2 |
||
|
|
R |
|
|
R |
|
|
||||||||||
|
|
1+ |
|
|
|
1+ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Однако для оболочек небольшой кривизны, у которых радиусы кривизны существенно больше толщины оболочки дроби в скобках оказываются существенно меньше единицы и ими можно пренебречь, формула упрощается:
ds2 ≈ A2 dα2 + B2 dβ2 +dγ 2
2.Исходные соотношения в криволинейных координатах
Впредыдущих лекциях уравнения теории пластин выводились из уравнений теории упругости в декартовых координатах. Для аналогичного вывода уравнений теории оболочек необходимы соответствующие уравнения в криволинейных координатах. При этом толщина оболочки считается малой, т. е. вводятся упрощения, позволяющие заменить длину элемента приближенной формулой . Уравнения равновесия элемента оболочки, показанного на рисунке, аналогичные уравнениям теории тонких пластинок, имеют вид
∂(B σ |
α |
) |
+ |
|
∂(A ταβ ) |
+ |
|
|
∂(A B ταγ ) |
−σβ |
∂B |
+ταβ |
|
∂A |
+ταγ |
A B |
|
|
= 0, |
|||||||||||||||
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
∂γ |
|
∂α |
|
∂β |
R |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂(A σβ ) |
|
|
∂(B ταβ ) |
|
|
∂(A B τβγ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
+ |
|
|
−σα |
∂A |
+ταβ |
|
∂B |
+τβγ |
|
A B |
|
= 0, |
||||||||||||||||||||
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
∂γ |
|
∂β |
|
∂α |
|
R |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∂(A B σγ |
) |
+ |
∂(B ταγ ) |
+ |
∂(A τβγ ) |
−σα |
|
A B |
−σβ |
|
A B |
= 0 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∂γ |
|
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
∂β |
|
|
R1 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим, например, первое уравнение . Его более сложная по сравнению с уравнением теории пластин
∂∂σxх + ∂∂τуух + ∂∂τzzх = 0
в декартовых координатах структура связана с тем, что в криволинейных координатах А и В являются функциями α, β и срединная поверхность искривлена.
В результате, если bd = A dα, ab = B dβ
то в силу искривления поверхности ac = bd + ∂∂βA dβ, cd = ab + ∂∂αB dα
и за счет углов dθ1, dθ2 и dθ3 усилия определяемые напряжениями σβ, ταβ и ταγ дают проекции на направление α.
Более сложными, чем соотношения в теории пластин, являются и геометрические соотношения:
εα = |
1 |
|
|
∂u |
+ |
uβ |
|
|
|
∂A |
+ |
uγ |
, |
|
γαγ = |
|
∂u |
|
|
+ |
|
1 |
|
∂uγ |
− |
|
u |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|||||||||||||||||||||||
|
A |
|
∂α |
A B |
|
∂β |
|
R |
|
|
∂γ |
|
|
A |
∂α |
|
|
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
εβ = |
1 |
|
|
∂uβ |
+ |
u |
|
|
|
∂B |
|
+ |
|
uγ |
|
, |
γβγ = |
|
∂uβ |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
∂uγ |
− |
|
uβ |
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
∂β |
A B |
|
|
∂α |
|
|
R |
|
|
∂γ |
|
|
|
B |
|
∂β |
|
|
R |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
εγ = |
∂uγ |
|
, γαβ |
= |
1 |
|
|
|
∂u |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
∂uβ |
− |
|
u |
|
|
∂A |
− |
|
uβ |
|
|
|
|
∂B |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∂γ |
|
|
B |
|
|
|
|
|
A |
|
∂α |
A B |
|
∂β |
|
A B |
|
∂α |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь — uα, uβ, uγ перемещения по направлениям α, β, γ.
Физические соотношения выражают закон Гука и с точностью до обозначений совпадают с аналогичными уравнениями теории пластин
εα = |
1 |
|
|
(σα −µ (σβ +σγ )), |
γαβ = |
|
2 (1+ µ) |
ταβ , |
|||
E |
|
E |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
εβ = |
1 |
|
|
(σβ −µ (σγ +σε )), |
γβγ = |
2 (1+ µ) |
τβγ , |
||||
E |
|
|
E |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
εγ = |
|
1 |
|
|
(σγ −µ (σα +σβ )), |
γγα = |
|
2 (1+ µ) |
|
τγα . |
|
|
E |
|
|
|
E |
||||||
|
|
|
2 (1+ µ) |
|
|
|
|
||||
Здесь учтено, что G = |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
3. Основные соотношения общей теории оболочек
Теория оболочек, так же как и теория пластин, базируется на гипотезах Кирхгофа для нормального
элемента mn. Согласно этим гипотезам следует принять εγ =γαγ =γβγ = 0
и из геометрических соотношений при γ<<R1,2 получим uγ=w(α,β) и линейное распределение
перемещений uα и uβ по толщине оболочки, аналогичное теории пластинок
uα =u +γ ϑα , uβ =v +γ ϑβ
где
u(α,β), v(α,β), w(α,β) — перемещения срединной поверхности в направлениях α, β и прогиб оболочки,
ϑα = |
u |
− |
1 ∂w |
, ϑβ = |
v |
− |
1 |
|
∂w |
- углы поворота нормали к срединной |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R1 |
A ∂α |
|
R2 |
B |
|
∂β |
поверхности. |
Определение линейных и угловых деформаций
Подставляя полученные выражения для перемещений в геометрические соотношения, получим выражения для деформаций
εα =εα0 +γ κα , εβ =εβ0 +γ κβ , γαβ =γαβ0 +γ καβ
где εα0 |
= |
|
|
1 |
|
|
∂u |
|
+ |
|
|
|
v |
|
|
|
|
∂A |
|
+ |
|
w |
, |
|
|||||||||||||||
|
|
A |
|
∂α |
|
A B |
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|||||||||||||||||||
εα0 |
= |
|
|
1 |
|
|
∂v |
|
+ |
|
|
|
u |
|
|
|
|
∂B |
|
|
+ |
|
w |
, |
|
||||||||||||||
|
|
B |
|
∂β |
|
|
A B |
∂α |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|||||||||||||||||||||
γαβ0 |
= |
|
1 |
|
|
∂u |
|
+ |
|
1 ∂v |
|
|
|
− |
|
|
|
u |
|
|
|
∂A |
− |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
B |
|
∂β |
|
|
A ∂α |
|
|
A B |
∂β |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
κα |
= |
|
|
1 |
|
|
∂ϑα |
+ |
1 |
|
|
|
|
∂A |
ϑβ , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A |
∂α |
|
A B |
|
∂β |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κβ = B1 ∂∂ϑββ + A1B ∂∂αB ϑα ,
καβ = B1 ∂∂ϑβα + 1A ∂∂ϑαβ − AϑαB ∂∂βA
-деформации удлинения и сдвига срединной поверхности;
AvB ∂∂αB
- изменения кривизны и кручение срединной поверхности
− AϑβB ∂∂αB