Савчук підручник

а) виникає необхідність перевичислення координат із системи однієї зони в систему другої зони; б) потрібно здійснити перетворення із місцевої системи в державну систему координат чи навпаки;

в) обчислення координат в заданій проекції потрібно виконати за координатами інших геодезичних проекцій; г) проведено переорієнтування референц-еліпсоїда і вимагається визначити вплив даного

фактора на плоскі прямокутні координати мережі.

Перелічені випадки застосування проекції Гаусса-Крюгера є важливими в практичних роботах. В наступному параграфі коротко розглянуто питання переводу плоских прямокутних координат із зони в зону, як таке, що має місце постійно в практиці ведення топографо-геодезичних робіт. Щодо інших випадків, наведених вище, то зауважимо, що їхній розгляд виходить за рамки даного курсу. Ці питання висвітлені в спеціальній літературі з проблем теорії та практики геодезичних проекцій.

139

4.7. Числовий приклад опрацювання фрагменту геодезичної мережі на площині в проекції Гаусса-Крюгера.

Нехай фрагмент геодезичної мережі (тріангуляції) 2-го класу складається з двох трикутників (рис.4.8), сторона одного з них AB є вихідною стороною даної мережі, тобто відомо її довжина і геодезичний азимут; відомо також геодезичні координати вихідного пункта A:

A		B1 =51о 58’08.3168”
		L1 =21о 50’11.3692”
		A12=177о 15’41.494”
			S12 =24796.232 м
	Виміряні		горизонтальні кути
	на пунктах даної мережі (рис.4.8),
	приведені	на	поверхню еліпсоїда
C	Красовського, наведені в табл. 4.7
	B			Таблиця 4.7
	Назва	Виміряні та приведені
	вершин		до еліпсоїда кути
	С		55о54’45.56”
	B		55 46 30.66
	A		68	18 46.67
D	D		60o	52’14.52”
	C		56 19 23.45
	B		62	48 23.90

Всі обчислення виконують для триградусної зони в послідовності, яка вказана у параграфі 4.6, наступним чином:

1)Обчислення плоских прямокутних координат пункта A за його геодезичними координатами; виконується за формулами (4.19). Перед обчисленнями координат проводять встановлення номера триградусної зони, в якій розташований пункт A та довготи осьового меридіана L0 :

	n 7;	L0 21o ,
а потім обчислюють самі координати та зближення меридіанів:
x 5760323417.;	y 57488742.	(7 557488742.);		0o3932052'.";

для контролю проводять обчислення геодезичних координат вихідного пункту за отриманими плоскими прямокутними на основі формул (4.20). При цьому значення величини Bx 51o58190119' . ", а Nx 6391531378. .

2)Попереднє (наближене) розв’язування трикутників проводиться з метою обчислення наближених довжин сторін мережі, які необхідні в свою чергу для обчислення сферичних надлишків трикутників та наближених координат пунктів. Сторони обчислюються за формулами плоскої тригонометрії (теоремою синусів), а сферичний надлишок за формулою (3.4). Результати обчислень приведені в таблиці 4.8.

140

Таблиця 4.8

№	Трикутники		Довжини	Сферичний надлишок
трикутн			сторін, м
ика
		B
	c	a	c=24796		c	2		sin AsinB		" 1.44"
1	A		b=24756
					2R2			sinC
		C	a=27821
		b
		B
	d	c	d=27821		d	2		sinCsinB		" 1.66"
2	C		b=28329
					2R2			sinD
		D	c=26504
		b

3)Дирекційний кут 12 хорди зображення геодезичної лінії початкової сторони на площині обчислюється за формулою (4.11). Поскільки значення поправки 12 поки що нам невідоме, то можемо знайти тільки наближене значення дирекійного кута:

12 ' 176o3609'".

4)Обчислення наближених координат пунктів, необхідних для визначення поправок , а також приведення довжини вихідної сторони на площину в проекції наведено у таблиці

4.9.

					Таблиця 4.9
Елемен	A(1)	A(1)	B(1)	B(1)	C(1)
ти
	B(2)		C(2)		D(2)
	176036’09”	176036’09”	356036’09”	300049’38”	120049’38”
кут		68018’47”	55046’31”	62048’24”	56019’23”
12	176036’09”	244054’56”	300049’38”	238001’16”	177009’01”
x2	5735571	5749828	5749828	5721534	5721534
x1	5760323	5760323	5735571	5735571	5749828
d	24796	24756	27821	26504	28329
y1	57489	57489	58958	58958	35068
y2	58958	35068	35068	36476	36476

5) Обчислення поправок за формулою (4.31) проводять згідно таблиці 4.10.

141

Таблиця 4.10

Елемен	A(1)	A(1)	B(1)	B(1)	C(1)
ти
	B(2)		C(2)		D(2)
x	-24752	-10495	14257	-14037	-28294
2y1 y2	173936	150046	152984	154392	106612
2y2 y1	175405	127625	129094	131910	108020
12	-3.632	-1.329	1.840	-1.828	-2.545
21	3.663	1.130	-1.553	1.562	2.579

6)Введення поправок у виміряні напрями та врівноваження кутів за умови сум виконують згідно таблиці 4.11.

№ трикутника	Назва кута
	C

1B A

D 2 C B

					Таблиця 4.11
Виміряні та		Поправки в кути	Поправки за	Врівноважені
приведені до		( пр лів)	врівноваження	плоскі кути
поверхні еліпсоїда
	кути
55о54’45.56”		-2.683	-0.482	55о54’47.76”
55 46 30.66		1.823	-0.482	55 46 28.36
68	18 46.67	2.304	-0.482	68	18 43.88
180 00 02.89		=1.444	=1.446	180 00 00.00
60o	52’14.52”	-1.016	-0.07	60o	52’15.47”
56 19 23.45		-0.992	-0.07	56 19 24.37
62	48 23.90	3.669	-0.07	62	48 20.16
180 00 01.87		=1.660	=0.210	180 00 00.00

7)Обчислення довжини вихідної сторони на площині (довжини хорди зображення геодезичної лінії) за формулою (4.36)

d24797264. м.

8)Обчислення остаточного значення дирекційного кута вихідної сторони на площині за формулою (4.11)

12 176o3613075'.".

142

4.8. Перетворення координат Гаусса-Крюгера із зони в зону.

Поділ поверхні еліпсоїда на меридіанні смуги певної ширини і зображення їх на площині у виді незалежних одна від другої координатних зон створює деякі труднощі в тих випадках, коли необхідно встановити геодезичний зв’язок між пунктами, координати яких задані в різних координатних зонах, тобто обчислені від різних осьових меридіанів.

Нехай деяка точка Q на еліпсоїді з координатами B і L розміщена між осьовими

меридіанами L0 та	L0 l0	двох суміжних смуг (рис.4.9). Зображення її q1 на площині, в
проекції Гаусса-Крюгера, в системі координат західної зони (з осьовим меридіаном L0 )
матиме координати	xI , yI ,	а в системі координат східної зони (осьовий меридіан L0 l0 ) -
xII , yII (рис. 4.9).

x

=const 0 L

O

y
				t
=	c	o	n	s
B

x

=const

y-y

x

=const 0 +l0

L

O

Рис.4.9

Якщо координати xI , yI (чи xII , yII ) отримані в результаті опрацювання геодезичної мережі, в яку входить точка Q, то координати xII , yII (чи xI , yI ) отримують відповідними обчисленнями на основі формул зв’язку між координатами xI , yI та xII , yII ; називають такі обчислення перетворенням координат.

В практиці геодезичних робіт потреба перетворювання плоских координат xI , yI в координати xII , yII , тобто необхідність перейти від одної системи плоских прямокутних

координат до другої, зустрічається доволі часто.

Наприклад, математичне опрацювання геодезичної мережі в системі плоских прямокутних координат Гаусса-Крюгера, пункти якої розміщені по обидві сторони від граничного меридіана сусідніх смуг на еліпсоїді, можливе тоді, якщо координати вихідних пунктів для цієї мережі будуть в одній системі плоских координат, тобто в одній координатній зоні.

При розв'язування оберненої геодезичної мережі на площині між пунктами, розміщеними в різних смугах на еліпсоїді плоскі координати повинні бути задані в одній координатній зоні.

Для таких і їм подібних випадків, що нерідко зустрічаються на практиці, передбачено при створенні каталогів плоских прямокутних координат “перекриття” зон. Всі пункти, розміщені на 30' по довготі на схід і захід від граничного меридіана шестиградусних смуг в каталогах мають координати в двох зонах: відносно осьового меридіана L0 const своєї

зони і осьового меридіана L0 l0 const сусідньої зони. Схематично таке перекриття показано на рис.4.10. Цим, фактично, протяжність шестиградусних зон по довготі збільшується до 70 та створюється перекриття в 10 .

143

	Осьовий
	мередіан
30	1	1
	30
Смуга	30	30
перекриття
		Смуга
		перекриття
	30	30
30	30
	Рис.4.10

Проте перекриття зон не виключає всіх випадків обчислень на перетворення координат. Такі випадки можливі при проведенні топографо-геодезичних робіт на стику двох зон, як також і в одній зоні. В першому випадку виникає потреба перетворення координат із зони в зону, а в другому – переобчислення координат заданих в системі деякої стандартної зони відносно меридіана L0 в місцеву систему координат відносно іншого

меридіана з довготою L, прийнятого за осьовий.

Загальна схема перетворення координат, коли задано xI , yI в одній зоні (з довготою осьового меридіана LI ), треба знайти xII , yII в другій зоні (з осьовим меридіаном LII ):

1. Перехід від xI , yI до B і L LI l за формулами (4.20);

2. З врахуванням довготи LII осьового меридіана другої зони перехід від B і l L LII до xII , yII за формулами (4.15).

Можливим є безпосереднє перетворення плоских прямокутних координат одної зони

вплоскі координати другої зони без проміжного переходу в геодезичні координати, тобто xI , yI xII , yII . Проте алгоритм і самі обчислення в цьому випадку, при відсутності

допоміжних засобів в виді спеціальних таблиць, доволі громіздкі.

Числовий приклад.
Нехай задані плоскі прямокутні координати x 5526832.803м ,	y 209718.824м
деякого пункта в системі шестиградусної зони (n 4) з осьовим меридіаном L		0I	240 .

Потрібно обчислити плоскі прямокутні координати цього пункта відносно осьового

меридіана L		0II	270 .
	З заданими координатами xі				y визначаємо геодезичні координати B і L l 240 за
формулами		(4.20) з		використанням	(4.21). Тоді: B 49050'11.2451",	L 26054'55.4638".
Тепер,	за відомими			B і l L 270 , використовуючи формули (4.15)-(4.17), знаходимо
плоскі	прямокутні координати відносно осьового меридіана L0II :					x 5522757.110м і

y 6085.637м.

144

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

РОЗДІЛ 5

ОСНОВИ ТЕОРЕТИЧНОЇ ГЕОДЕЗІЇ

5.1. Сучасні поняття про фігуру Землі та її зовнішнє гравітаційне поле

Розміри Землі і форма її поверхні як в цілому, так і окремих частин є предметом вивчення різних дисциплін (фізична геодезія або теорія фігури Землі, фізика Землі, теоретична геофізика тощо), в яких ці питання розглядаються з неоднакових позицій і різними методами, що обумовлено своїми специфічними задачами. Поняття “фігура Землі” є неоднозначним і має різне трактування в залежності від використання отримуваних даних.

З фізичної геодезії відомо, що потенціал сили ваги Землі W визначається як сума потенціалу притягання Землі V і

потенціалу відцентрової сили Ф. Відповідно, потенціал притягання в теорії фігури Землі це є потенціал сили притягання одиничної маси в довільній точці простору

	V P V x, y,z G	dm	всіма масами планети Земля, а
		l
	v

потенціал відцентрової сили Землі – це потенціал сили, яка виникає під час обертання Землі навколо своєї осі і діє на одиничну масу на поверхні планети або в найближчому її околі

V' V'(P)	1	2 x2 y2 . У цих виразах: P x, y,z позначає
2
точку, в якій V обчислюється, Q – змінна точка всередині тіла
Землі, яка приймає зміст центра мас елемента dm ,					l -	відстань
між P і Q (просторова пряма лінія), G –					Ньютонова
гравітаційна стала (G 6.673 10 11м3с 2кг 1),					- кутова
швидкість обертання Землі. Отже,
		W x, y,z V x, y,z	1	2 x2 y2 .		(5.1)
2

248

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Якщо позначити силу ваги або прискорення сили ваги через g і знати потенціал сили ваги W даної точки, то можна обчислити складові сили ваги по осях координат

gx W / x,

gy W / y,

gz W / z ,

а, знаючи складові сили ваги легко можна визначити модуль вектора прискорення сили ваги

g gx2 gy2 gz2 ,

та його напрям
cos(g,x) gx / g,	cos(g, y) gy / g,	cos(g,z) gz / g .

Фізична поверхня Землі в межах континентальної частини з її відносними підвищеннями та пониженнями не є правильною математичною поверхнею і не може бути виражена яким-небудь математичним рівнянням. Звідси виникла задача встановлення поняття і вибору математичної поверхні Землі.

Оскільки фізична поверхня Землі складається переважно із поверхні морів та океанів (загальна площа материків складає приблизно лише четверту частину всієї поверхні Землі, а їх середня висота над рівнем Світового океану дорівнює тільки десятитисячній частині земного радіуса), то в свій час за математичну поверхню Землі умовно була прийнята поверхня Світового океану в стані рівноваги води.

Поверхня води Світового океану як рідка маса, що знаходиться тільки під дією сили земного притягання та відцентрової сили обертання Землі, є однією з рівневих поверхонь потенціала сили ваги. Ця поверхня характеризується тією основною властивістю, що на ній потенціал прискорення сили ваги всюди має одне і теж постійне значення, тобто в кожній її точці напрям нормалі до неї збігається з напрямом дії сили ваги або з прямовисною лінією. Якщо рівневу поверхню Світового океану продовжити під материками так, щоб вона всюди перетинала напрям прямовисної лінії під прямим кутом, то тоді отримається деяка замкнута поверхня, яка і буде характеризувати математичну фігуру Землі.

249

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

Вказана властивість будь-якої рівневої поверхні може бути виражена математичним рівнянням,

W W(x, y,z) C.

(5.1´)

в якому потенціал сили ваги є функцією від координат її поточної точки та розподілу маси всередині тіла, обмеженого заданою рівневою поверхнею. В такій редакції рівнева поверхня, яка збігається з поверхнею Світового океану в стані рівноваги і відповідним чином продовжена під материками, є математичною поверхнею. Проте вигляд або форма цієї поверхні залежать від розподілу сили ваги на ній або внутрішньої будови Землі.

Згодом остаточно вияснилося, що фігура Землі, утворена рівневою поверхнею, яка збігається з поверхнею Світового океану і відповідним чином продовжена під материками, має досить складну форму. Це пояснюється нерівномірним розподілом сили ваги на поверхні Землі і залежить від структури земної кори. Вказана математична поверхня не може бути представлена повністю якою-небудь правильною геометричною фігурою, що має просте математичне рівняння. Для математичної фігури Землі у вказаному її розумінні в 1873 р. був запропонований термін “геоїд”, який закріпився в геодезичній науці до сьогоднішнього часу.

Результати астрономо-геодезичних робіт підтвердили висновки про те, що вказана вище математична поверхня, хоч і відповідає фізичній природі Землі, проте може значно відрізнятися від правильної математичної фігури – загального земного сфероїда – фігури, яка найкращим чином представляє Землю як в гравітаційному так і в геометричному відношенні.

Отже, через те, що дійсне поле сили ваги є математично дуже складним, виділяють (в якості референцного) нормальне поле сили ваги простої аналітичної природи. В загальному, нормальний потенціал сили ваги U вибирається так, що референц-еліпсоїд є еквіпотенціальною поверхнею для U :

250

Розділ 5. Основи теоретичної геодезії

U x, y,z U0 const,

а геоїд - еквіпотенціальною поверхнею дійсного потенціала сили ваги W :

			W x, y,z W0	const .
Відмінність потенціала сили ваги реальної Землі W від
потенціала	сили ваги Нормальної			Землі			U	носить назву
збурюючого потенціала, тобто T W U .						ваги
Для	обчислення нормальної			сили				на еліпсоїді
служить замкнута формула Сомільяна
		a e cos2 B b p sin2 B
							,	(5.1´´)

a2 cos2 B b2 sin2 B

де a і b - параметри еліпсоїда, e і p позначають нормальну

силу ваги на екваторі і полюсі відповідно.

Отже, найбільш відомою узагальненою фігурою Землі є загальний земний сфероїд, точнішне рівневий еліпсоїд обертання, який ще називають Нормальна Земля. Під цим терміном розуміється узагальнена модель Землі як планети в цілому, яка з однієї сторони відтворює її основні властивості в усередненому вигляді, а з другої – найбільш просто представляє її для математичного опису.

Нормальна Земля при розв’язуванні наукових і практичних задач виконує двояку роль: вона застосовується або як правдоподібна модель Землі, яка з достатньою точністю замінює реальну Землю (в астрономії, геофізиці, картографії, навігації тощо), або там, де вимагається більш висока точність, як досить добре її перше наближення ( в геодезії, гравіметрії, космічній геодезії тощо).

Чисто теоретично при вивченні фігури Землі у відношенні її виду та розмірів можна було би розглядати будьяку із її рівневих поверхонь, оскільки від одної із них можна теоретично перейти до іншої рівневої поверхні. Для переходу від даної або вихідної рівневої поверхні C до другої

251