- •Розділ 5 вимірювання других похідних потенціалу сили ваги
- •Рис, 27. Схеми коромисел крутильної ваги
- •Теорія гравітаційного варіометра
- •5.2. Будова гравітаційних варіометрів. Техніка спостережень з варіометрами і градієнтометрами. Визначення їх сталих
- •Рис, 29, Загальний вигляд варіометра вг-1
- •І введемо позначення
- •5.4. Про можливість вимірювання вертикального градієнта сили ваги
Розділ 5 вимірювання других похідних потенціалу сили ваги
Для вимірювання других похідних потенціалу сили ваги використовують гравітаційні варіометри і градієнтометри. Якщо гравітаційними варіометрами можна виміряти горизонтальні градієнти сили вагиWxz, Wyz і градієнти кривини рівневої поверхніWxy,W, то гравітаційним градієнтометром - тільки горизонтальні градієнти сили ваги. В кінці XIX століття угорським фізиком Етвешом була розроблена теорія варіометра і перший прилад для вимірювання других похідних потенціалу сили ваги. Всімоделігравітаційних варіометрів і градієнтометрів побудовані за принципом крутильної ваги Кулона. Така крутильна вага Кулона являє собою легке горизонтальне коромисло з двома тягарцями на кінцях, яке всередині підвішене на дуже тонкій нитці, навколо якої воно може повертатися (рис. 27)
Рис, 27. Схеми коромисел крутильної ваги
На рис. 27 подані Z - подібні - (а,d), нахилені - (б); L - подібні - (в) і горизонтальні -(г) коромисла. Крутильну вагу Кулона (горизонтальні коромисла) Етвеш назвав вагою першого роду, а вагу з тягарцями на різних висотах - вагою другого роду. На протязі деякого часу крутильна вага здійснює затухаючі коливання, і після цього вона займає у деякому певному азимуті положення рівноваги В однорідному гравітаційному полі на тягарці діють однакові сили і положення рівноваги буде при розкрученому стані нитки. Насправді гравітаційне поле є неоднорідним, і тому положення рівноваги коромисла буде залежати від параметрів коромисла і гравітаційних сил.
Теорія гравітаційного варіометра
Залежність між гравітаційними силами і параметрами коромисла в положенні рівноваги називається основним рівнянням гравітаційного варіометра. Для того, щоб одержати це рівняння, розглянемо рис. 28, на якому точка 0 - початок системи прямокутних просторових координат х, у,z. Вісь z направлена вертикально вниз вздовж нитки, вісь х- на північ, а вісь у- на схід.
Рис. 28. До теорії гравітаційного варіометра
Для будь-якої точки нашої системи з елементарною масою dт і координатами х, у,z розкладемо діючу силу ваги gна три складові за осями координатgx, gy, gz. Як відомо із теоретичної механіки, складові gx і gy створюють елементарний крутильний момент, а складова gzє паралельною нитці і не викликає повороту навколо вертикальної осі коромисла. Тоді крутильний момент, який діє на всю систему, дорівнює інтегралу по всьому об'єму коромисла.
(5.1)
Під дією моментаMz коромисло повернеться навколо осі z, а в крутильній нитці виникнутьпружинні сили, які протидіють повороту. Цей крутильний момент нитки МТбуде пропорційний кутові ϑ повороту коромисла. Кут ϑ відраховують від положення коромисла при розкрученому стані нитки, тобто від положення рівноваги в однорідному гравітаційному полі. Це положення безпосередньо ми не можемо спостерігати, тому що завжди проводять спостереження в неоднорідному гравітаційному полі, а нитка буде в закрученомустані. Позначимо через ϑ0- відлік за горизонтальною шкалою, який виражається в радіанах і відповідає розкрученому
п оложенню нитки. Звідси основне рівняння гравітаційного варіометра, яке виражає положення рівноваги систем записують у вигляді
(5.2)
де
τ- стала крутильної нитки, яка залежить від її розмірів і матеріалу, з якого вона виготовлена.
Розміри чутливої системи варіометра невеликі, тому можна прийняти сталими другі похідні потенціалу сили ваги в об'ємі, який займає чутлива система. Використовуючи
р
(5.3)
(5.4)
яд Тейлора і обмежуючись при розкладі членами першого порядку, для величин gx і gyзапишемо:
Підставимо вираз (5.3 і 5.4) в основне рівняння варіометра (5.2) і замінимо перші похідні сили ваги другими похідними потенціалу сили ваги.
Крім того, візьмемо до уваги, що вісь г збігається з напрямом сили ваги g в початку координат, а
(gx)0=0 і (gy)0=0
Т
(5.5)
оді після нескладних перетворень одержимо:
95
Інтеграли в правій частині рівняння залежать від форми, розмірів коромисла і його положення в просторі. Для того, щоб спростити обчислення інтегралів, введемо нову систему координат Ɛ, ɳ, ς нерухомо зв’язану з коромислом. Початок нової системи координат співпадає з центром ваги коромисла, вісь Ɛ направлена вздовж коромисла, вісь ɳ -в перпендикулярному напрямі, а вісь ς збігається з напрямом z. Кут між осями х і Ɛ, який є азимутом коромисла, позначимо черезα. Тоді основне рівняння варіометра (5.5) з врахуванням переходу від однієї системи координат до іншої
x=Ɛ cos α - ɳ sin α,
y=Ɛ sin α + ɳ cos α,
z=ς
набере вигляду після нескладних перетворень
(5.6)
Знаючи форму та розмір коромил, можна обчислити інтеграли, які входять і рівняння (5.6).
Р озглянемо інтеграли виду Для всіх типів коромисла зберігається
с иметрія відносно площини ɳ=0, а через те і Знайдемо вираз
д ля
(5.7)
де
/ - довжина плеча коромисла,
к - віддаль між центрами ваг тягарців,
т - маса кожного тягарця
Т ут при обчисленні інтеграла ми приймаємо що маса тягарця зосереджена в йогоцентрі ваги з
Координатами
І нтеграл представимо в виді
(5 8)
Де- момент інерції коромисла відносно С,
П оперечні розміри коромисла малі в порівнянні з його довжиною, і можна з похибкою до 0,1% прийняти, що
(5 9)
О тже основне рівняння гравітаційного варіометра одержимо у вигляді
(5.10)
В це рівнянні входять пять невідомих величин ( ϑ0, W, Wxy, Wxz, Wyz)іпять параметрів (К, h, 1, т, τ). Величина кута поворот, коромисла ϑ в заданому азимуті αвимірюється. Для визначення всіх п'яти невідомих необхідно виконати спостереження в п’ятирізних азимутах, а саме при α=0°, 72°, 144°, 216°, 288°. Задаючи підвісній системі різну форму можна одержувати рівняння типу (5.10), в яке будуть входити не всі другі похідні потенціалу сили ваги. Так, для крутильної ваги першого роду h=0 то тоді основне рівняння гравітаційного варіометра запишуть так
(5.11)
при К=0 одержують основне рівняння градієнтометра
( 5.12)
Для скорочення часу спостережень у варіометрах і градієнтометрах встановлюють крутильні системи які повернуті одна відносно іншої на 180˚.