Конспек лекцій ВНС
.pdfтій же відстані від центра кулі. З’єднавши спроектовані точки меридіанів і паралелей лініями і розвернувши бічну поверхню циліндра одержимо на площині картографічну сітку нормальної перспективно-циліндричної проекції. Якщо прийняти за вісь Х один з меридіанів, а за вісь Y – екватор або паралель, то формули прямокутних координат цієї проекції будуть
x f ; |
y |
(16) |
Меридіани і паралелі в цій проекції будуть представлені двома системами взаємно перпендикулярних прямих; віддаль між меридіанами визначається як і в нормальних циліндричних проекціях, а між паралелями – за методом перспективних проекцій.
Значення абсциси х знаходять геометричним шляхом.
Розглянемо рис. На рисунку т. A′ є проекцією т. А на бокову поверхню циліндра з точки g. Якщо початок координат перспективно-циліндричної проекції сумістити з площиною екватора, то відрізок A′A′3 буде абсцисою х т. А в проекції. З подібності трикутників gA′A′3 і gAA3 отримаємо
|
x |
AA A g |
|
|
||
|
3 |
3 |
|
(17) |
|
|
|
A3 g |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а A′3g=D+ A′3C; A′3C= R cosφk; |
A3g= A3C+D |
|
|
|||
з трикутника AA3С і AkCA′3, |
|
|
|
|
|
|
AA Rsin |
|
CA Rcos |
(18) |
|||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
Тоді |
|
|
|
|
|
|
x |
R sin D R cos |
|
|
|||
|
|
|
k |
|
(19) |
|
D R cos |
|
|||||
|
|
|
Якщо прийняти співвідношення D/R=k, то формула (19) приймає вигляд:
x |
R sin k cos k |
|
(20) |
|
k cos |
|
|
||
|
|
|
|
Величина k+cos k=С постійна для конкретної проекції, тоді:
sin |
|
x C R k cos |
(21) |
Таким чином загальні формули перспективно-циліндричної проекції:
|
x C R |
|
sin |
||
|
k cos |
||||
|
|
|
|
||
|
|
y |
|||
m |
dx |
|
C 1 k cos |
||
Rd |
|
|
2 |
||
|
|
|
k cos |
||
|
|
n r |
|||
|
p m n |
||||
|
sin |
|
|
a b |
|
|
2 |
a b |
|||
|
|
|
|
||
При С=k+cosφk і β=Rcosφk |
циліндр перетинає кулю, а при С=k+1 і β=R |
циліндр дотикається до кулі по екватору.
Картографічна сітка – ортогональна, а тому масштаби m і n є екстремальні.
За характером спотворень ці проекції довільні. Вони відрізняються одина від одної широтою k паралелі, по якій циліндр перетинає кулю і віддалю D точки g з якої виконується проектування від центру кулі C.
Розглянемо декілька часткових випадків:
1. Проекція Уетча (циліндр дотичний k=0°, проектування по методу гномонічних проекцій k=0, тобто з центру кулі D=0)
x Rtg; |
y R |
|
|
||
m sec2 ; |
n sec |
|
|||
(22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
p sec |
3 |
; |
sin / 2 tg |
2 |
|
|
|
/ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
2. Проекція Брауна (циліндр дотичний k=0°, проектування по методу стереографічних проекцій k=1, тобто проектування з протилежного боку кулі:
D=R)
|
|
x 2Rtg / 2 ; |
y R |
|
|
|
m sec2 / 2 ; |
n sec |
|
|
|
(23) |
||
|
|
|
|
|
p sec |
2 |
/ 2 sec ; |
|
|
|
sin / 2 a b / a b |
|||
|
|
|
|
|
3. Проекція Голла (циліндр перетинає кулю по широті k=45°, k=1, D=R)
|
x 1 cos k Rtg / 2 ; |
|||
m |
1 cos k |
sec2 |
/ 2 ; |
|
2 |
||||
|
|
|
p m n;
y R cos k |
|
|
|
n cos k sec |
cos k |
||
|
|
(24) |
|
|
|
||
|
|
cos |
Проеція Голла використовується для показу поясів часу на карті Світу.
Спотворення в нормальних перспективно-циліндричних проекціях залежать лише від широти, тому ізоколи спотворень співпадають з паралелями і мають вид прямих. Проекції мають два параметри k i k, які визначають вид сітки (віддаль між паралелями і меридіанами) та розподіл і величину спотворень.
Крім нормальних є ще косі перспективно-циліндричні проекції. В них сітка паралелей і меридіанів не співпадає з нормальною. Меридіани і паралелі мають вид кривих, а вертикали і альмукантарати зображуються двома системами взаємно перпендикулярних прямих.
Загальна теорія конічних проекцій
Внормальних конічних проекціях меридіани – прямі лінії, які сходяться в одній точці під кутами пропорційними різниці відповідних довгот, а паралелі – дуги концентричних кіл, центр яких співпадає з точкою сходу меридіан.
Вкосих і поперечних проекціях же вид мають вертикали і альмукантарати,
америдіани і паралелі зображуються складними лініями.
Практичне використання знайшли тільки нормальні проекції.
Рівняння конічних проекцій в загальному вигляді виражаються в плоских прямокутних координатах (x, y) і полярних координатах (ρ – полярний радіус, δ
– полярний кут).
За початок прямокутної системи координат приймають точку перетину середнього меридіана з південною паралеллю зображуваної території (точка
О).
Полюс полярних координат суміщений з точкою перетину меридіанів, а полярна вісь – з одним з меридіанів, який одночасно є віссю Х від якої ведеться рахунок довгот. (рис.).
Таким чином рівняння проекції:
x q cos ; |
y sin |
1 |
||
; |
|
f |
||
|
де q – const – віддаль між полюсом і початком прямокутних координат (дорівнює радіусу південної паралелі); ρ – радіус паралелі який є функцією широти. Параметр α завжди менший одиниці, тобто паралелі зображуються неповними колами (α=1 – азимутальні, α=0 циліндричні проекції)
Головні напрями співпадають з меридіанами і паралелями. Вид функції f, яка визначає полярний радіус ρ, знаходять в залежності від заданих умов – рівнокутного, рівновеликого чи рівнопроміжного зображення вздовж меридіанів. У відповідності з цими умовами конічні проекції поділяються на рівнокутні, рівновеликі та довільні (як частковий випадок рівнопроміжні). В залежності від виду функції визначають і другий параметр q. В рівнокутних і рівновеликих проекціях він має певний геометричний зміст – це радіус екватора в прекції.
Так як сітка меридіанів і паралелей ортогональна, то головні напрямки співпадають з меридіанами і паралелями і масштаби m і n будуть екстремальні.
на еліпсоїді |
в проекції |
На основі визначення для часткового масштабу і згідно рисунка 2 запишемо:
m |
d |
n |
d |
|
|
2 |
|
Md |
rd |
r |
|||||
|
|
|
|
так як
d d |
|
d |
|
d |
|||
|
|
Знак мінус показує що із збільшенням φ радіус ρ зменшується.
Масштаб площ
p m n |
3 |
sin / 2 a b / a b |
4 |
В залежності від розмірів території і способу визначення параметрів в конічній проекції є одна або дві паралелі, довжини яких не спотворюються. Такі паралелі називаються головними.
Аналіз формул для m, n, p, ω показує, що спотворення в конічних проекціях є функцією лише широти φ (залежить тільки від широти), тому ізоколи спотворень співпадають з паралелями і є дугами кіл.
Нормальні конічні проекції вигідні для зображення територій витягнутих вздовж паралелей і розташованих в середніх широтах. Але їх широко використовують і для територій різної конфігурації розташованих не тільки в середніх широтах, але в північних і середніх широтах (але не в полярних районах).
Рівнокутні нормальні конічні проекції
Врівнокутних нормальних конічних проекціях полярний радіус ρ знаходять
зумови рівнокутного відображення, тобто
m n |
5 |
Враховуючи формули (2) запишемо
|
d |
|
|
6 |
|
Md |
r |
||||
|
|
|
або
d |
|
Md |
7 |
|
|
r |
|||
|
|
Інтегруючи одержимо
|
d |
|
Md |
|
|
r |
|||
|
|
і
ln ln C ln
де
|
tg 45 |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
U |
tg |
45 |
/ 2 |
; |
|
e |
|
|
|
е – перший ексцентриситет еліпсоїда.
Звідси
C /U |
|
|
Md N cos
U |
8 |
sin esin
9
де C – постійна інтегрування, що рівна радіусу екватора в проекції (ρекв).
При φ=0° (ψ=0) функція U=1 і тоді ρφ=0=С – тобто параметр С дорівнює радіусу екватора в проекції. При φ=90° U→∞ і ρφ=90°=0 – географічний полюс зображується точкою.
Отже формули рівнокутних конічних проекцій будуть мати вигляд:
x q cos ; |
y sin ; |
|||
C /U |
|
; |
; |
|
|
|
|||
const; |
|
C const; |
|
|
|
10 |
|||
m n / r C /U r |
|
|||
|
|
|
|
|
p m2 ; |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Якщо поверхню прийняти за сферу, то отримаємо
U tg 45 / 2 |
|
|
|
C tg 45 / 2 11
m n / R cos
Параметри α і C впливають на величину і розподіл спотворень.
Знайдемо спочатку широту φ0 паралелі з мінімальним масштабом. Для цього продиференціюємо функцію n по φ.
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
; |
|
|
|
|
|
; |
r |
r |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
r r |
/ r |
2 |
0 |
12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умова (12) буде виконуватися, якщо
sin |
0 |
|
13 |
|
|
|
Отже на широті φ0 масштаб буде мінімальний. Масштаби довжин, так як і проміжки між паралелями збільшуються від паралелі φ0 в обидві сторони (швидше в сторону полюса).
Розглянемо декілька способів знаходження сталих α і C.
1) Частковий масштаб довжин n0 на головній паралелі з широтою φ0 (як правило середня для території) найменший і дорівнює одиниці. Тоді
sin |
0 |
|
а
n |
|
C / r U |
|
1, |
14 |
|
0 |
0 |
|||||
|
0 |
|
|
або
С r U |
|
/ |
|
0 |
|||
0 |
|
Рівнокутну конічну проекцію з одною заданою головною паралеллю використовують для територій менше 6°−8° по широті. В цьому випадку спотворення не перевищать 0,2%.
2) Частковий масштаб довжин n0 на головній паралелі з широтою φ0 найменший і дорівнює одиниці, а часткові масштаби з широтами φпд. і φпн. рівні між собою, тобто nпн.=nпд. Тоді
C / rU |
|
C / r U |
|
, |
|
|
2 |
||||
1 |
1 |
2 |
|
або
rU r U |
15 |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
Логарифмуємо
ln r lnU |
1 |
ln r |
lnU |
2 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
lnU |
1 |
lnU |
2 |
ln r |
|
ln r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln r |
ln r |
/ lnU |
1 |
lnU |
2 |
|
|
16 |
|||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Знаючи α з (16) знайдемо φ0 (sin φ0=α), а потім С |
|
|
|||||||||||||||||
C r U |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) Часткові масштаби n1 і n2 на двох головних паралелях з широтами φ1 і φ2 |
|||||||||||||||||||
дорівнюють одиниці (n1=n2=1). Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C / rU |
|
|
C / r U |
|
, |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln r2 ln r1 / lnU1 lnU2 |
|
18 |
|||||||||||||||||
Знаючи α знаходимо φ0 (sin φ0=α), а тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
C rU |
|
|
/ r U |
|
/ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Існує ряд інших способів визначення сталих.
Рівновеликі нормальні конічні проекції
Умова рівновеликого відображення
|
|
p m n 1 |
|
|
||||
x q cos ; |
y sin |
|
||||||
|
||||||||
f ; |
|
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
d |
; |
n |
d |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
r |
||||||
|
Md |
|
rd |
|
Підставивши значення m і n з (1) одержимо
|
d |
|
|
1, |
2 |
|
Md |
r |
|||||
|
|
|
|
звідки
|
|
d |
Mr |
d |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Інтегруючи (3) одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Mrd C |
2 |
S, |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де S – площа сфероїдної трапеції з різницею довгот 1° і протяжністю по широті від екватора до паралелі з широтою φ.
Якщо прийняти С=c 2/α, то
|
2 |
|
2 |
c S , |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де с – другий параметр проекції.
Отже формули для рівновеликих конічних проекцій будуть мати вигляд
x q cos ; |
|
|
|
|
y sin ; |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
с S |
; |
|
|
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
const; |
|
|
|
c const; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
; |
|
m |
1 |
|
r |
; |
|
|
||||||||
|
|
r |
|
n |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
p 1; |
|
|
|
|
|
|
|
/ 4 a. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
tg 45 |
|
|
|||||||||||
Дослідимо часткові масштаби довжин на екстремум |
|||||||||||||||||||
n |
n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
r |
r |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
r r |
0 |
|
|
|
7 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
r 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Умова (7) буде виконуватись, якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
sin |
0 |
r2 / 2 |
0 |
|
|
|
7a |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так як друга похідна (nφφ)0>0 на паралелі з широтою φ0 масштаб n0 буде мінімальний.
Часткові масштаби по меридіанах m=1/n і зменшуються від паралелі φ0 в обидві сторони, але до полюса швидше. Відповідно і проміжки між паралелями в сторону полюса зменшуються швидше, ніж до екватора.
Розглянемо способи знаходження постійних α і с.