Дульцев Форма орбіти та рух ШСЗ за законами Кеплера
..pdfприймає інтеграл енергії V 2 2 r h при різних ексцентриситетах е. Для цього використаємо рівняння зв’язку перших семи інтегралів (25), в якому враховуючи позначення (37), отримаємо
e2 1 h c 2 . |
(40) |
В еліптичному русі 0 e 1, тоді на основі (40) h 0 , і з інтегралу енергії виходить, що
V 2 2 r .
Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за його потенціальну енергію. Для окремого випадку, коли e 0 , із (40) маємо
h |
. |
(41) |
|||||
|
|
|
p |
|
|||
При коловому русі радіус орбіти r p a . Враховуючи це і підставляючи (41) в інтеграл |
|||||||
енергії, отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
. |
(42) |
|||
|
|
|
r |
|
|||
Якщо приймемо, що Земля сферичної форми з радіусом 6371,1 км і = 398600,5 км3/с2, |
|||||||
то V = 7,91 км/с. |
|
|
|
|
|
|
|
При параболічному русі e 1, тому h 0 |
і, відповідно |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
2 |
. |
(43) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
r |
|
Таким чином, при параболічному русі кінетична і потенціальна енергії супутника однакові. Для Землі це відбудеться при швидкості супутника то V = 11,2 км/с.
В теорії руху ШСЗ прийнято колову швидкість супутника називати першою космічною швидкістю, а параболічну – другою космічною швидкістю.
При гіперболічному русі e 1 і h 0 , тому
V 2 2 r . |
(44) |
В цьому випадку визначальну роль відіграє кінетична енергія супутника, вона більша від потенціальної енергії.
Динамічний інтеграл. Всі, отримані вище, інтеграли (12), (18) і (23) не можуть бути загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь незбуреного руху (6), тому що не містять час у явному виді. Інтеграл, який дає в явному виді залежність положення ШСЗ на орбіті від часу t отримаємо інтегруванням виразу для інтеграла площ (33), підставляючи туди рівняння орбітальної кривої (38), маємо
v |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t . |
(45) |
|||
|
|
|
||||||
1 e cos v |
2 |
3 |
||||||
0 |
|
|
|
p |
|
Інтеграл в лівій частині виразу (45) залежить від того, яке значення приймає ексцентриситет орбіти е.
Оскільки ШСЗ, як правило, має еліптичну орбіту 0 e 1, тому розглянемо тільки цей випадок. Для обчислення інтеграла (45) вводять нову змінну на основі тангенса половинного кута за формулою
tg |
v |
|
1 e |
|
|
|
tg |
E |
. |
(46) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
1 e |
2 |
|
|
|||||||||
Після диференціювання (46), підстановки у (45) і інтегрування отримаємо |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
E e sin E |
|
|
|
|
t . |
(47) |
||||||||
a3 |
||||||||||||||
Введемо середній рух n і середню аномалію M за формулами |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(48) |
||
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M n t . |
(49) |
|||||||||||||
Рівняння (47) із врахуванням (48) і (49) прийме вид: |
|
|||||||||||||
E e sin E M . |
(50) |
Це рівняння називається рівнянням Кеплера. Воно зв’язує допоміжну змінну, якою є ексцентрична аномалія Е, середню аномалію М, момент проходження супутника через перигейі час t.
Згідно з формулою (49) середня аномалія М зростає прямо пропорціонально часові і визначає положення деякого фіктивного супутника, який рухається рівномірно по колу радіуса великої півосі а з періодом T, що дорівнює реальному. Реальний супутник рухається по еліпсу і відповідно з другим законом Кеплера має максимальну швидкість в перигеї і мінімальну в
апогеї. |
|
|
|
|
|
|
Нехай супутник має період обертання Т. |
Тоді з рівнянь (49) і (50) виходить , що при |
|||||
повному оберті ШСЗ отримаємо 360 nT , звідси |
|
|
|
|||
n |
360 |
|
2 |
. |
(51) |
|
T |
T |
|||||
|
|
|
|
Таким чином, n – середня кутова швидкість рухомої точки. В небесній механіці її називають середнім рухом.
Підставимо у формулу (51) замість n вираз (48) і після перетворень отримаємо
T 2 |
|
4 |
2 |
const |
, |
(52) |
a3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ця формула відображає третій закон Кеплера, згідно з яким в еліптичному незбуреному русі відношення квадрата періоду Т обертання супутника по орбіті до куба її великої півосі а є величина стала для даної планети.
Рух ШСЗ за законами Кеплера є найпростішою моделлю орбітального руху супутника і називається кеплерівським або незбуреним рухом. Необхідною умовою виконання законів Кеплера є припущення, що Земля (центральне тіло) і супутник - це матеріальні точки з масами
рівними масам Землі і супутника відповідно. У цьому випадку супутник рухається під дією тільки двох сил - гравітаційного притягання Землі та прискорення супутника.
Зміст роботи
Згідно в зазначеним вище, за модель Землі приймаємо кулю з середнім радіусом R = 6371.1 км і геоцентричною гравітаційною сталою = 398600.5 км3/с2. Ці параметри є вихідними для розв’язування задач.
Задача 1. Побудувати схематично еліптичну орбіту та її проєкцію на небесну сферу за такими параметрами:
-довготою висхідного, вузла орбіти ;
-кутом нахилу орбіти і;
-аргументом перицентру
та показати положення супутника на орбіті коли, відома його істинна аномалія v.
Результатом цієї задачі є схематично побудований рисунок, на якому за даними свого варіанту (параметрами орбіти , і, і v) нанесені параметри орбіти подібно до рис. 1.
Задача 2. Для ШСЗ на коловій орбіті обчислити три з наступних чотирьох величин: радіус орбіти r, період T, лінійну швидкість супутника V, висоту орбіти H, якщо одна з цих величин відома. Виконати обчислення для таких трьох випадків:
а) відома висота орбіти H; б) заданий середній рух n;
в) відомий період орбіти T для випадку, коли ШСЗ має геоcтацioнарну орбіту.
Формули для розв’язку задачі.
Випадок а). Якщо відома висота орбіти H, то можна обчислити радіус колової орбіти r, оскільки відомий радіус R сферичної моделі Землі
r R H . |
(53) |
За відомим радіусом орбіти отримаємо лінійну швидкість супутника за формулою (42)
V r .
Тут досліджуємо колову орбіту, тобто e 0 , значить велика піввісь а дорівнює радіусу орбіти r, а саме: a r . При такій умові застосуємо третій закон Кеплера
T 2 |
|
4 |
2 |
. |
a 3 |
|
|
||
|
|
|
Звідси обчислимо період обертання супутника Т
T 2 |
a 3 |
. |
(54) |
|
|
||||
|
|
|
За результатами обчислень необхідно зробити рисунок, на якому показати: Землю у вигляді сфери і колову орбіту ШСЗ. За одиницю масштабу прийняти радіус Землі R. Одиниця
масштабу вибирається довільно (2-3 клітинки зошита або 1-1,5 см). На рисунку позначити: радіус Землі R , радіус колової орбіти r і висоту орбіти H, наприклад:
s
H
r
O R
Випадок б). Дано середній рух n в обертах за добу. Тривалість доби 24 години або 86400 секунд. Виходячи з формули (51) запишемо
|
24 h |
86400 s |
||||
n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
T |
|
|
T |
||
Звідси період обертання супутника |
|
|
|
|
|
|
T |
86400s |
|||||
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
За відомим періодом T з третього закону Кеплера отримаємо велику піввісь орбіти
a 3 |
T 2 |
|
. |
(55) |
|
4 2 |
|||||
|
|
|
Так як орбіта колова, то r a , і тепер висота орбіти Н і лінійна швидкість ШСЗ обчисляться за відомими вже формулами
H r R ; |
V |
|
|
|
. |
(56) |
|
||||||
|
|
|
r |
|
||
За результатами обчислень необхідно зробити рисунок подібний до випадку а). |
|
Випадок в). Формули і хід розв’язування цієї задачі такі ж, як і у попередній, за винятком першої формули, тому що період Т обертання ШСЗ нам вже відомий. Тільки одне застереження: перед обчисленням великої півосі орбіти супутника за формулою (55) необхідно
період Т руху ШСЗ, заданий в годинах, хвилинах і секундах T h m s , переобчислити в секунди T s , тобто T h m s T s . Далі обчислення виконуються за формулами (55) і (56).
За результатами обчислень необхідно зробити рисунок подібний до випадку а).
Задача 3. Для ШСЗ, який знаходиться на еліптичній орбіті необхідно обчислити: період Т, радіус-вектор супутника r, висоту H і лінійну швидкість ШСЗ в точкак периґею VП, апогею VА і в точці орбіти Vо із заданою дійсною аномалією v, якщо відомо велику піввісь орбіти а та ексцентриситет е.
іФормули для розв’язку задачі.
де р – фокальний параметр.
rO |
|
|
p |
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
e cos v |
||||||||
HO rO R ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
vO |
|
2 |
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
r |
|
a |
T 2 |
a 3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p a 1 e2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r |
|
p |
|
; |
|
|
r |
|
|
|
p |
, |
|
|
||||
П |
|
1 e |
|
|
|
|
A |
|
1 e |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
H П rП R ; |
H А rА R , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v П |
|
|
1 e |
v A |
|
|
1 e |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a |
1 e |
|
|
|
a |
1 e |
До задачі необхідно зробити рисунок, на якому кут істинної аномалії v, повинен відповідати значенню, заданому у вихідних даних.
|
VO |
|
|
|
|
s |
|
|
rO |
|
VП |
|
|
v |
|
|
rA |
|
|
|
|
|
|
А |
|
R |
П |
|
HA |
|
|
VA |
|
|
|
|
|
|
Контрольні запитання:
1.Якою може бути орбіта супутника?
2.Перечисліть основні параметри еліптичної орбіти супутника.
3.Як визначити розміри і форму орбіти супутника?
4.За якими законами відбувається рух супутника на орбіті?
5.Який рух називається незбуреним рухом супутника?
Література
1.Космическая геодезия: Учеб. Для вузов / В Н. Баранов, Е. Г. Бойко, И. И. Краснорылов и др. – М.: Недра, 1986. - 407 c.
2.М. Бурша. Основы космической геодезии. Ч. 1. Геометрическая космическая геодезия.-
М.: Недра, 1971. – 128 с.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ФОРМА ОРБІТИ ТА РУХ ШСЗ ЗА ЗАКОНАМИ КЕПЛЕРА
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторної роботи з курсу “Супутникова геодезія” для студентів основного напряму
“Геодезія, картографія та землевпорядкування”
Автори: Дульцев Анатолій Тихонович, канд.техн.наук, доц.
Цюпак Ігор Михайлович, канд.техн.наук, доц.
Янків-Вітковська Любов Миколаївна, канд.фіз.-мат.наук, доц.
Редактор
Комп’ютерне складання
Підписано до друку Формат 70 1001/16 . Папір офсетний.
Друк на різографі. Умови друк. арк. 16. Обл.-вид. арк. Наклад 50 прим. Зам.
Поліграфічний центр Видавництва Національного університету «Львівська політехніка»
Вул. Ф. Колесси, 2, 79000, Львів