978-5-7996-1814-8_2016
.pdf1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
или
un+1 > un,
то есть члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому
limun № 0,
n®Ґ
Ґ
значит ряд еun расходится.
n=1
Замечание
Если l =1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Ґ n5
еn=1 2n .
Решение
Вычислим предел
|
u |
|
ж (n +1)5 n5 ц |
ж |
ж |
n +1 |
ц |
5 1 ц |
1 |
. |
||||
lim |
n+1 |
= limз |
|
: n |
ч |
= limз |
|
|
ч = |
|
||||
|
|
з |
|
ч |
|
|
||||||||
un |
n+1 |
n |
2 |
2 |
||||||||||
n®Ґ |
n®Ґ |
и |
2 |
2 |
ш |
и |
и |
ш |
ш |
|
||||
|
|
|
|
|
n®Ґ з |
|
|
|
|
ч |
|
|
Так как 12 <1, то по признаку Даламбера данный по условию ряд сходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Ґ n!
еn=1 5n .
Решение
Вычислим предел
|
un+1 |
ж (n +1)! |
||
lim |
|
= limз |
|
|
un |
n+1 |
|
||
n®Ґ |
n®Ґ и |
5 |
|
|
n! ц |
ж |
(n +1)Чn!Ч5n ц |
= Ґ. |
||
: |
n ч |
= limз |
|
|
ч |
|
n+1 |
Чn! |
|||||
|
5 ш |
n®Ґ и |
5 |
ш |
|
19
1. Числовые ряды
Так как предел равен бесконечности, то по признаку Даламбера данный по условию ряд расходится.
Пример. Исследовать на сходимость ряд, используя признак Даламбера:
Ґ 1
еn=1 n + 2.
Решение
Вычислим предел
|
un+1 |
ж |
1 |
|
|
1 |
|
ц |
= |
lim |
|
= limз |
|
|
: |
|
|
ч |
|
un |
|
|
|
|
|||||
n®Ґ |
n®Ґ и n +1 |
+ 2 |
|
n + 2 |
ш |
|
lim |
ж n + 2 |
ц |
=1 |
|
з |
ч . |
|
n®Ґ и n + 3 |
ш |
|
Так как предел равен 1, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.
Радикальный признак Коши
Ґ
Теорема. Пусть дан ряда еun с положительными членами
n=1
исуществует конечный или бесконечный предел
lim n un = l .
n®Ґ
Тогда ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.
Доказательство
Так как lim n un = l , то по определению предела — для любо-
n®Ґ
го e > 0 существует номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство
n un - l < e
или
l - e < n un < l + e. |
(1.14) |
20
1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть l <1. Можно подобрать e так, что l + e <1. Обозначим l + e = q,q <1. Тогда из правой части неравенства (1.14) имеем
n un |
< q, |
|
un < qn, |
n і N . |
|
Рассмотрим два ряда: |
|
|
u1 + u2 + u3 + ...+ uN + uN +1 + uN +2 + ... , |
(1.15) |
|
qN + qN +1 + qN +2 + ... |
(1.16) |
Ряд (1.16) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.
Члены ряда (1.15), начиная с uN , меньше членов ряда (1.16).
Ґ
В силу свойства числовых рядов и признака сравнения ряд еun сходится. n=1
Пусть l >1. Начиная с некоторого номера n = N , будем иметь
n un >1
или
un >1,
то есть все члены рассматриваемого ряда, начиная с uN , боль-
Ґ
ше 1. Тогда ряд еun расходится, так как его общий член не стре-
n=1
мится к нулю.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Ґ |
ж |
n |
цn |
||
ез |
|
|
ч . |
||
3n + 2 |
|||||
n=1 |
и |
ш |
Решение
Вычислим предел
|
|
ж |
n |
цn |
|
n |
|
1 |
. |
|||
lim n un = lim n з |
|
|
ч |
= lim |
|
|
= |
|
||||
3n + 2 |
3n + 2 |
3 |
||||||||||
n®Ґ |
n®Ґ |
и |
ш |
n®Ґ |
|
|
21
1. Числовые ряды
Так как 13 <1, то по радикальному признаку Коши данный по условию ряд сходится.
Интегральный признак сходимости Коши
Ґ
Теорема. Пусть члены ряда еun положительны и не возрас-
n=1
тают, то есть
u1 і u2 і u3 і ...,
и пусть f (x) — такая непрерывная невозрастающая функция, что
f (1) = u1, f (2) = u2, f (n) = un. Тогда справедливы следующие утверждения:
|
|
|
Ґ |
1) |
если несобственный интеграл |
т f (x)dx сходится, то схо- |
|
|
дится и ряд; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
2) |
если несобственный интеграл т f (x)dx расходится, то рас- |
||
|
ходится и ряд. |
1 |
|
|
|
|
Доказательство
Изобразим члены ряда геометрически (рис. 1.1).
y
y = f (x)
0 |
1 |
2 |
n-1 n |
x |
Рис. 1.1
22
1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 1.1:
|
|
Q = тn |
f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
: |
|
Возьмем n ю частичную сумму ряда е |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (n) |
|
|
|
n |
|
|
n=1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
|
= f (1)+ f (2)+ f (3)+ ...+ f (n) |
|
||||
Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет |
|
||||||
Q+ = f (1)+ f (2)+ f (3)+ ...+ f (n -1) = Sn-1, |
|
||||||
а площадь Q входящей фигуры |
|
|
|
||||
Q = f (2)+ f (3)+ ...+ f (n) = Sn - f |
(1). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из построения и свойств функции f (x) следует, что |
|
||||||
|
|
Q <Q <Q+, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn - f (1) < тn |
f (x)dx < Sn-1. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Так как Sn-1 < Sn, то |
|
|
|
|
|
||
Sn - f (1) < тn |
f (x)dx < Sn, n =1, 2, ... |
(1.17) |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Ґ
1. Пусть несобственный интеграл т f (x)dx сходится.
1
Тогда существует предел
n
lim т f (x)dx = A.
n®Ґ 1
Так как
n |
+Ґ |
|
т f (x)dx Ј A = т |
f (x)dx |
|
1 |
1 |
|
23
|
|
|
1. Числовые ряды |
(в силу условия |
|
для |
), то из неравенства (1.17) |
|
f (x) > 0 |
x О[1,+Ґ) |
|
следует, что |
|
|
|
Sn < f (1)+ тn |
f (x)dx < f (1)+ A = M =const, |
||
|
1 |
|
|
0 < Sn < M, n =1, 2, ...
Последовательность {Sn } ограничена и при возрастании n суммаSn возрастает. Поэтому последовательность имеет предел
limSn = S.
n®Ґ
Ґ
Следовательно, ряд е f (n) сходится.
n=1
Ґ
2. Пусть несобственный интеграл т f (x)dx расходится.
Так как по условию |
|
|
для |
1 |
f (x) > 0 |
, то |
|||
|
|
x і1 |
||
Ґ |
|
|
n |
|
т f (x)dx = limn®Ґ |
т f (x)dx = +Ґ. |
|||
1 |
|
|
1 |
|
Из неравенства |
|
|
|
|
Sn і тn |
f (x)dx, n =1,2,... |
|||
|
1 |
|
|
|
следует, что
limSn = +Ґ,
n®Ґ
Ґ
то есть ряд е f (n) расходится.
n=1
Замечание
Ґ
Вместо интеграла т f (x)dx можно брать интеграл
1
+Ґ
т f (x)dx , k >1, k О .
k
24
1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Пример. Исследовать на сходимость ряд
|
|
|
|
|
|
Ґ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
еn=1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(n +1)ln2(n +1) |
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим несобственный интеграл |
|
|
|
|
||||||||||||||
Ґ |
dx |
|
|
ж |
|
1 |
|
|
|
a |
ц |
|
|
ж 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
т |
|
|
= limз |
- |
|
|
|
|
ч |
= lim |
- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|||||||
(x +1)ln |
2 |
(x +1) |
a®Ґ з |
|
ln(x +1) |
|
|
ч |
a®Ґ |
|
|||||||||
1 |
|
и |
|
|
1 ш |
|
|
и ln2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ц |
= |
1 |
, |
|
|
ч |
|
||
ln(a +1) |
|
||||
ш |
|
ln2 |
следовательно, интеграл сходится, значит и ряд сходится.
Обобщенный гармонический ряд
Ряд вида
Ґ |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
е |
= |
|
+ |
+ |
+ ...+ |
+ ... |
||||||
p |
p |
p |
p |
p |
||||||||
n=1 n |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
n |
называется обобщенным гармоническим рядом.
Исследуем его на сходимость, используя интегральный признак Коши.
Ґ |
|
1 |
|
|
1. Если p >1, то ряд сходится, так как т dxp = |
. |
|||
|
||||
1 |
x |
p -1 |
||
|
|
|
2.Если p <1, то ряд расходится, так какт dx = Ґ.
1 x p
Ґdx
3.Если p =1, то ряд расходится, так как т x p = Ґ.Ґ
1
1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Знакочередующийся ряд — это ряд вида
Ґ |
|
u1 - u2 + u3 - u 4 + ... (-1)n+1un + ... = е(-1)n+1un , |
(1.18) |
n=1
где un > 0 "nО .
25
1. Числовые ряды
Теорема Лейбница (признак Лейбница)
Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:
u1 > u2 > u3 > ... > un > ...; |
(1.19) |
2) общий член ряда стремится к нулю, то есть |
|
limun = 0. |
(1.20) |
n®Ґ |
|
При этом сумма S ряда: 0 < S < a.
Доказательство
Рассмотрим сумму n = 2m первых членов ряда (1.18):
S2m = (u1 - u2 )+ (u3 - u4 )+ ...+ (u2m-1 - u2m ).
Из (1.19) следует, что выражение в каждой скобке положительно, значит S2m — положительна (S2m > 0) и возрастает с уве-
личением m.
Запишем эту же сумму по-другому:
S2m = u1 - (u2 - u3 )- (u4 - u5 )- ...- (u2m-2 - u2m-1)- u2m.
В силу (1.19) каждая из скобок положительна, поэтому в результате вычитания этих скобок из и1 мы получим число, меньшее чем и1, то есть
S2m < u1.
Таким образом, S2m при увеличении m возрастает и ограничена сверху, следовательно, S2m имеет предел
limS2m = S, 0 < S < u1.
n®Ґ
Мы доказали, что последовательность «четных» частичных сумм имеет предел S.
26
1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S.
Рассмотрим сумму n = 2m +1 первых членов ряда (1.18):
= S2m + u2m+1.
Так как по условию
|
limu2m+1 = 0, |
|
|
|
m®Ґ |
|
|
то |
= limS2m |
+ limu2m+1 |
= limS2m = S. |
limS2m+1 |
|||
m®Ґ |
m®Ґ |
m®Ґ |
m®Ґ |
Итак, последовательность «нечетных» частичных сумм имеет предел S.
Таким образом, ряд (1.18) сходится.
Замечания
1.Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (1.19) выполняются, начиная с некоторого номера N.
2.Теорема Лейбница геометрически иллюстрируется следующим образом. Будем на числовой прямой откладывать частичные суммы:
S1 = u1, S2 = u1 - u2 = S1 - u2, S3 = S2 + u3, S4 = S3 - u4, S5 = S4 + u5,....
Точки, соответствующие частичным суммам, будут приближаться к некоторой точке S, которая изображает сумму ряда.
3. Оценка ошибки.
Заменим S частичной суммой Sn. Оценим ошибку, которую
мы допускаем при данной замене.
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой знакочередующийся ряд
(-1)n+1(un+1 - un+2 + ...),
сумма которого по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда (то есть меньше un+1).
27
1. Числовые ряды
Значит, ошибка, совершаемая при замене S наSn, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.
Пример. Проверить, что знакочередующийся ряд сходится и вычислить его сумму с точностью до 0,01:
14 - 412 + 413 - 414 + ...(-1)n+1 41n + ...
Решение
Проверим условия (1.19) и (1.20): 1) un > un+1;
2) lim 1n = 0.
n®Ґ 4
Так как оба условия выполняются, то ряд сходится. Четвертый член ряда будет первым, меньшим 0,01:
a4 = 2561 » 0,003 < 0,01.
Поэтому, для выполнения заданной точности достаточно взять первых три слагаемых:
S= 14 - 412 + 413 » 0,203 » 0,20.
1.4.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные так и отрицательные члены.
Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.
28