Дифур
.pdfu (x) |
|
|
1 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
z (x)= |
|
3 x2 |
|
|
|
|
= |
|
|
C |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
3C1 − x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y (x)= |
|
|
3 x2 |
|
|
1 |
|
y (x)= |
3 x4 + x3 −3C |
||||||||
|
|
− |
|
|
|
x2 (3C − x3 )1 |
. |
||||||||||
|
3C − x3 |
x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Уравнение Клеро
Уравнением Клеро называется следующее уравнение
y = x d y |
|
|
− g d y |
. |
|
d x |
|
|
d x |
|
Общий интеграл уравнения Клеро имеет вид y=xC+g(C),
где C – произвольная постоянная.
4.Дифференциальные уравнения второго порядка
Вданном разделе рассматриваются методы интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка. Данные методы обобщаемы и на случай уравнений более высокого порядка Определение 15 Уравнения
|
|
, d |
2 |
|
|
|
= 0 |
и |
d |
2 |
y(x) |
= |
|
|
|
|
F x, y (x), d y(x) |
|
y(x) |
|
f x, y (x), d y(x) |
|
|||||||||||
|
d x |
|
d |
2 |
x |
|
|
|
|
d |
2 |
x |
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, соответственно неразрешённым и разрешённым относительно старшей производной.
Замечание 2
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка имеет следующий вид: при x =x0 искомая функция и её первая производная соответственно равны y(x0)=y0, y'(x0 )= y0 .
Понижение порядка дифференциальных уравнений 4.1. Уравнение, не содержащее искомой функции
Рассмотрим уравнение, не содержащее искомой функции, т.е.
|
d y (x) |
, |
d 2 y |
(x) |
= 0 . |
||
F x, |
|
|
2 |
|
|
||
|
d x |
|
d |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
19
В данном случае замена искомой функции z (x)= d dy (xx) позволяет понизить порядок уравнения, т.е.
Fx, z (x), d z (x) = 0 .d x
После нахождения решения z=z(x) функция y=y(x) находится интегрированием y (x)= ∫ z (x)d x +C .
Пример 20 Рассмотрим уравнение
d 2 y |
− |
1 d y |
= 0 . |
|
d x2 |
x d x |
|||
|
|
Проведём замену искомой функции z (x)= d dy (xx). Тогда dd xz − xz = 0 .
Разделение переменных позволяет получить dzz = dxx .
Результат интегрирования данного уравнения имеет вид z=C1 x.
Возвращение к исходной искомой функции приводит к следующему соотношению
y=C2+C1 x2/2.
4.2. Уравнение, не содержащее независимой переменной
Рассмотрим уравнение, не содержащее независимой переменной, т.е.
|
d y (x) |
, |
d 2 y |
(x) |
= 0 . |
||
F y (x), |
|
|
2 |
|
|
||
|
d x |
|
d |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда замена искомой функции z (x)= d dy (xx) позволяет понизить порядок уравнения, т.е.
20
z = |
d y |
; |
d z |
= |
d 2 y |
= |
d z d y |
= z |
d z |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
d x |
d x |
d x2 |
d y d x |
d y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, достигается понижение порядка исходного дифференциального уравнения за счёт его сведения к следующему виду
|
d y (x) |
, |
d 2 y |
(x) |
= 0 |
~ |
d z (y) |
|||
F y (x), |
|
|
2 |
|
|
→F y, z (y), |
|
. |
||
|
d x |
|
d |
x |
|
|
|
d y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда после решения уравнения в переменных (y,z), полученное уравнение формально интегрируется в исходных переменных (x,y).
Пример 21 Рассмотрим уравнение
|
d |
2 |
y |
|
|
2 |
|
y |
|
− d y |
|
= 0 . |
|||
|
|
|
2 |
||||
|
d x |
|
|
|
|||
|
|
d x |
|
|
Проведём замену искомой функции z (x)= d dy (xx). Тогда получаем уравнение с
разделяющимися переменными
y z dd zy − z2 = 0 .
Последовательные разделение переменных и интегрирование приводят к следующему результату
d z |
= |
d y |
ln |
|
z |
|
= ln |
|
y |
|
+ln |
|
C |
|
z = C y = |
d y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
z |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
d x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повторные последовательные разделение переменных и интегрирование позволяют получить общее решение исходного уравнения в окончательном виде
d y |
= C d x ln |
|
y |
|
= C x +ln |
|
C |
2 |
|
y = C |
2 |
eC1 x . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|||||||||||||
y |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Левая часть уравнения является полным дифференциалом функции
Рассмотрим уравнение, левая часть которого является производной некоторого дифференциального выражения, т.е.
|
d y (x) |
|
d 2 y |
(x) |
|
d ~ |
d y (x) |
|
||||
F x, y (x), |
|
, |
|
2 |
|
|
= |
|
F x, y (x), |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
d x |
|
d |
x |
|
|
d x |
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда формальным интегрированием левой и правой частей уравнения получаем так называемый “первый интеграл”, т.е.
21
~ |
d y (x) |
= C . |
|
F x, y (x), |
|
|
|
|
d x |
|
1 |
|
|
|
Пример 22 Рассмотрим уравнение
|
d |
2 |
y |
|
|
2 |
|
y |
|
+ d y |
|
= 0 . |
|||
|
|
|
2 |
||||
|
d x |
|
|
|
|||
|
|
d x |
|
|
Такое уравнение эквивалентно следующему
d |
|
|
|
|
|
y d y |
|
= 0 . |
|||
|
|||||
|
|
d x |
|
|
|
d x |
|
|
Первый интеграл такого соотношения имеет вид
y |
d y |
= C |
|
1 d y2 |
= C . |
|
d x |
1 |
|
2 d x |
1 |
|
|
|
|
Являющийся в данном случае вторым общий интеграл вычисляется аналогично, т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 =2C1 x+C2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
− d y |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Преобразуем данное уравнение к следующей форме |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
d y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
1 d y |
|
|||||||||||||||
y |
− d y |
|
= 0 |
|
|
|
= 0 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y |
|
d x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
d x |
|
|
|
|
d x y d x |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Первый интеграл данного соотношения имеет вид |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
d y = C |
d |
ln |
|
y |
|
= C . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y d x |
|
|
|
1 |
|
d x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Являющийся в данном случае вторым общий интеграл вычисляется аналогично, т.е.
ln |
|
y |
|
~ |
y = C |
C x |
. |
|
|
|
|||||||
|
= C x +C |
2 |
e 1 |
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
22
4.4. Понижение порядка уравнения, имеющего одинаковые коэффициенты перед искомой функцией и её производными
Рассмотрим уравнение, имеющее одинаковые коэффициенты перед искомой функцией и её производными (оно также имеет название однородного относительно искомой функции и её производных), т.е.
|
d y (x) |
, k |
d 2 y |
(x) |
= k |
p ~ |
d y (x) |
, k |
d 2 y |
(x) |
||||
F x, k y (x), k |
|
|
2 |
|
|
F x, k y (x), k |
|
|
2 |
|
. |
|||
|
d x |
|
d |
x |
|
|
|
d x |
|
d |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу с помощью следующей замены: y (x)= e∫ z (x)d x . Вычисление производных от искомой функции подтверждает понижение порядка, т.е.
d y (x) |
|
d |
2 |
y (x) |
|
|
|
|
= z (x)e∫ z (x)d x , |
|
= z2 |
(x)+ d z (x) e∫ z (x)d x . |
|||||
d x |
|
d x2 |
|
|||||
|
|
|
d x |
|
Решение линейного дифференциального уравнения второго порядка
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение следующего вида
a |
2 |
(x) |
d 2 y (x) |
+ a |
(x) |
d y (x) |
+ a |
0 |
(x)y (x)= b (x). |
(1) |
|
|
|||||||||
|
|
d x2 |
1 |
|
d x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 3
Порядок указывает на то, что решение уравнения должно содержать две постоянные интегрирования. Если известны два линейно независимых частных решения рассматриваемого дифференциального уравнения y1(x) и y2(x), то структура общего решения такого уравнения представима в виде
y(x)=C1 y1(x)+C2 y2 (x),
где C1 и C2 – постоянные интегрирования.
Определение 16
Если b(x)=0, то дифференциальное уравнение (1) называется однородным. В противоположном случае данное уравнение называется неоднородным. Определение 17
Если a0(x)=const0, a1(x)=const1, a2(x)=const2 и b(x)=constb, то дифференциальное уравнение (11.1) называется уравнением с постоянными коэффициентами. Определение 18
Функции y1(x), y2(x), … называются линейно зависимыми на отрезке x [a,b], если существуют такие постоянные величины α1, α2, … (хотя бы одна из них не равна нулю), что на данном отрезке выполняется соотношение
α1 y1 (x)+α2 y2 (x)+…≡0.
23
Если данное тождество выполняется только при α1≡α2≡…≡0, то функции y1(x), y2(x), … называются линейно независимыми на отрезке x [a,b].
Метод Эйлера
Метод Эйлера применяется для решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
a |
|
d 2 y (x) |
+ a |
d y (x) |
+ a |
|
y (x)= 0 . |
|
|
d x2 |
|
d x |
|
||||
|
2 |
1 |
|
0 |
|
Подстановка y(x)=eλx преобразует рассмотренное дифференциальное уравнение в алгебраическое
a2 λ2eλx+a1 λeλx+a0 eλx=0,
называемое “характеристическим”. Далее сокращаем каждый из членов уравнения на ненулевой множитель eλx. Тогда параметр λ определяется корнями следующего квадратичного полинома
a2 λ2+a1 λ+a0 =0.
Искомые корни определяются с помощью стандартного соотношения
λ |
= − a1 ± |
1 |
a2 |
−4a a |
2 |
. |
1,2 |
2a2 |
2a2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В окончательной форме искомое решение рассматриваемого уравнения имеет следующий вид
y (x)=C1eλ 1 x +C2 eλ 2 x .
Если параметры λ получаются комплексными, то в зависимости от значения корней представляет интерес тригонометрическая или смешанная (экспоненци- ально-тригонометрическая) форма решения дифференциального уравнения (с применением формул Эйлера).
Пример 24 Решим уравнение
d 2 y |
+ 4 |
d y |
+5 y = 0 . |
|
d x2 |
d x |
|||
|
|
Подстановка y(x)=eλx позволяет получить следующее характеристическое уравнение
λ2+4λ+5=0.
Его корни равны следующим величинам: λ1,2=-2±j, j = −1 . Тогда искомое решение рассматриваемого уравнения имеет следующий вид
24
y(x)=e-2x[C1ejx+C2 e–jx].
После незначительных преобразований с использованием формул Эйлера получаем
~ |
~ |
sin (x)]. |
|
y (x)= e−2 x [C |
cos (x)+C |
2 |
|
1 |
|
|
Пример 25 Решим уравнение
d 2 y |
−3 |
d y |
+ 2 y = 0 . |
|
d x2 |
d x |
|||
|
|
Подстановка y(x)=eλx позволяет получить характеристическое уравнение
λ2-3λ+2=0.
Его корни равны: λ1=1 и λ2=2. Тогда искомое решение данного уравнения имеет следующий вид
y(x)=C1ex+C2 e2x.
Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные (в случае дифференциального уравнения второго порядка возможно два кратных корня), то решение необходимо искать в другом виде, т.е.
y(x)=(C1+C2x)eλx.
Пример 26 Решим уравнение
d 2 y |
−2 |
d y |
+ 2 y = 0 . |
|
d x2 |
d x |
|||
|
|
Подстановка y(x)=eλx позволяет получить следующее характеристическое уравнение
λ2-4λ+4=0.
Его корни равны следующим величинам: λ1=λ2=2. Тогда искомое решение рассматриваемого уравнения имеет вид
y(x)=(C1+C2x)e2x.
Формула Лиувилля
Пусть y1(x) и y2(x) – два линейно независимых решения однородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Если одно из них (например, y1(x)) известно, то второе может быть определено с помощью формулы Лиувилля
25
y2 = C1 y1(x)∫ y21(x)exp(− ∫a1(x)d x)d x ,
1
где C - произвольная постоянная. Частное решение соответствующего неоднородного уравнения определяется с помощью следующего соотношения
y |
s |
= |
y2 |
(x) |
∫b (x)y |
(x)exp[∫a (x)d x]d x − |
y1 |
(x) |
∫b (x)y |
2 |
(x)exp[∫a (x)d x]d x +C |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
C1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Рассматриваемое уравнение имеет следующий вид
a |
|
d 2 y (x) |
+ a |
d y (x) |
+ a y (x)= b . |
|
|
d x2 |
|
d x |
|||
|
2 |
1 |
0 |
Общее решение данного уравнения представимо в форме y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+ys(x),
где ys(x) - частное решение дифференциального уравнения, остальная часть - общее решение соответствующего однородного уравнения. Иногда удаётся подобрать частное решение. Например, у уравнения
d 2 y (x)+ y (x)= x d x2
частным решением является функция ys(x)=x. Часто частные решения определяют для некоторых специальных зависимостей b(x). Пусть функция b(x) = Qk(x)emx, где Qk(x) – многочлен степени k. Тогда частное решение ищется в виде: ys(x) = Rk(x)emx (если m не является корнем характеристического уравнения) или ys(x)=xq-1 Rk(x)emx (если m является q-кратным корнем характеристического уравнения), где Rk(x) - полином с неопределёнными пока коэффициентами. Пусть функция b(x)=Qk(x)emxsin(ω x) или b(x)=Qk(x)emxcos(ω x), где Qk(x) - многочлен степени k. Тогда частное решение определяется в виде: ys(x)=emx[Rk(x)cos (ωx) +
Sk(x)sin(ω x)] (если m не является корнем характеристического уравнения) или
ys(x)=xq-1emx[Rk(x) cos(ω x)+Sk(x)sin(ω x)] (если m является q-кратным корнем характеристического уравнения), где Rk(x) и Sk(x) - полиномы с неопределёнными
пока коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных для линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
Если общее решение однородного уравнения найдено, а нахождение частного решения неоднородного уравнения затруднено, то можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных. Данный метод заключается в том, чтобы в общем решении однородного уравнения
26
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
объявить произвольные постоянные объявить функциями независимой переменной, т.е.
y(x)=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x)
и подобрать их таким образом, чтобы получившееся решение удовлетворяло бы неоднородному уравнению. Для этого необходимо сформулировать два дополнительных условия, которые могут быть представлены в следующей форме
d C1 |
(x)y (x)+ d C2 (x)y |
2 |
(x) |
= 0 |
|
||||||||
|
d x |
1 |
|
|
d x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
d C |
(x)d y |
(x) |
+ |
d C |
2 |
(x)d y |
2 |
(x) |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= b (x) |
|||
|
d x |
d x |
|
d x |
|
d x |
|
||||||
|
|
|
|
Пример 27
Рассмотрим колебание тела массы m на пружине жёсткости k. Потери энергии учитывать не будем. Зависимость координаты тела от времени описываются вторым законом Ньютона
m d 2 x (t) |
+ k x (t)= 0 d 2 x (t) |
+ |
k |
x (t)= 0 . |
|
m |
|||||
d t2 |
d t2 |
|
|
Общее решение данного уравнения описывается следующим соотношением
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
x (t)= C1 cos |
m |
t |
+C2 sin |
m |
t . |
|
|
|
|
Такие колебания тела называются собственными. Далее рассмотрим вынужденные колебания тела, т.е. при воздействии внешней силы. Тогда второй закон Ньютона записывается в следующей форме
d 2 x (t) |
+ |
k |
x (t)= f (t). |
|
d t2 |
m |
|||
|
|
Для нахождения зависимости координаты колеблющегося тела от времени проварьируем произвольные постоянные. Тогда
d C (t ) |
|
|
k |
|
|
d C |
2 |
(t ) |
|
k |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
cos |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
||
d t |
|
m |
t |
|
d t |
|
sin |
m |
t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k d C |
(t ) |
|
|
k |
|
|
|
k d C |
|
(t ) |
|
|
k |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
m d t |
sin |
m |
t |
m d t |
|
|
cos |
m |
t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем данную систему к следующему виду
.
f (t )
27
d C |
|
(t) |
|
m |
|
k |
|
|
||
|
1 |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
d t |
k |
f (t)sin |
m |
t |
||||||
|
|
|
|
|||||||
d C |
2 |
(t) |
|
m |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
d t |
k |
f (t)cos |
m |
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
Интегрирование данной системы позволяет получить следующий результат
|
m |
|
k |
|
|
~ |
||
C1 (t)= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
∫ f (t)sin |
m |
t d t +C1 |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
m |
|
|
k |
|
|
~ |
|
|
|
|
||||||
C2 (t)= |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
k |
|
f (t)cos |
m |
t d t +C2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Закон изменения координаты колеблющегося тела под действием внешней силы в окончательном виде определяется следующим соотношением
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
k |
|
|
|
~ |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x (t)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k |
∫ f (t)sin |
|
m |
d t +C1 cos |
|
|
m |
t |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
k |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
∫ f (t)cos |
m |
d t +C2 sin |
|
|
m |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
~ |
|
~ |
- постоянные интегрирования. В качестве частного случая внешней |
||||||||||||||||||||||||||
где C1 |
и C2 |
||||||||||||||||||||||||||||
силы рассмотрим гармоническое воздействие f(t)=Acos(ωt). Тогда |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
m |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||
|
|
x (t)= C1 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
k |
|
∫cos (ω t)sin |
|
m |
d t cos |
m |
t |
+sin |
m |
t |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m |
|
|
|
|
k |
|
~ |
|
|
|
|
|
A m k |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
× A |
k ∫cos (ωt)cos |
|
|
|
|
+C2 |
|
= C1 + 2 ( k m − |
ω)cos |
|
m |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
m t d t |
|
|
−ω t |
+ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A m k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 ( |
|
|
k m +ω) |
cos |
|
m |
ω t sin |
|
|
m |
t . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из данного соотношения следует, что с уменьшением разницы между частотой внешнего воздействия ω и собственной частотой колебаний km неограни-
ченно увеличивается амплитуда колебаний тела. Такое явление называется “резонанс”.
28