Определенный интеграл

5. Если m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f(x) на

b

[a, b], то m (b a) f (x)dx M (b a).

a

6. Если f(x) непрерывна на [a, b], а φ(х) интегрируемы на данном сегмен-

те, причем φ(х) неотрицательна (неположительна) на этом сегменте, то суще-

b b

ствует по крайней мере одна точка ξ на [a, b], что f (x) (х)dx f ( ) (x)dx.

a a

Данное утверждение обычно называют теоремой о среднем значении.

b

Следствие. Если (х) с const 0, то f (x)dx f ( ) (b a), ξ – некоторая

				a
точка [a, b].
2
Пример 1. Оценить интеграл			1 cos2 xdx .
4

	Функция	y cosx	на						является монотонно убывающей от	2	до 0.
						,
					4		2			2

Поэтому для f (x)		m=1, M=	3		6	,	b-a=						. Тогда
	1 cos2 x
		2			2		2		4		4

							2									6						,	то	есть	имеют	место
	1									1 cos2 xdx
	4														2 4
								4
					2
															6				.
									1 cos2 xdx
	4
															8
						4

18 cos2 x

Пример 2. Оценить dx.

12 1 x8

Здесь cos2 x 1, тогда при х≥10 выполняется неравенство

сюда	18	cos	2	x		(18 12) 10 8 10 7 .
					dx
		1 x		8
	12

неравенства:

cos2 x 10 8 , от- 1 x8

11

§4. Формула Нютона-Лейбница

Краткие теоретические сведения Пусть y=f(x) интегрируема на сегменте [a, b].

х

Рассмотрим интеграл f (t)dt,a x b. Каждому значению х из [a, b] соот-

a

х

ветствует число f (t)dt , поэтому введенный интеграл с переменным верхним

a

пределом есть некоторая функция верхнего предела. Обозначим эту функцию

х

символом Ф(х) f (t)dt.

a

Имеют место следующие утверждения:

1. Если f(t) непрерывна на [a, b], то Ф(х) имеет производную Ф (х)

		d	х
дой точке [a, b]:			f (t)dt f (x), то есть производная интеграла
	Ф (х)	dx
			a

в каж-

х

f (t)dt

a

по его верхнему пределу на [a, b] равна значению подынтегральной функции f(t) при t=х.

2. Пусть f(х) непрерывна на [a, b], тогда Ф(х) является первообразной для f(х) на [a, b].

3. Любая непрерывная на [a, b] функция f(х) имеет на нем первообразную.

Примером первообразной для f(х) является Ф(х).

4. Пусть f(х) непрерывна на [a, b], F(х) – какая-либо первообразная для

b

f(х) на [a, b], тогда справедлива формула: f (x)dx F(b) F(a) (формула Ньюто-

a

на-Лейбница). Эта формула сводит вычисление определенного интеграла к вы-

числению соответствующего неопределенного интеграла.

Приращение первообразной F(х), то есть F(b) F(a) часто обозначают символом F(b) F(a) F(x) ba .

12

		b
Таким образом		f (x)dx F(x)	ba . Иногда пользуются записью
		a
b
f (x)dx f (x)dx	ba .
a

b

Пример 1. Вычислить x3dx.

																							a
							b				x		4		b			1
	Имеем: x3dx																					(b4					a4 ).
											4							4
							a								a
																																												1
	Пример 2. Вычислить cos2xdx. Здесь cos2xdx																																												sin 2x
																																												2
																							3				dx
	Пример 3. Вычислить																															.
																											2
																							3 x				9
	3			dx			1			x			3				1											3						3
									arctg											arctg											arctg
				2
	3 x				9 3					3			3				3											3						3
		1		arctg1 arctg 1														1																1				2
																																											.
		3																3						4								4		3 4								6

1(sin2 sin 2 ). 2

Пример 4. Вычислить																		2				dx							.
																		0
																						x 1
																											2
2		dx				2							1			(x 1)							1
																							2										2
						(x 1)							2 dx														2			x 1			0	2( 2 1 0 1) 2( 3 1).
0		x 1				0													1
																		2									0
						4			4x		2		7
Пример 5.															dx . Вычислить данный интеграл.
						1					x
4	4x		2					4		4x		2		4									4							4	1 dx 4 х						2		4
				7dx										dx			7 dx 4 хdx 7																							7ln x				1	2(42 12 )
																																												4
1			x					1		x				1			x						1							1	x			2					1

7(ln4 ln1) 30 7ln4.

Пример 6. sin xcosxdx . Вычислить интеграл.

2

13

		1				1		1
sin xcosxdx				sin 2xdx					( cos2x)
		2				2	2
										2
2				2

1(cos2 cos ) 1(1 ( 1)) 1 .

4

4

2

				2						dx
Пример 7.														. Вычислить интеграл.
										2
								sin					x
				4
	2		dx															) (0 1) 1.
					ctgx					2		(ctgx				ctg
			2
			sin	x									2			4
										4
	4

Задачи для практического занятия Вычислить определенные интегралы с помощью формулы Ньютона-

Лейбница:

					1																											1
			4				4t				0				4							4			x 1					5							dx						2	3x3 x			2 1
	1.			e						dt ; 2.	(3x	2)					dx			;		3.				dx;				4.												; 5.								dx;	6.
																																													x	2
																																				1 9x				2
			0								1											3			x 1					0													1
												4																																8
							x		)dx ;		7.						dx							;	8.		4									2			)dx ;				9.			dx			;		10.
(cos2x sin																											(tgx
							2							2																						2
0												2	x			4x 4											0						cos					x						4	x		4
16														0		2		x			4	x									dx												3			e	x
																											4
(	x	3	x	4				x		1)dx;	11.												dx;		12.													; 13.					e x (1					)dx;			14.
																			x											1 cos2x
1														1					6								0																0			2

1			1				6	)dx; 15.	0		dx; 16.	0
(									3			3 8x
										8x 7
							5
		2		x
1							x		1			1

4

	x					1
2		2			2
19.		1		dx; 20.	(2 x)(2 x)dx; 21.
		2	)
1	x(1 x				0

						2			2	x						4
	7dx ; 17.							1 cos			dx ;		18.			(x 3)2
																								xdx;
								2
									sin x							1
						4
				1 cos2x						1					1				1
	2				dx;				22.													)dx;		23.
										(5 x3
															4			3
	0			cosx						1					x					x

1	x		x		5		3 2sin5x							5				3					4			7	dx	8			dx
(3		2		)dx ; 24.							dx; 25.														dx; 26.			; 27.				;
								2															2x 1				(x 2)(x 3)		x	2	36
0					0									4			x 3									4		7
															1
		0						1		dx				3					dx
28.		x(2x 1)2 dx; 29.											; 30.									.
																	3
										2
		2						0		x 8				0					3x 9

14

§5. Интегрирование по частям

Краткие теоретические сведения Формула интегрирования по частям для определенного интеграла анало-

b b

гична таковой для неопределенного интеграла, а именно: udv uvba vdu, где

a a

u(x), v(x) – имеют непрерывные производные на [a, b].

Пример 1. Вычислить xsin xdx.

0

Имеем:

	u x			du dx
xsin xdx
	dv sin xdx	v		sin xdx cosx
0

cos 0 cos0 sin sin0 .

xcosx		0	cosxdx xcosx		0	sin x		0
			0

1

Пример 2. Вычислить xe2xdx .

0

Имеем:

	1					u x										du dx													1						1		1			1			1		1			1
	xe2xdx					dv e			2x	dx v e							2x	dx				1	e		2x						xe2x								e2xdx		xe2x					e2x
																													2						0	2				2			0	4				0
	0																					2																	0
	1		(1 e	2	0 e		0			1		(e	2	e	0			1		e	2		1			e	2		1				e2 1
								)								)																						.
										4								2					4						4				4
	2

e

Пример 3. Вычислить x2 ln xdx.

1

Имеем:

e							u ln x						du			dx										1										1 e					dx		1						1
		2															x														3			e					2						3			e			3		e
x				ln xdx																	x	3								x		ln x					x							x		ln x		1		x			1
							dv x	2	dx		v		x	2	dx											3								1		3					x		3						9
1																																					1
																					3
	1				3	3				1		3	3			1					3		1					3				1		2e3 1
				(e		lne 1 ln1)					(e		1 )						e							e												.
	3									9						3							9									9			9

1

Пример 4. Вычислить x3arctgxdx .

0

15

1										u arctgx						du			dx																						1			x	4	dx2
x3arctgxdx																		1 x				2				4		1 x4arctgx										0		1
																																						1
																								x
0										dv x			3	dx	v x		3		dx									4														4	0	1 x
																							4
1						4		1	1			1	2		1	1			dx									1			4									4
				x			arctgx					( x		dx dx																				arctg1 0							arctg0)
								0																)						(1
																	1 x				2
4									4			0			0	0												4
	1		(		1		0 1 0 arctg1 arctg0)																			1						1					1		.
4				3															16							12					4			16		6

2

Пример 5. Вычислить x2 cos x dx.

2

Имеем:

2

x

u x

2

du 2xdx

x

2

2

x

x2 cos

dx

dv cos

x

dx

v cos

x

dx 2sin

x

2x2sin

2sin

2xdx

2

2

2

2

2

2

x

2

2

x

u x

du dx

2x2 sin

4 xsin

dx

dv

sin

x

dx

v sin

x

dx 2cos

x

2

2

2

2

2

x

2

x

2

2

x

x

2

x

2

x

2

2x2 sin

4( 2xcos

2cos

2xdx) 2x2sin

8xcos

16sin

2

2

2

2

2

2

2(4 2 sin 2 sin

) 8(2 cos cos

) 16(sin sin

) 2 2

16 16

2

2

2

2( 2 8 8).

Пример 6. Вычислить ex cosxdx .

0

u

e

x

du e

x

dx

ex cosxdx

ex sin x

ex sin xdx

0

dv cosdx

v cosdx sin x

0

0

u e

x

du e

x

dx

ex sin x

ex cosx

ex cosxdx.

dv sin xdx

v sin xdx cosx

0

0

0

16

	Следовательно,							2 ex cosxdx ex sin x			ex cosx				откуда
										0		0 ,
									0
			1(ex sin x 0			ex cosx	0 ) 1		(e sin e0 sin0 e		cos e0	cos0) 1e 1
ex cosxdx
0			2				2					2		2
	e 1	.
	2

Задачи для практического занятия Вычислить методом интегрирования по частям следующие интегралы:

		2													2	ln x					2
			1. xcosxdx;					2. x3 sin xdx; 3.									dx; 4.					(3x 2)ln xdx ;				5. ex sin 2xdx; 6.
																5
		0						0							1 x						1					0
1																		0					1						2
				2					3
xe4xdx; 7.					(x 2)sin 4xdx; 8.					x2 sin3xdx; 9.								x2e xdx; 10.					ln4xdx; 11.						xln(x 1)dx ;
0																		1					1						1
					4					6														4
		1						2													2						3
12.			x5arctgxdx; 13.					x2x dx;	14.				x2 cos2xdx; 15.								e2x cos2xdx ; 16.					x7arcctgxdx; 17.
		0						0													0					1
												2
4							3					2
																		2
		x	ln2xdx; 18.				(2x 1)3x dx;		19.				4x sin xdx;					20. ( 3x 1)cos(2x )dx, const 0.
1							0					0						0

17

§6. Замена переменной в определенном интеграле

Краткие теоретические сведения

Пусть f(x) – непрерывная на [a, b] функция.

Введем замену переменной х=φ(t), где φ(t) удовлетворяет следующим

условиям:

1.φ(t)=а и φ(t)=b имеют решения (обозначим их соответственно t1 и t2), то есть φ(t1)=а и φ(t2)=b;

2.φ(t) на [t1, t2] имеет непрерывную производную φ’(t);

3.сложная функция f(φ(t)) определена на [t1, t2]. Тогда справедливо ра-

b t2

венство: f (x)dx f ( (t)) '(t)dt .

a t1

Данное равенство называют формулой замены переменной в определен-

ном интеграле.

Вместо замены х=φ(t) часто пользуются заменой t=ψ(x), тогда новые пре-

делы интегрирования: t1=ψ(a), t2=ψ(b).

Необходимо, чтобы функция t=ψ(x) имела обратную х=φ(t) на [t1, t2], удо-

влетворяющую всем условиям 1-3.

При интегрировании четных и нечетных функций следует иметь в виду,

что:

aa

1.f (x)dx 2 f (x)dx (f(x) – четная);

a 0

a

2. f (x)dx 0 (f(x) – нечетная).

a

R

Пример 1. Вычислить R2 x2 dx (R>0).

0

Произведем замену: x=Rsint. Здесь а=0, b=R. В качестве t1 возьмем корень уравнения Rsint=0, равный нулю; а в качестве t2 – корень уравнения Rsint= R,

равный		, то есть t1 =0, t2 =		.
			2
2

18

Далее, φ’(t)=Rcost, φ’(t) непрерывна на

принадлежат 0,R при изменении t на 0,		.
2

				. Все значения функции φ(t)
	0,
		2

		Условия								замены							переменной				1-3				выполнены,								поэтому
R							2												2			2		1 cos2t			1					1
																														2						2
	R2 x2			dx					R2 R2 sin2 t				Rcostdt R2 cos2 tdt R2													dt R2 (		t					sin 2t
0			0														0				0		2		2				0		4				0
R2 (			0		1	sin				1	sin0)	1		R2.
	4		4						4			4
																	dx
												2
		Пример 2. Вычислить																.
																	2 cosx
												0

							Проведем															универсальную																				тригонометрическую																подстановку:
															t tg						x			dx						2dt
																																	2
																	2											1 t
2				dx																										1 t2					1				1								2dt			1					dt			1		dt
													x 2arctgt										cosx																												2							2
																														1 t				2						1 t				2			1 t		2					2 2t	2	1 t	2		t	2	3
		2 cosx
0																																			0		2													0								0
																																												2
												t1 tg0 0											t2			tg						1								1 t
																														4
														1
		2				arctg				t							2			(arctg					1			arctg0)									2			(			0)										.
		3								3				0			3								3												3		6									3		3

1

Пример 3. Вычислить arcsin xdx.

0

В данном примере сначала применим метод интегрирования по частям,

затем метод замены переменной.

1	u arcsin x					du			dx					1				xdx
Итак, arcsin xdx								1 x2						xarcsin x	10								.
																		2
0	dv dx					v dx x								0			1 x
Вычислим отдельно		1		xdx			1 x2 t							t1 1 02 1					1	0	dt
		0					2xdx dt							t2 1 12 0						1
			1 x2				xdx			1	dt						2							t
							2

19

					1		1						1					1
				1								1 t			2							1
					t 2dt													t				0	1 0 1.
														1
			2		0							2
													2					0
																1																							10									2
Следовательно, arcsin xdx xarcsin x																																									1 1 arcsin1 0 arcsin0 1						1		.
																0																													2		2
																								2
Пример 4. Вычислить cosx esin xdx.
																								0
																		sin x t											t1 sin0 0												1
	2																																												1
	esin x					cosxdx																																			etdt et				0 e 1.
															cosxdx dt														t2 sin								1
0																																									0
																											2
																								e2					dx
Пример 5. Вычислить																															.
																									e			xln x
e2				dx						ln x t									t1 lne 1																		2			dt				2
										dx		dt						t2 lne						2			2lne 2															ln	t	ln2 ln1 ln2.
	e		xln x							x																											1				t			1

1 arctg3x

Пример 6. Вычислить dx .

0 1 x2

1						3								arctgx t							t1 arctg0 0																																		4
																																	4								1												1								1
			arctg x					dx						dx					dt		t2 arctg1												t3dt											t4				4						(				0)						4 .
			2																																																					4
			1 x																																			4												4					4					1024
0														1 x			2														4		0															0
																					2		tgx
Пример 7. Вычислить																													dx.
																							2			x
																					0		cos
														tgx t							t1 tg0 0
	2				tgx																													3											3
							dx							dx				dt		t			tg								tdt								1	t2											1	((				3)2 02 )						3	.
																													3
			2
			cos			x															2																	2					0							2										2
0													cos		2	x										3						0
Пример 8. Вычислить																					1		dx					.
																					0
																						1				x
1					dx				x t2										t1 0			1		2tdt					1		(t 1) 1																1			1						dt
									dx 2tdt										t2	1				1 t					2				1 t					dt 2(									tdt								1 t				)
		1				x
0																						0							0																		0			0									.
2(t					1 lnt 1								1	2(1 0 ln2 ln1) 2(1 ln2).
					0								0

20