матанал / Chast_3
.pdfДокажем, что
I |
P dx = ZZ |
@z dzdx |
@y dxdy: |
(23) |
|
|
@P |
@P |
|
Сначала преобразуем криволинейный интеграл второго рода по контуру L в левой части (23). Пусть контур L задан параметрическими уравне-
ниями
u = u(t); v = v(t); t 2 T = [t1; t2]:
Тогда параметрические уравнения, задающие контур L; имеют вид
x = x(u(t); v(t)); y = y(u(t); v(t)); z = z(u(t); v(t)); |
t 2 T: |
В соответствии с формулами для вычисления криволинейного интеграла второго рода имеем
|
t2 |
|
|
|
|
I P dx = |
|
(t) + |
@v v0 |
||
Z P @uu0 |
(t) dt = |
||||
|
|
@x |
|
@x |
|
Lt1
= I P x(u; v); y(u; v); z(u; v) |
|
@udu + |
@v dv : |
||||
|
|
|
|
@x |
@x |
||
L |
|
|
|
|
|
К интегралу в правой части этого равенства применим формулу Грина:
I P @udu + P @v dv = ZZ |
@u P |
@v |
|
@v P |
@u |
dudv = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
@x |
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
@x |
|
@ |
|
|
@x |
|
|||||||||
L |
= ZZ |
@x @u + |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
@y @u |
+ @z @u |
|
|
@v |
+ P @u@v dudv |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@P @x |
|
@P @y |
|
@P @z |
|
@x |
|
|
|
@2x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
@x @v + |
@y @v |
+ @z @v |
|
|
|
+ P @v@u dudv = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
ZZ |
|
|
|
|
@u |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@P @x |
@P @y |
@P @z |
|
@x |
|
|
|
@2x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ZZD |
|
|
|
@v @u dudv ZZD |
|
|
|
|
|
|
|
|
@v @u dudv = |
||||||||||||||||||||||
|
@z |
@u @v |
|
|
@y @u @v |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
@P |
@z @x |
|
|
|
@z @x |
|
|
|
|
|
|
|
@P |
|
|
@x @y |
|
|
@x @y |
= ZZD |
@z B |
@y C dudv = ZZ |
@z dzdx |
@y dxdy: |
|
@P |
@P |
@P |
@P |
21
Аналогично доказываются равенства
I |
Qdy = ZZ |
@x dxdy |
@z dydz; |
|
|
@Q |
@Q |
I |
Rdx = ZZ |
@y dydz |
@x dzdx: |
|
|
@R |
@R |
Скадывая доказанные равенства, получим равенство (22).
Формула Стокса справедлива в случае, когда контур L является ку-
сочно гладким.
Отметим, что если поверхность является плоской областью и лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости xOy; то формула
Стокса переходит в формулу Грина. Доказательство формулы Стокса для поверхностей, ограниченных несколькими контурами, аналогично доказательству формулы Грина для многосвязных областей.
2.7Формула Остроградского - Гаусса
Формула Остроградского - Гаусса устанавливает связь между поверх-
ностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом. Предварительно напомним понятие области в прстранстве R3; ïðà-
вильной в направлении оси, и простой области.
Область является правильной в направлении оси Oz; если она ограничена двумя поверхностями 1 è 2 âèäà z = '1(x; y) è z = '2(x; y); где функции '1(x; y) è '2(x; y) определены в замкнутой области Dxy è удовлетворяют неравенству '1(x; y) '2(x; y); (x; y) 2 Dxy; а также цилиндрической поверхностью 3 с образующей, параллельной оси Oz: Положительная ориентация границы такой области будет означать выбор внешней стороны поверхности (т. е. соответствующей внешней нормали).
Аналогично определяются области, правильные относительно осей
Ox è Oy:
Область будем называть простой, если ее можно разбить на конеч- ное число частичных областей, правильных относительно оси Ox и не
имеющих общих внутренних точек. И то же самое можно сделать относительно двух других осей координат. Положительная ориентация границы простой области будет означать выбор внешней стороны поверхности.
22
Пусть V - простая замкнутая область, граница которой положительно ориентирована. Если функции P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z) непрерывно дифференцируемы в области G; содержащей V; то справедлива
формула Остроградского - Гаусса
ZZ
P (x; y; z)dydz + Q(x; y; z)dzdx + R(x; y; z)dxdy =
= ZZZV |
|
@y |
+ @z |
|
(24) |
|
|
@x + |
dxdydz: |
||||
|
|
@P |
@Q |
@R |
|
Формула Остроградского - Гаусса распадается на три самостоятельных равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям P; Q
и R: Эти равенства доказываются схожим образом. Докажем одно из них, например, равенство
ZZ |
R(x; y; z)dxdy = ZZZV |
@z dxdydz: |
|
|
@R |
Докажем это равенство сначала для замкнутой области V; являющейся правильной в направлении оси Oz: По правилу вычисления тройного интеграла имеем
ZZZV |
@z dxdydz = DZZ |
dxdy |
'2(x;y) |
@z dz = |
||
Z |
||||||
|
@R |
|
|
@R |
||
|
|
xy |
'1(x;y) |
|
|
|
= ZZ R(x; y; '2(x; y))dxdy ZZ R(x; y; '1(x; y))dxdy = |
||||||
Dxy |
|
|
Dxy |
|
|
|
= ZZ Rdxdy + ZZ Rdxdy + ZZ Rdxdy = ZZ Rdxdy: |
||||||
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
Мы учли, что для поверхности 2 нужно брать верхнюю сторону, а для поверхности 1 - нижнюю. К этим интегралам добавили равный нулю поверхностный интеграл по внешней стороне боковой цилиндрической поверхности 3 с образующей, параллельной оси Oz:
23
Далее, простую область V разобьем на частичные, правильные в направлении оси Oz области Vk; k = 1; : : : ; m; ограниченные кусочно гладкими поверхностями k: В силу доказанного имеем
ZZ R(x; y; z)dxdy = ZZZ |
@z dxdydz; k = 1; : : : ; m: |
|||||||
|
|
|
@R |
|
|
|||
|
k |
Vk |
|
|
|
|
|
|
Просуммировав эти равенства, получим |
|
|
||||||
m |
m |
ZZZ |
|
@z dxdydz = ZZZ |
@z dxdydz: |
|||
k=1 ZZ |
R(x; y; z)dxdy = k=1 |
|
||||||
X k |
X Vk |
|
@R |
@R |
||||
|
|
|
V |
|
|
Сумма в левой части равенства равна интегралу по поверхности ; так как по частям границ k частичных областей Vk; не входящим в поверхность ; интегрирование проводится дважды с выбором противополож-
ных сторон поверхности, а такие интегралы взаимно уничтожаются. Таким образом формула Остроградского - Гаусса полностью доказа-
íà.
Формулу Остроградского - Гаусса можно также записать в виде
ZZ |
(P cos +Q cos +R cos )dS == ZZZV |
@x + |
@y |
+ @z dxdydz; (25) |
|
|
|
|
@P |
@Q |
@R |
где cos ; cos ; cos - направляющие косинусы единичного вектора нормали к поверхности :
3Ряды Фурье
3.1Тригонометрический ряд и ряд Фурье.
Определение 3.1. Функциональный ряд
|
1 |
|
|
a0 |
X |
|
|
2 |
+ |
an cos nx + bn sin nx ; |
(26) |
n=1
ãäå a0; a1; b1; : : : ; an; bn; : : : - вещественные числа, называется тригонометрическим рядом, а эти числа - его коэффициентами.
24
В отличие от степенного ряда, в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1; x; x2; : : : ; xn; : : : взяты тригонометрические функ-
öèè
1=2; cos x; sin x; cos 2x; sin 2x; : : : ; cos nx; sin nx; : : : : |
(27) |
Система функций (27) называется тригонометрической системой. Обратим внимание, что наименьший общий период все функций си-
стемы равен 2 : Поэтому любая частная сумма ряда (26) является периодической функцией с периодом 2 : Отсюда следует, что если ряд (26) сходится на отрезке [ ; ]; то он сходится на всей числовой прямой и его сумма является 2 -периодической функцией. Поэтому тригономет-
рические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы в природе и технике.
Определение 3.2. Две функции f и g; интегрируемые на отрезке [a; b]; называют взаимно ортогональными, если
b
Z
f(x)g(x)dx = 0:
a
Теорема 3.1.1. (об ортогональности тригонометрической системы). Любые две функции тригонометрической системы (27) взаимно ортогональны на отрезке [ ; ]:
Доказательство. Действительно,
|
|
|
|
|
|
2k sin kx |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Z |
2 cos kxdx = |
= 0; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
2 sin kxdx = 2k cos kx |
= 0; |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos kx cos nxdx = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
Z |
(cos(k + n)x + cos(k n)x)dx = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k + n |
+ |
|
|
k |
|
n |
|
|
= 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
sin(k + n)x |
sin(k |
n)x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
ïðè k 6= n:
Аналогично,
Z
sin kx sin nxdx = 0
ïðè k 6= n; è
Z
sin kx cos nxdx = 0:
Отметим также, что
Z |
|
cos2 kx = 2 |
Z |
|
1 + cos 2kx dx = ; |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin2 kxdx = 2 |
|
|
|
1 cos 2kx dx = ; |
||||
Z |
Z |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Z
12 2dx = 2 :
Определение 3.3. Обозначим через R2 класс функций, которые зада- ны на всей числовой прямой, интегрируемы на каждом конечном отрезке числовой прямой и имеют период 2 :
Теорема 3.1.2. Пусть функция f 2 R2 : Тогда при любом a 2 R
a+2 2
ZZ
f(x)dx = f(x)dx:
a0
Доказательство. Имеем
a+2 |
0 |
2 |
|
a+2 |
||
Za |
f(x)dx = |
Za |
f(x)dx + Z0 |
f(x)dx + |
2Z |
f(x)dx: |
26
Сделаем в последнем интеграле замену, положив x = t + 2 ;
a+2 |
a |
0 |
|
|
2Z |
f(x)dx = |
Z0 |
f(t + 2 )dt = Za |
f(t)dt: |
Тогда
a+2 2
ZZ
f(x)dx = f(x)dx:
a0
Теорема 3.1.3. Если 2 -периодическая функция f разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
+ |
an cos nx + bn sin nx ; |
(28) |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то его коэффициенты вычисляются по формулам |
|
|||||||||||
a0 |
|
|
|
f(x)dx; |
|
|
|
(29) |
||||
= Z |
an = Z |
f(x) cos nxdx |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) sin nxdx; |
n = 1; 2; : : : |
(30) |
||||
|
bn = Z |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для доказательства первого равенства нужно почленно проинтегрировать ряд (28). Умножив обе части равенства (28) на cos nx ( от этого равномерная сходимость ряда не нарушится) и почленно
проинтегрировав, используя теорему об ортогональности тригонометри- ческой системы, получим равенство для коэффициентов an: Аналогично получаем равенство для коэффициентов bn:
Определение 3.4. Пусть функция f определена и интегрируема на
отрезке [ ; ]: Тогда числа a0; a1; b1; : : : ; an; bn; : : : ; найденные по формулам (29) и (30), называются коэффициентами Фурье, а ряд
1
a20 + X an cos nx + bn sin nx
n=1
с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции f:
27
Таким образом, любой интегрируемой на отрезке [ ; ] функции f можно поставить в соответствие ряд Фурье. Однако, это не означает, что
всякая такая функция является суммой этого ряда.
1
Åñëè ðÿä a20 + P an cos nx + bn sin nx есть ряд Фурье функции f; то
n=1
будем писать
1
f(x) a20 + X an cos nx + bn sin nx :
n=1
3.2 Интеграл Дирихле.
Лемма 3.2.1. Справедливо равенство
1 |
sin 2n+1 |
|
|
||||
|
|
+ cos + cos 2 + : : : + cos n = |
2 |
|
|
: |
(31) |
|
2 |
2 sin |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Доказательство. Положим S = 12 +cos +cos 2 +: : :+cos n и умножим обе части этого равенства на 2 sin 2 : Тогда
S 2 sin 2 = sin 2 + 2 sin 2 cos + 2 sin 2 cos 2 + : : : + 2 sin 2 cos n :
Поскольку 2 sin A cos B = sin(A + B) sin(BA); òî |
sin 2 |
|
||||||||||||||||||||
S 2 sin 2 |
= sin 2 |
+ |
sin 2 sin |
2 |
|
+ |
sin 2 |
+ : : : + |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
+ sin |
2 |
2 |
|
sin |
2 |
1 |
= sin |
2 |
|
: |
|
|||||||||
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому при 6= 2 k (k 2 Z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
|
2 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство, утверждаемое в лемме, верно и при = 2 k (k 2 Z); если понимать его в предельном смысле. Действительно,
lim |
|
1 |
+ cos + cos 2 + : : : + cos n |
= |
1 |
+ |
n |
= |
2n + 1 |
||
2 |
2 |
|
2 |
||||||||
!2 k |
|
|
28
è |
|
|
|
sin 2n+1 |
|
2n + 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
lim |
|
|
2 |
|
= |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
2 sin 2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
!2k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение 3.5. Фунцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2n+1 x |
|
||
Dn(x) = |
|
+ cos x + cos 2x + : : : + cos nx = |
2 |
(32) |
||||||||
2 |
2 sin x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
называют ядром Дирихле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
Z |
Dn(x)dx = 1: |
|
(33) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Пусть теперь функция f 2 R2 : Рассмотрим частную сумму ее ряда Фурье в фиксированной точке x
n
Sn(x) = a20 + X ak cos kx + bk sin kx :
k=1
Подставив вместо коэффициентов их выражения
a0 |
|
|
|
|
f(t)dt; ak = |
|
|
f(t) cos ktdt; |
||
= Z |
Z |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk |
|
|
|
|
|
f(t) sin ktdt; |
|
k = 1; 2; : : : ; |
|
|
= Z |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
получим
Sn(x) =
Z
= 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z |
|
|
|
n |
1 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t)dt + k=1 |
|
f(t) cos kt cos kx + sin kt sin kx dt = |
||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
1 |
|
|
sin 2n+1 (t |
x) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f(t) |
+ k=1 cos k(t x) dt = |
Z |
|
||||||||||||
|
|
|
f(t) |
|
|
dt: |
|||||||||
2 |
|
2 sin t 2x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Сделаем в интеграле замену t = x + u; |
|
|
(u - новая переменная). Тогда |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin 2n+1 u |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Sn(x) = |
|
|
|
|
|
du = |
|
|
||||||
|
|
|
|
Z |
f(x + u) |
2 sin u2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n+1 u |
|
0 |
|
|
2n+1 u |
|
||||||
= |
1 |
Z |
|
sin |
1 |
Z |
|
sin |
du = |
|||||||||
|
f(x + u) 2 sin u2 |
|
du + |
|
f(x + u) 2 sin u2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(сделаем замену переменных во втором интеграле u = y; затем переобозначим переменное y вновь на u)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2n+1 u |
|
||
= |
1 |
Z |
f(x + u) + f(x u) |
|
du = |
|||||||
|
|
|
2 sin u2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x + u) + f(x u) Dn(u)du: |
||||
|
= Z |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Таким образом, мы доказали так называемую теорему Дирихле.
(Дирихле). Пусть функция f 2 R2 : Тогда частная сумма ряда Фурье функции f может быть представлена в следующем
âèäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x + t) + f(x t) Dn(t)dt; |
x 2 R; |
(34) |
|||||
|
Sn(x) = Z |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
ãäå |
1 |
|
|
|
sin 2n+1 t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Dn(t) = |
|
|
+ cos t + cos 2t + : : : + cos nt = |
|
2 |
|
|
: |
|
|||
|
2 |
|
|
2 sin |
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Интеграл в равенстве (34) называют интегралом Дирихле.
3.3Теорема Римана-Лебега и принцип локализации Римана.
Приведем без доказательства следующую теорему.
30