- •17. Пространство Rm . Последовательности в Rm и их свойства.
- •19. Теорема о непрерывном образе линейно связного множества и ее следствия.
- •22. Т. Достаточное условие дифференцируемости.
- •25. Частные производные высшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Непрерывно дифференцируемые и k-непрерывно дифференцируемые функции. Дифференциалы первого и высших порядков.
- •26. Т. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •27. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •35. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, о дифференцировании и об интегрировании интеграла по параметру.
17. Пространство Rm . Последовательности в Rm и их свойства.
Пусть m ∈ N. Множество упорядоченных наборов (х1, …, хm), где xi ∈ R, i = 1,…,m называют пространством Rm.
Операции в Rm:
Сложение = (x1,…,xm) и = (y1,…,ym) = (x1 + y1,…,xm + ym)
Умножение на скаляр = (x1,…,xm) и ∈ R λ = (λx1,…, λxm)
Отношение равенства = - =
Скалярное произведение * = x1y1 + … + xmym
Евклидова норма =
Отображение множества N в множество Rm называют последовательностью и обозначают , где Последовательности соответствует m числовых последовательностей, которые называют координатными последовательностями.
Cв-ва последовательностей:
1. Последовательность является ограниченной, бесконечно малой или фундаментальной ⇔ все ее координатные последовательности i = 1,…, m являются ограниченными, бесконечно малыми или фундаментальными соответственно.
2.
3. Пусть . Тогда +
, ,
4. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
5. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к той же самой точке.
6. Критерий Коши. Последовательность сходится она фундаментальна.
7. Т.Больцано-Вейерштрасса. У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.
18. Вектор-функции векторного переменного. Предел и непрерывность функции в точке. Непрерывность функции на множестве. Равномерная непрерывность и теорема Кантора. Теорема о непрерывном образе компакта и ее следствия.
Отображение вида , где Х ⊂ Rm, m > 1, называют функцией многих переменных, а точнее скалярной функцией многих переменных. Отображение k, где Х ⊂ Rm, m > 1, k > 1 называют вектор-функцией векторного аргумента. Вектор-функцию векторного аргумента можно рассматривать как совокупнос ть k скалярных функций fi , I = 1,…,k, полагая, что , ∈ D( Функции fi , I = 1,…,k называют координатными функциями вектор-функции .
Предел по Коши. Пусть точка - предельная точка области определения функции k, ∈ Rk. Вектор называют пределом функции в точке , если
∀e > 0 ∃δ > 0 ∀ ∈ D( ) (0 < | − | < δ ⇒ | ( ) − | < e).
Предел по Гейне. Пусть точка - предельная точка области определения функции k, ∈ Rk. Вектор называют пределом функции в точке , если для любой последовательности удовлетворяющей условиям: 1) и 2) выполняется ( ) .
Определение предела по Коши равносильно определению предела по Гейне.
Непрерывность по Коши. Функция называется непрерывной в точке , если ∀e > 0 ∃δ > 0 ∀ ∈ D( ) (0 < | − | < δ ⇒ | ( ) − ( ) | < e).
Непрерывность по Гейне. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности удовлетворяющей условиям: 1) и 2) выполняется ( ) ( ).
Определение непрерывности по Коши равносильно определению непрерывности по Гейне.
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Т. о непрерывном образе компакта. Пусть функция непрерывна на множестве Х и множество Х – компакт. Тогда множество тоже компакт.
Следствия:
Т. первая теорема Вейерштрасса. Пусть функция непрерывна на множестве Х и множество Х – компакт. Тогда функция ограничена на Х.
Т. вторая теорема Вейерштрасса. Функция, непрерывная на мн-ве Х, которое является компактом. Тогда функция принимает наименьшее и наибольшее значение на Х.
Функция называется равномерно непрерывной на множестве Х, если
∀е > 0 ∃δ = δе > 0 ∀ ∈ X ∀ ’∈ X (| − ’| < δ ⇒ | ( ) − ( ’)| < e).
Т.Кантора. Пусть функция непрерывна на множестве Х и Х – компакт. Тогда функция равномерно непрерывна на Х.