Любомудров Выполнение арифметическикх оператсиы в позитсионныкх системакх 2014
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
А.А. Любомудров
ВЫПОЛНЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
ВПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ
СОСНОВАНИЕМ p
Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»
Москва 2014
УДК 511.11(07) ББК 22.130я7 Л 93
Любомудров А.А. Выполнение арифметических операций в позиционных системахсчисления с основанием p: Учебно-методическое пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2014. 24 с.
Cоставлено в соответствии с программой изучения дисциплины «Дискретная математика» и предназначено для подготовки студентов к практическому занятию по теме «Выполнение арифметических операций в системах счисления с основанием p». В пособии приводятся теоретические основы, примеры, а также предлагаются тесты для проверки знаний студентов по этой теме.
Предназначено для студентов направления «Информатика и вычислительная техника», а также может быть полезно для аспирантов и преподавателей данного направления.
Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент нач. НИУ-4 ОАО «Концерн «Системпром», канд. техн. наук С.В. Коротков.
ISBN 978-5-7262-2028-4
©Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2014
Содержание
1.Выполнениеоперацийсложения в позиционных системах счисления соснованием p ……………………………………4
2.Выполнениеоперацийвычитания впозиционных системах счисления соснованием p ……………………………………6
3.Выполнениеоперацийумножения впозиционных системах счисления соснованием p ……………………………………8
4.Выполнениеоперацийделения в позиционных системах счисления соснованиемp ………………………………….....11
5.Тесты ……………………………………………………….....14 Список литературы …………………………………………….. 22
3
1. Выполнение операций сложения впозиционных системах счисления соснованием p
Пусть имеется два числа Ар = а1а2 … аn и Bp = b1b2 … bn, заданных в позиционной системе счисления с основанием p, где ai и bi —
цифрыэтих чисел, i = 1, 2, … n, р = 2, 3, 4… .
Тогда результатом суммирования (суммой) чисел Ap и Bp будет
являться число Cp = c0c1 … cn, где цифры ci, i = 0, 1, …, n числа Cp формируются по следующему правилу.
Правило формированияцифры ci числа Cp = c0c1 … cn: 1) ci = ai + bi + Пi+1, ci-1 = ai-1 + bi-1,
если ai + bi + Пi+1< p;
2) ci = ai + bi + Пi+1 - p, ci-1 = ai-1 + bi-1 + 1,
еслиai + bi + Пi+1 ≥ p,
где Пi+1 – переносизразряда ci+1 вразряд ci.
Из записи правила суммирования следует, что суммирование чисел Ap и Bp в позиционной системе счисления с произвольной величиной основания p выполняется аналогично суммированию чисел в десятичной системе счисления. Суммирование начинается с младших разрядов. Процесссуммирования распространяется справаналево.
В качестве примеров рассмотрим суммирования чисел в позиционных системах счисления соснованиямиp = 2, 3, 5, 7, 16.
Пример 1.1. Пусть заданы числа A2 = 101001,102 и B2 = =110010,112 в позиционной системе счисления с основанием p = 2. Требуетсянайти сумму этих чисел.
Суммируя числа в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:
A2 = 101001,102
+
B2 = 110010,112
____________
C2 = 1011100,012
Ответ: С2 = 1011100,012.
4
Пример 1.2. Пусть заданы числа A3 = 1211,213 и B3 = 2012,113 в позиционной системе счисления с основанием p = 3. Требуется найти суммуэтих чисел.
Суммируя числа в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:
A3 = 1211,213
+
B3 = 2012,113
____________
C3 = 11001,023
Ответ: С3 = 11001,023.
Пример 1.3. Пусть заданы числа A5 = 1343,235 и B3 = 2421,345 в позиционной системе счисления с основанием p = 5. Требуется найти суммуэтих чисел.
Суммируячисла, получаем:
A5 = 1343,235
+
B5 = 2421,345
____________
C5 = 4320,125
Ответ: C5 = 4320,125.
Пример 1.4. Пусть нам заданы числа A7 = 5326,147 и B7 = =1463,237 в позиционной системе счисления с основанием p = 7. Требуетсянайтисуммуэтих чисел.
Суммируячисла, получаем:
A7 = 5326,147
+
B7 = 1463,237
____________
C7 = 10122,407
Ответ: C7 = 10122,407.
5
Пример 1.5. Пусть заданы числа A16 = 1ABC,E2 и B16 = 24F6,D1 в позиционнойсистеме счисления с основанием p = 16. Требуетсянайти
суммуэтих чисел.
Суммируячисла, получаем:
A16 = 1ABC,E216
+
B16 = 24F6,D116
____________
C16 = 3FB3,B316
Ответ: C16 = 3FB3,B316.
2. Выполнение операций вычитанияв позиционных системах счисления с основаниемp
Пусть имеются два числа Ар = а1а2 … аn и Bp = b1b2 … bn, заданных в позиционной системе счисления с основанием p, где ai и bi —
цифрыэтих чисел, i = 1, 2, … n.
Тогда результатом вычитания (разностью) чисел Ap и Bp будет
являться число Rp = r0r1 … rn, где цифры ri, i = 0, 1, …, n числа Rp формируются по следующему правилу.
Правило формирования цифры ri числа Rp = r0r1 … rn: 1) ri = ai – bi – zi, ri-1 = ai-1 – bi-1,
если ai – bi – zi ≥0;
2) ri = p + ai – bi – zi, ri-1 = ai-1 – bi-1 – 1, если ai – bi – zi < 0,
где zi — заем из разряда ai в разряд ai+1.
Согласно вышеизложенному правилу вычитание чисел Ap и Bp в позиционных системах счисления с произвольной величиной основания p выполняется аналогично вычитанию чисел в десятичной системе счисления. Вычитание начинается с младших разрядов. Процесс вычитания распространяется справа налево.
В качестве примеров рассмотрим вычитания чисел в позиционных системах счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.
6
Пример 2.1. Пусть заданы числа А2 = 1100101,012 и В2 = =111001,102 в позиционной системе счисления с основанием p = 2. ТребуетсянайтиразностьR2 этих чисел.
Выполняя вычитание в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:
А2 = 1100101,012
-
В2 = 111001,102 R2 = 101011,112
Ответ: R2 = 101011,112.
Пример 2.2. Пусть заданы числа А3=10220,223 и В3=2012,013 в позиционной системе счисления с основанием p = 3. Требуется найти разность R3 этих чисел.
Выполняя вычитание в соответствии с вышеизложенным правилом, получаем:
А3 = 10220,223
-
В3 = 2012,013 R3 = 1201,213
Ответ: R3 = 1201,213.
Пример 2.3. Пусть заданы числа А5 = 4320,125 и В5 =2421,345 в позиционной системе счисления с основанием p = 5. Требуется найти разность R5 этих чисел.
Выполняя вычитание, получаем:
А5 = 4320,125
-
В5 = 2421,345 R5 = 1343,235
Ответ: R5 = 1343,235.
Пример 2.4. Пусть заданы числа А7 = 10122,407 и В7 = 1463,237 в позиционной системе счисления с основанием p = 7. Требуется найти разность R7 этих чисел.
7
Выполняя вычитание, получаем:
А7 = 10122,407
-
В7 = 1463,237 R7 = 5326,147
Ответ: R7 = 5326,147.
Пример 2.5. Пусть заданы числа А16 = 3FC3,B316 и В16 = =24F6,D116 в позиционной системе счисления с основанием p = 16.
Требуется найти разность R16 этих чисел. Выполняя вычитание, получаем:
А16 = 3FC3, B316
-
В16 = 24F6, D116
R16 = 1ACC, E216
Ответ: R16= 1ACC,E216.
3. Выполнение операцийумноженияв позиционных системах счисления соснованиемp
Пусть имеются два целых положительных n-разрядных числа
Аp = a1a2 … an и Bp = b1b2 … bn, заданных в системе счисления с основанием p, где ai и bi – цифры этих чисел.
Требуется вычислить результат умножения (произведение) этих чисел.
Записывая число Bp в виде развёрнутой записи, получаем
Ap×Bp = Ap×(b1·pn-1 + b2·pn-2 + …+ bn-1·p + bn·p0) = |
|
= Ap·bn·p0 + Ap·bn-1·p1 +…+ Ap·b2·pn-2 + Ap·b1·pn-1 . |
(3.1) |
Запись (3.1) является записью алгоритма умножения двух чисел в позиционной системе счисления с основанием p с младших разрядов множителя. При p=10, т.е. в десятичной системе счисления, этот алгоритм наиболее широко применяется на практике при ручных расчётах.
8
При использовании алгоритма (3.1), умножение двух n- разрядных чисел в системе счисления с основанием p сводится к суммированию n слагаемых вида Ap·bi·pn-I, где i = n, n-1, … 2, 1. Таким образом, умножение двух n-рядных чисел в системе счисления с основанием p сводится к суммированию n слагаемых вида Ap·bi, каждое из которых сдвинуто влево относительно слагаемого Ap·bn·p0 на n-i разрядов.
В качестве примеров рассмотрим умножения чисел в системах счисления с основаниями p = 2, 3, 5, 7, 16.
Пример 3.1. Пусть нам заданы числа А2 = 1101,112 и В2 = 1012. Требуетсянайти произведениеэтих чисел.
Выполняяоперациюумножения, получаем:
1101,112
×
1012
110111
+
110111
1000100,112
Ответ: А2×В2= 1000100,112.
Пример 3.2. Пусть заданы числа А3 = 122,123 и В3 = 123. Требуется найтипроизведение этихчисел.
Выполняяоперациюумножения, получаем: 122,123
×
123
102201
+
12212
10020,213
Ответ: А3×В3= 10020,213.
9
Пример 3.3. Пусть заданы числа А5 =234,115 и В5 = 235. Требуется найтипроизведение этихчисел.
Выполняяоперациюумножения, получаем: 234,115
×
235
131233
+
102322
12100,035
Ответ: А5×В5= 12100,035.
Пример 3.4. Пусть заданы числа А7 = 634,127 и В7 = 347. Требуется найти произведениеэтих чисел.
Выполняяоперациюумножения, получаем: 634,127
×
347
350251
+
253536
32156,417
Ответ: А7×В7= 32156,417.
Пример 3.5. Пусть заданы числа А16 = A0F,1216 и В16 =FA16. Требуетсянайтипроизведение этих чисел.
Выполняяоперациюумножения, получаем:
A0F,1216
×
FA16
6496B4
+
96E20E
9D2B7,9416
Ответ: А16×В16= 9D2B7,9416.
10