Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
Е.В. Сумин, В.Б. Шерстюков, О.В. Шерстюкова
Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения
Учебно-методическое пособие
Москва 2016
УДК 517.968(07)+517.954(07) ББК 22.161.6я7 С89
Сумин Е.В., Шерстюков В.Б., Шерстюкова О.В. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения: Учебно-
методическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2016. – 96 с.
Настоящее издание является учебно-методическим пособием по курсу интегральных уравнений, читаемому студентам 2-го курса НИЯУ МИФИ. В пособии рассмотрены методы решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, краевой задачи Штурма–Лиувилля и разобраны типовые примеры. В конце пособия приведены задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.
Пособие будет полезно аспирантам и преподавателям при проведении практических занятий.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. НИЯУ МИФИ А.С. Леонов
ISBN 978-5-7262-2282-0 |
© Национальный исследовательский |
|
ядерный университет «МИФИ», 2016 |
Глава 1. Интегральные уравнения Фредгольма
§ 1. Уравнения Фредгольма. Основные понятия и определения
Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.
Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода на-
зывается уравнение вида
y(x) −λ∫b K (x, t) y(t) dt = f (x), |
(1.1) |
a |
|
где y(x) – искомая функция; K (x, t) и f (x) – известные функции, заданные на основном квадрате [a, b]×[a, b] и отрезке [a, b] соот-
ветственно; λ – числовой параметр. Функция K (x, t) называется
ядром интегрального уравнения, а f (x) – свободным членом этого
уравнения. Если |
f (x) 0, |
то уравнение (1.1) |
называется неодно- |
родным, если же |
f (x) ≡ 0, |
то данное уравнение называется одно- |
|
родным. |
|
|
|
Интегральное уравнение вида |
|
||
|
∫b K (x, t) y(t) dt = f (x), |
(1.2) |
|
|
a |
|
|
не содержащее искомой функции y(x) вне интеграла, называется
линейным интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода.
Линейные интегральные уравнения
z(x) −λ∫b K (t, x) z(t) dt = g(x), |
(1.3) |
a
3
∫b K (t, x) z(t) dt = g(x) |
(1.4) |
a |
|
называются союзными (сопряженными) к уравнениям Фредгольма
2-го рода (1.1) и 1-го рода (1.2) соответственно, если функции K (x, t) , f (x) , g(x) и параметр λ – вещественные.
Решением любого из интегральных уравнений (1.1)–(1.4) называется непрерывная на отрезке [a, b] функция, которая при подста-
новке ее в это уравнение обращает последнее в тождество.
§ 2. Метод последовательных приближений
Если в уравнении Фредгольма (1.1) числовой параметр λ удовлетворяет условию
|
|
|
1 |
|
b b |
|
||||
λ |
|
< |
, |
где B2 = ∫∫ |
|
K (x, t) |
|
2 dx dt, |
(2.1) |
|
|
|
|
||||||||
|
B |
|||||||||
|
|
|
|
a a |
|
то уравнение имеет единственное решение при любой непрерывной функции (свободном члене) f (x). В этом случае оно может
быть найдено методом последовательных приближений. Выбирая произвольным образом нулевое приближение y0 (x), можно по-
строить последовательность функций {yn (x)} с помощью рекуррентной формулы
yn (x) = f (x) + λ∫b K (x, t) yn−1 (t) dt. |
(2.2) |
a |
|
Функции yn (x) (n = 1, 2, …) рассматриваются как приближения к искомому решению уравнения. Данная последовательность {yn (x)} сходится равномерно на [a, b] к точному решению, т.е.
y(x) = lim yn (x).
n→∞
Пример 2.1. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение
y(x) = 1 ∫1 y(t) dt +sin πx. 2 0
4
Решение. Отметим, что в данном уравнении
|
λ = |
1 |
, |
|
|
K (x, t) =1. |
|||
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
B2 = ∫∫ |
|
K (x, t) |
|
dx dt = ∫∫dx dt =1, |
|||||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
и условие λ < B1 выполнено. В качестве нулевого приближения возьмем свободный член f (x) данного уравнения, т.е.
y0 (x) = f (x) =sin πx.
Строим последовательность функций {yn (x)} по рекуррентной формуле (2.2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y (x) |
= |
f (x) + |
|
|
|
K(x, t) y (t) dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= sin πx + |
1 |
∫1 sin πt dt = sin πx + |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
2 |
(x) |
= |
f (x) + |
|
|
K(x, t) y (t) dt |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
= sin πx + |
|
∫0 |
sin πt + |
|
|
|
dt = sin πx + |
|
|
|
+ |
|
|
, |
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
π |
2π |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y (x) |
= |
f (x) + |
|
|
|
K (x, t) y |
2 |
(t) dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||
= sin πx + |
|
∫0 |
sin πt + |
|
|
+ |
|
|
dt =sin πx + |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
, |
||||||||||||
2 |
π |
2π |
|
π |
|
2π |
4π |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn (x) = |
f (x) + |
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
K (x, t) yn−1 (t) dt = |
|
|
|
|
5
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
n−1 |
1 |
|
= sin πx + |
+ |
+ |
+... + |
|
|
= sin πx + |
∑ |
. |
||||||
π |
2π |
2 |
2 |
n−1 |
π |
|
k |
|||||||
|
|
|
2 π |
|
|
|
π k =0 |
2 |
|
Отсюда точное решение y(x) определяется как предел
|
|
1 |
n−1 |
1 |
|
2 |
|
||
y(x) = lim yn |
(x) = lim sin πx + |
|
∑ |
|
|
|
=sin πx + |
|
. |
|
2 |
k |
π |
||||||
n→∞ |
n→∞ |
π k =0 |
|
|
|
|
Пример 2.2. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение
y(x) = |
5 |
x + |
1 |
∫1 xt y(t) dt. |
|
6 |
2 |
||||
|
|
0 |
Решение. Отметим, что в данном уравнении λ = 12 , K (x, t) = xt.
Тогда
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||
B2 = ∫∫ |
|
K (x, t) |
|
2 dx dt = ∫∫x2t2 dx dt = |
, |
|||
|
|
|||||||
|
|
9 |
||||||
|
|
|
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
и условие λ < B1 выполнено.
Решим данное интегральное уравнение двумя способами: 1) в качестве нулевого приближения выберем свободный член уравне-
ния, т.е. y0 (x) = f (x) ; 2) произвольным образом выберем нулевое
приближение y0 (x) .
1-й способ. В качестве нулевого приближения возьмем свободный член f (x) данного уравнения, т.е. y0 (x) = f (x) = 56 x . Строим по формуле (2.2) последовательность функций {yn (x)} :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
= |
f (x) + |
|
K(x, t) y (t) dt = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
1 |
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
35 |
|
5 |
|
|
1 |
|
||
= |
|
x + |
|
xt |
|
|
t dt = |
|
x + |
|
x = |
|
x = |
|
x 1 |
+ |
|
|
, |
|
6 |
|
6 |
6 |
36 |
36 |
6 |
|
|||||||||||||
|
|
2 ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
(x) = f (x) + |
2 |
|
∫0 |
K(x, t) y (t) dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
1 1 |
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35x |
|
215 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||
= |
|
x + |
|
|
|
∫0 |
xt |
|
|
|
t dt = |
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
x |
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
, |
||||||||||||||||||
6 |
2 |
|
|
36 |
|
6 |
|
216 |
216 |
|
6 |
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|||||||||||||||||||||||||
y (x) = f (x) + |
1 1 |
K(x, t) y (t) dt = |
5 |
x |
+ |
|
1 1 |
xt |
215 |
t dt = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 ∫0 |
|
|
|
2 ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
216 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
215x |
|
1295x |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x 1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
6 |
|
1296 |
1296 |
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
36 |
|
216 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn (x) = |
f (x) + |
|
|
∫0 |
|
(x, t) yn−1 |
(t) dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
x 1 + |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
= |
|
|
|
x |
∑ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
6 |
2 |
|
|
6 |
3 |
|
6 |
n |
|
|
6 |
6 |
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда точное решение y(x) определяется как предел
|
5 |
n |
1 |
|
5 |
6 |
|
||||
y(x) = lim yn |
(x) = lim |
|
x ∑ |
|
|
|
= |
|
x |
|
= x . |
6 |
6 |
k |
6 |
|
|||||||
n→∞ |
n→∞ |
k =0 |
|
|
|
5 |
|
2-й способ. Выбираем произвольным образом нулевое приближение, например y0 (x) = x2 . Строим по формуле (2.2) последовательность функций {yn (x)} :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) = |
f (x) + |
|
K(x, t) y (t) dt |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
23x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
|
x + |
|
∫xt3 dt = |
x + |
x = |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
6 |
|
8 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
(x) = |
f (x) + |
|
K(x, t) y (t) dt |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 |
|
1 |
1 |
23 |
|
|
|
|
5 |
|
|
23 |
|
|
|
|
143 |
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|||||
= |
x + |
∫xt |
t dt = |
|
x + |
|
|
x = |
|
x = |
x + |
x + |
x , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
2 |
0 |
24 |
|
|
|
6 |
|
144 |
|
|
|
144 |
|
6 |
|
|
|
8 |
|
144 |
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) = |
|
|
f (x) + |
|
|
|
K (x, t) y |
2 |
(t) dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
1 |
1 |
|
|
143 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
143 |
|
|
|
|
|
863 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||
= |
x + |
∫xt |
|
t dt = |
|
x + |
|
x = |
|
x = |
|
x + |
x + |
|
x + |
x , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
2 |
0 |
|
144 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
864 |
|
|
|
|
864 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
864 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn (x) = |
|
|
f (x) + |
|
|
∫0 |
(x, t) yn−1 (t) dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
5 |
x + |
|
1 |
x + |
|
|
5 |
|
|
x + |
|
|
5 |
|
|
x +... + |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
8 |
144 |
|
864 |
|
144 6n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
23x |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
23 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
n−2 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
x |
1+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+... + |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ∑ |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
|
24 |
144 |
6 |
|
6 |
2 |
|
6 |
n−2 |
|
|
24 |
144 |
|
6 |
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Отсюда точное решение y(x) |
|
определяется как предел |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
n−2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y(x) = lim yn (x) = lim |
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
x |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
6 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2423 x +1445 x 65 = 2423 x + 241 x = x .
§3. Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
спомощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты
Если в методе последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма (1.1) выбрать y0 (x) = f (x) , то для n-го приближения можно получить формулу
|
n |
b |
|
yn (x) = f (x) + ∑ λm+1 |
∫Km (x, t) f (t) dt = |
|
|
|
m=0 |
a |
|
b |
n |
|
|
= f (x) + λ ∫ |
∑λm Km (x, t) f (t) dt . |
(3.1) |
|
a |
m=0 |
|
|
8
В формуле (3.1) функции Km (x, t) , называемые итерированными ядрами, определяются следующими соотношениями:
K0 (x, t) = K (x, t) ,
b
K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds ,
a |
|
b |
|
K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds , |
(3.2) |
a
…,
b
Km (x, t) = ∫K (x, s) Km−1 (s, t) ds ,
a
m = 1, 2, 3, …
Резольвента интегрального уравнения (1.1) (или резольвента ядра K (x, t) ) определяется формулой
∞ |
|
R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) . |
(3.3) |
m=0 |
|
Ряд, стоящий в правой части формулы (3.3), |
получается, если |
n → ∞ под знаком интеграла в формуле (3.1). Этот ряд, называемый рядом Неймана ядра K (x, t) , сходится при выполнении усло-
вия (2.1). В этом случае решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (1.1) может быть найдено по формуле
b |
|
y(x) = f (x) + λ ∫R(x, t, λ) f (t) dt . |
(3.4) |
a
Отметим, что граница (2.1) является существенной для сходимости ряда (3.3). Однако область сходимости данного ряда может оказаться шире, и решение уравнения (1.1) может существовать и для
значений λ > B1 .
Пример 3.1. Построить резольвенту для интегрального уравнения
π
y(x) = λ ∫sin(x −t) y(t) dt + f (x) .
0
9
Решение. Согласно (3.2) запишем последовательность итерированных ядер
K0 (x, t) =sin (x −t) ,
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫sin (x − s) sin (s −t) ds = − π cos (x −t) , |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
sin (x −t) , |
||
2 |
∫sin (x − s) cos (s −t) ds = − |
4 |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2m (x, t) = |
(−1) |
m |
π 2m |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin (x −t) , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
K2m−1 (x, t) = (−1) |
m |
π 2m−1 |
cos (x −t) , |
m = 1, 2, … |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) = K0 (x, t) + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+λK (x, t) + λ2 K |
2 |
(x, t) +... = |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=sin (x −t) − |
λπ |
cos (x −t) − |
λ2 π2 |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
4 |
sin (x −t) +... = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
λπ |
2 |
|
+ |
λπ |
4 |
− |
|
|||
|
|
= sin (x −t) 1 − |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
... − |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
λπ |
|
|
|
|
λπ 2 |
|
λπ |
4 |
|
||||||
|
|
2 |
cos (x −t) 1 − |
2 |
|
|
+ |
2 |
|
−... . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10