Журомский Нелинейные системы автоматического управления 2012
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
В.М. Журомский
Нелинейные системы автоматического управления. Метод гармонического баланса. Инженерно-физические основы
Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Москва 2012
УДК 681.511.4.136(075) ББК 32.965я7 Ж 92
Журомский В.М. Нелинейные системы автоматического управления. Метод гармонического баланса. Инженерно-физические основы: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2012. − 56 с.
Рассматривается методика анализа систем автоматического управления с общепромышленными нелинейными законами регулирования методом гармонического баланса, основанная на определении параметров автоколебательного режима графоаналитическим методом в терминах логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик линейной части системы и эквивалентных нормированных логарифмических характеристик нелинейного элемента. Представлена подробная процедура инжиниринга на примере промышленной системы управления тепловым объектом.
Пособие предназначено для бакалавров и магистров групп Ф9-10а, Ф9-10б, Ф7-10а, Ф710б, обучающихся по курсам «Основы теория автоматического управления процессами молекулярно-селективных процессов», «Системы автоматического управления процессами молекулярноселективных процессов», «Методы и средства изучения физико-кинети- ческих явлений по учебной дисциплине «Автоматизация физических исследований».
Может быть полезно аспирантам, действующим инженерным кадрам.
Рецензент канд. хим. наук РХТУ им. Менделеева Хорошилов А.В.
Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
ISBN 978-5-7262-1665-2 |
© Национальный исследовательский |
|
ядерный университет «МИФИ», 2012 |
− 2 −
|
Содержание |
|
Предисловие.............................................................................. |
4 |
|
1. |
Основы метода гармонического баланса ............................ |
5 |
2. |
Анализ автоколебательного режима |
|
|
графоаналитическим методом |
|
|
на логарифмической плоскости.......................................... |
12 |
3. |
Примеры анализа НСАУ..................................................... |
13 |
4. |
Инжиниринг. Промышленная НСАУ |
|
|
тепловым объектом............................................................. |
22 |
Контрольные вопросы............................................................. |
55 |
|
Список рекомендуемой литературы....................................... |
55 |
− 3 −
ПРЕДИСЛОВИЕ
Стандартные законы управления промышленных регуляторов наряду с законами регулирования ПИД (пропорционально- интегрально-дифференциальными) содержат алгоритмы релейного управления.
Существует также широкий выбор автоматических регуляторов с 2−3-позиционными законами управления, работающими в комплекте с исполнительными механизмами постоянной скорости.
В силу формирования законов управления средствами электроники, эффекты, ранее характерные для электромагнитных реле (сухое трение, гистерезисные явления, инерционность), в современных регуляторах отсутствуют, что упрощает анализ нелинейных систем автоматического управления (НСАУ).
Структура НСАУ в задачах управления технологическими процессами на основе техсредств АСУТП, как правило, соответствует рис. 1.1, где нелинейный элемент (НЭ) являет стандартный безинерционный нелинейный закон управления, а линейная часть Wл(р), (р-оператор Лапласа) включает исполнительные средства, объект управления, датчик регулируемого параметра
В инженерной практике синтеза НСАУ целесообразно применение метода гармонического баланса, не имеющего ограничений по величине порядка передаточной функции линейной части системы и позволяющего на методологической основе логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик просто и наглядно оценивать параметры автоколебательного режима, принимать меры к улучшению его характеристик, в том числе устранению автоколебаний.
− 4 −
1. ОСНОВЫ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Метод гармонического баланса анализа НСАУ основан на допущении фильтрации линейной частью с передаточной функцией Wл(p) высших гармоник сигнала на выходе нелинейного элемента НЭ (см. рис. 1.1).
Нелинейный элемент и автоколебания – симметричные.
Рис. 1.1. Структурная схема НСАУ
Вследствие фильтрующих свойств линейной части Wл(p) второго (и более) порядка при автоколебательном режиме САУ практически гармонический выходной сигнал y объекта управления поступает на вход НЭ.
В силу того, что на процесс управления в структуре реально влияют только параметры первой гармоники периодического, ступенчатой формы (вида x1 на рис. 1.1), сигнала на выходе нелиней-
ного элемента F(x) (рис. 1.2), то для целей управления НЭ можно характеризовать коэффициентом передачи как отношение амплитуды первой гармоники на выходе НЭ к амплитуде гармонического сигнала х = Аsin ψ (где ψ = ωt) на входе НЭ и фазовым сдвигом
первой гармоники сигнала на выходе НЭ элемента по отношению к входному гармоническому сигналу х = Аsin ψ на входе НЭ.
Периодические колебания на выходе НЭ описываются уравнением
х1 = F(Asin ψ) .
− 5 −
Рис. 1.2. Преобразование сигналов в нелинейном элементе
Первая гармоника периодических колебаний на выходе НЭ x1 = a1 sin ψ +b1 cos ψ
определяется разложением функции х1 = F(Asin ψ) в ряд Фурье, где а1 и b1 – коэффициенты ряда.
2π
Коэффициент a1 = 1 ∫ F(Asin ψ) sin ψdψ характеризует ампли-
π 0
туду синфазной составляющей первой гармоники на выходе НЭ.
|
1 |
2π |
|
Коэффициент b1 = |
∫ F(Asin ψ) cos ψdψ характеризует ампли- |
||
π |
|||
|
|
0 |
туду квадратурной составляющей первой гармоники на выходе НЭ.
Коэффициент гармонической линеаризации |
а(А) = |
а1(A) |
= |
|
|
А |
|
2π
= А1π ∫0 F(Asin ψ) sin ψdψ характеризует отношение амплитуды
синфазной составляющей первой гармоники на выходе НЭ к амплитуде гармонического сигнала х = Аsin ψ на входе НЭ.
Коэффициент гармонической линеаризации b(А) = b1(AA) =
|
1 |
2π |
|
= |
∫ F(Asin ψ) cos ψdψ характеризует отношение квадратурной |
||
Aπ |
|||
|
0 |
||
|
|
||
|
|
− 6 − |
составляющей первой гармоники на выходе НЭ к амплитуде гармонического сигнала х = Аsin ψ на входе НЭ.
|
|
1 |
2π |
1 |
|
|
Для однозначных НЭ |
b(А) = |
∫ F(Asin ψ) cos ψdψ = |
|
× |
||
Aπ |
2 |
π |
||||
|
|
0 |
A |
|
||
|
|
|
|
|
|
2π
×∫ F(Asin ψ) dAsin ψ = 0 как интеграл по контуру линии – харак-
0
теристики однозначного элемента, площадь которой равна нулю
(см., например, рис. 1.3, 1.5).
Коэффициенты a(A) и b(A) изменяются в функции амплитуды А гармонического сигнала х = Аsin ψ на входе НЭ и не зависят от
частоты ω.
Коэффициенты гармонической линеаризации a(A) и b(A) могут
быть представлены как вещественная и мнимая части комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента J(A) =
= a(A) + jb(A) .
Связь амплитуды («модуль») | J(A) | и фазового сдвига ϕ(A)
первой гармоники на выходе НЭ относительно амплитуды А гармонического сигнала х = Аsin ψ на входе НЭ есть
| J(A) |= a2(A) + jb2(A) ; ϕ(A) = arctg |
b(A) |
. |
|
||
|
a(A) |
Нормированные эквивалентные логарифмические характеристики стандартных нелинейных законов управления
2-позиционное реле
НЭ – однозначный, b(A) = 0 и J(A) = a(A) На основании рис. 1.3 имеем:
|
1 |
2π |
2 |
π |
|
J(A) = a(A) = |
∫ F(Asin ψ) sin ψdψ |
∫ B sin ψdψ = |
|||
πA |
πΑ |
||||
|
0 |
0 |
|||
|
|
|
=− 2πBA cos ψ|0π= − 2πBA (−1−1) = 4πBA .
−7 −
Рис. 1.3. К вычислению коэффициента гармонической линеаризации для 2-пози- ционного реле
При обозначении A =μ |
получим |
|||
J(μ) = KнJ0(μ) , где Kн = |
4B |
|
− линейная |
|
π |
||||
|
|
часть нелинейного элемента, зависящая от конкретных параметров НЭ,
J0(μ) = μ1 − эквивалентная нормирован-
ная характеристика нелинейного элемента, определяемая его формой.
Эквивалентная логарифмическая характеристика нелинейного
элемента 20 lg J0(μ) = 20lg |
1 |
= 20 lg1−20 lg μ имеет вид линии с |
|
μ |
|||
|
|
наклоном – 20 дб/дек и пересечением с осью μ при μ = 1 (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Эквивалентная логарифмическая нормированная характеристика 2-позицион- ного реле
− 8 −
3-позиционное реле
НЭ – однозначный, b(A) = 0 и J(A) = a(A) . Согласно рис. 1.5:
|
1 |
2π |
4 |
π/2 |
|
J(A) = a(A) = |
∫ F(Asin ψ) sin ψdψ = |
∫ B sin ψdψ = |
|||
πA |
πA |
||||
|
0 |
ψ |
|||
|
|
|
|
1 |
|
4B |
|
|
4B |
|
c 2 |
|
4B |
|||
= |
|
cos ψ1 |
= |
|
1 |
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||
|
πA |
|
|
πA |
|
|
A |
|
πc |
||
|
|
|
|
|
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ψ =arcsin |
с |
и |
A |
≥1 . |
|
|
|||
1 |
A |
|
c |
|
|
|
1− |
|
1 |
, |
||
|
A 2 |
||||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c |
|
Рис. 1.5. К вычислению коэффициента гармонической линеаризации для 3-пози- ционного реле
Обозначив обобщенную амплитуду
|
|
|
|
|
|
μ = |
A |
, получаем |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
J(μ) = |
4B |
|
|
μ2 −1 |
= KнJ0(μ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πc |
μ2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Kн = |
4B |
− линейная часть НЭ, зависящая от конкретных пара- |
||||||||||||
πc |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
метров НЭ; |
J0 |
(μ) = |
μ2 |
−1 |
− эквивалентная нормированная харак- |
|||||||||
μ2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теристика НЭ.
− 9 −
Эквивалентная логарифмическая нормированная характеристи-
ка |
20 lg J0(μ) = 20 lg |
μ2 |
−1 |
(рис. 1.6) |
при μ >>1 |
близка к |
|||
μ2 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
J0 |
(μ) 20 lg |
, имеет экстремум 20 lg J |
0(1, 4) = −6 дб, |
равна нулю |
|||||
μ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
при μ →1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.6. Эквивалентная лога- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рифмическая нормированная |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристика 3-позицион- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного реле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Реле с гистерезисом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
НЭ неоднозначный, |
J(A) = a(A) + jb(A) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Согласно рис. 1.7: |
|
|
|
|
|
2 π+ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2B |
π+ψ |
|
|
|||||||||||
a(A) = |
|
|
∫0 |
F(Asin ψ)sin ψdψ |
|
|
|
|
ψ∫ |
|
Bsin ψdψ=− |
πA cos ψ1 |ψ1 |
1= |
|
|
|||||||||||||||||
πA |
πΑ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−2B [−cosψ −cosψ ] = 4B cos ψ = 4B |
|
1−(A/c)2 |
= |
|
4B |
1− |
|
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
πA |
|
|
|
|
|
πA |
|
|
πA |
|
|
|
|
πcA / c |
|
(A/c) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
где ψ = arcsin |
c |
; |
А/ с ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначив обобщенную амплитуду А/с = μ, μ ≥ 1, получаем |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a(μ) = |
|
4B |
1 |
− |
1 |
|
|
|
= |
4B |
|
|
μ2 −1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
πcμ |
μ2 |
πc |
μ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Далее |
1 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π+ψ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2B |
π+ψ |
|
|
||||||||||||||
b(A) = |
|
∫0 |
F(Asin ψ) sin ψdψ |
|
|
|
ψ∫ |
B cos ψdψ = |
πA sin ψ|ψ1 |
1 . |
|
|
||||||||||||||||||||
πA |
|
πA |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 10 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|