515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

а) i	L	t CA p ep1t	CA p	2	ep2t ;	(5.28)
		1 1	2
б) i	L	t CA pept CA ept		CA peptt;		(5.29)
		1	2		2
в) iL t C Ae t			sin свt CAe t cos свt св .			(5.30)

12. Зная выражение для тока, находим, второе уравнение, используя независимые начальные условия для тока в индуктивности

а) A1 p1e p1t

t 0 A2 p2ep2t

t 0 C iL t

t 0

0,

(5.31)

A1p1 A2 p2 0 (второе уравнение).

б) C A pe pt A

pe ptt A

e pt

i

L

t

0,

(5.32)

1

2

2

t 0

t 0

A1 p A2 0 (второе уравнение).

в) C Ae t sin свt t 0 CAe t cos свt св t 0 iL t t 0 ,(5.33)

sin св cos 0 (второе уравнение).

13. Решая совместно первое и второе уравнения, определяем постоянные интегрирования

а) A A

U

A1

U

г

p

2

U

г

p

1

.

(5.34)

1

2

г

p2 p1 ,

A1 p1 A2 p2 0

A2 p2 p1

б) A1

Uг

0

A1 Uг, A2 U

г p.

(5.35)

A1p A2

в) Asin U

г

U

г

U

г

0

св

.

(5.36)

sin св cos 0 A sin

св

, arctg

напряжения

14. Зная постоянные

интегрирования,

записываем решения для

uC t

Uг p2

Uг p1

а) uC t uCсв t uCпр

t

ep1t

ep2t Uг ;

(5.37)

p2 p1

p2 p1

б) uC t Uг Uгtp ept Uг;

(5.38)

в) uC

t

Uг 0

e t sin свt Uг .

(5.39)

св

15. Зная напряжение на емкости и учитывая, что ток в цепи i t равен току через индуктивность iL t , найдем значения тока, а, зная ток, определим напряжение на индуктивности для корней а), б), в)

du

C

t

U

г

ep2t e p1t

а) iL t C

iC t i t

,

L

p2 p1

dt

di

L

t

p e p1t p

2

e p2t

uL t L

U

г

1

.

dt

p1 p2

б) iL t iC t C

du

C

t

U

г

t ept

, uL t L

di

L

t

dt

dt

L

(5.40)

(5.41)

Uг 1 pt ept. (5.42)

81

в) iL t iC t C

du

C

t

U

г

e t sin свt,

(5.43)

dt

di

t

U

свL

uL t L

L

г

0

e t sin свt .

(5.44)

св

dt

2 02;

Здесь учтено для: а)

uL t р1 р2 1/ LС;

б)

г) sin свt свcos

свt 2 св2

св

. (5.45)

sin

свt arctg

16. Нарисуем графики тока и напряжений:

а) для корней вещественных и разных ( 0 или R 2L 1LC , апериодический режим) графики напряжений и тока изображены на рис. 5.3 а;

Рис. 5.3

б) для корней вещественных и равных ( 0 или R 2L 1LC , критический режим) графики напряжений и тока совпадают с графиком, изображенном на рис.5.3а;

в) для корней комплексно-сопряженных ( 0 или R 2L 1LC , колебательный режим) графики напряжений и тока представлены на рис.5.3б для

= 90 и св 0 ,

где R/2L – коэффициент затухания контура; 0 1/

LC

– резонансная

частота контура; св

02 2

– частота собственных затухающих колебаний

контура;

,

R 2 – характеристическое и критическое сопротивления

L/С

контура.

diL t

1

p2

Замечание.

Время

t

определяется из условия

0

t

ln

,

p1 p2

t2 2t1.

1

dt

1

p1

Случай а) – апериодический режим работы контура, случай б) – критический режим работы контура, случай в) – колебательный режим работы.

Декремент затухания: u	C	t /u	C	t T	exp T	c	.
				c
								2 R2 4 ,
Логарифмический декремент затухания:					ln Tс R/

где Tс 2 св – квазипериод собственных затуханий.

82

Включение последовательного R, L, C-контура на источник синусоидального напряжения (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Цель анализа: определить ток в цепи и напряжение на элементах после замыкания ключа К (t 0 ).

Анализ

1.Повторяем пункты 1-7 при включении RLC- контура на источник постоянного напряжения.

8.Определяем частное решение (принужденную составляющую напряжения на емкости).

1

Um sin

t u RLC

uCпр t

C

2

UmC sin t uC ,

(5.46)

1 2

R

2 L

C

1

Um

L

где UmC

; uC

u RLC

; RLC arctg

C

.

(5.47)

2

1

2

R

C

R2

L

C

В данном случае корни характеристического уравнения также могут быть: а) вещественными и разными; б) вещественными и кратными; в) комплексно-сопряженными.

Рассмотрим случай комплексно-сопряженных корней. 9. Записываем решение uC t

uC t uCсв t uCпр				t Ae t sin свt UmC sin t uC .					(5.48)
10. Используя независимые				начальные условия uC 0 0, найдем					первое
уравнение для определения постоянных интегрирования
u	C	t		Asin U	mC	sin	uC	0.	(5.49)
				t 0

11. Для определения второго уравнения используем независимые начальные условия для тока в индуктивности iL 0 0, предварительно определив ток в индуктивности

iL t iC t C duCdt t C Ae t sin свt A свe t cos свt (5.50)

CUmC cos t uC .

83

Полагая, что контур имеет большую добротность ( св; св 0 )

iL	t CA 0e t cos 0t CUmC cos t uC .	(5.51)
При t 0	имеем второе уравнение
	CA 0 cos CUmC cos uC 0.	(5.52)

12. Решаем систему из двух уравнений (первого и второго) и определяем постоянные интегрирования

A UmC	sin2 u		0	2	2 u					0
		C		cos		C	,	arctg			tg u	.	(5.53)
												C

13. Зная постоянные интегрирования, записываем решение дифференциального уравнения

uC t uCсв t uCпр t

UmCe t sin2 uC 0 2 cos2 uC sin 0t UmC sin t uC . 14.Зная uC t , определяем ток в цепи и напряжение на индуктивности

du

C

t

0

2

i t C

ImC

e t

sin2 uC

cos2 uC cos 0t

dt

0

ImC cos t uC ,

uL t L

di

L

t

.

dt

Анализ полученных выражений uC t ,i t .

1. uC 0, 0. В цепи может возникнуть сверхнапряжение

uCmax UmC 1 0 .

2.uC 2, 0. В цепи могут возникнуть сверхтоки

imax ImC 1 0 .

(5.54)

(5.55)

(5.56)

(5.57)

(5.58)

3. 0 . В цепи наблюдается явление изохронизма.

Ток и напряжение плавно возрастают (рис. 5.5 а) в соответствии с уравнениями

uC t UmC 1 e t sin t uC	,
i t ImC 1 e t cos t uC .	(5.59)

84

Рис. 5.5

4. Частоты 0 и близки, но не равны: 0 2 , 0 2 . В этом случае в цепи наступает явление биений (рис. 5.5 б) в соответствии с выражением

uC t 2UmC cos tsin t uC .

(5.60)

Примеры и задачи

Пример 1. Дана электрическая цепь (рис. 5.6). Найти законы изменения токов в ветвях и напряжения на реактивном элементе.

Рис. 5.6

E = 10 В, R1 = 2 кОм, R2 = 8 кОм, С = 62,5 нФ.

Решение

1.Обозначим токи в ветвях.

2.Определим начальные условия:

а) Независимые – для момента времени t = 0– (ключ разомкнут) (рис. 5.7)

Рис. 5.7

i		0		0; i 0		i		0			E		10	1 мА; u	C	0		0.
													2 103 8 103
	3			1			2				R1 R2

85

б) Зависимые – для момента времени t = 0+ (рис. 5.8).

Рис. 5.8

По законам Кирхгофа

i1 0 i2 0 i3 0 ,

i

0

R u

C

0

E,

1

1

0 R2 uC 0 0.

i2

По законам коммутации

тогда

uC 0 uC 0 0,

E

10

i

0

0; i 0

i

0

5 мА.

2

1

3

R1 2 103

3. Определим принужденные составляющие при t

i

0; i

i

E

10

1 мА;

R1 R2

3пр

1пр

2пр

2 103 8 103

uCпр i2прR2 1 10 3 8 103 8 В.

4. Характеристическое уравнение можно найти, приравняв к нулю операторное сопротивление схемы, рис. 5.9.

							Рис. 5.9
				Z p			R1R2				1	0.
							R1 R2				pC
p		1						1						104 c 1 .
		R1R2	C
						2 103 8 103				62,5 10			9
		R1 R2				10 103

1 0,1 мс. p

86

В цепях первого порядка закон изменения любой величины имеет вид f t fпр Aept ,

где

A f 0 fпр.

Представим результаты расчетов в виде табл. 5.3.

Табл. 5.3
t		0–	0+
i1, мА		1	5	1
i2, мА		1	0	1
i3, мА		0	5	0
uCпр, В		0	0	8

Тогда

i1 t 1 4e104t, мА, i2 t 1 1e104t, мА, i3 t 5e104t, мА, uC t 8 8e104t, В.

Графики токов и напряжения представлены на рис. 5.10.

Рис. 5.10

87

ТЕМА 6. Операторный метод анализа переходных процессов

Лекция 11 Преобразование Лапласа. Основные теоремы и свойства

Операторный метод анализа базируется на преобразовании Лапласа, которое позволяет систему дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений свести к системе алгебраических уравнений и найти требуемые неизвестные обычным аппаратом алгебры.

Различают:

а) прямое преобразование Лапласа

F p	f t e ptdt;	(6.1)
0
б) обратное преобразование Лапласа

	f t	1	C j	F p eptdp.
					(6.2)
		2 j
			C j

Преобразования Лапласа позволяют переходить от действительной переменной t к комплексной переменной p и обратно (от p к t). В преобразовании Лапласа функция f(t) – оригинал, функция F(p) – изображение. Соответствие оригинала изображению записываются следующим образом

	f t F	p ,
	f t L 1 F p ,						(6.3)
F p L f t .
Основные теоремы (свойства) преобразования Лапласа
1. Линейность
n		n
ak fk t akFk p .							(6.4)
k 1	k 1
2. Дифференцирование оригинала
а) начальные условия нулевые:		f n t pnF p ;
f t pF p ,...,							(6.5)
б) начальные условия не нулевые:				n
					k 1	0 pn k .
f t pF p f 0 ; f n t pnF p f							(6.6)
3. Интегрирование оригинала				k 1
			F p
	f t dt			.			(6.7)
			pn
0	0

n

88

4. Изменение масштаба действительного переменного
f at	1		p
		F		.	(6.8)
	a
			a

5. Смещение в области действительного переменного(теорема запаздывания)

f t t0

e pt0 F

p .

(6.9)

6. Смещение в области комплексного переменного

F

p e t

f t .

(6.10)

7. Умножение изображений соответствует свертке оригиналов

t

t

F1 p F2 p f1 t f2 d f1 f2 t d .

(6.11)

0

0

8. Дифференцирование изображения

dF n p dpn t n

f t .

(6.12)

9. Интегрирование изображения

f t

F p dp

.

(6.13)

t

0

10. Умножение оригинала на синусоиду

f t sin 1t

1

F p j 1 F p j 1 .

(6.14)

2 j

11. Умножение оригинала на косинусоиду

f t cos 1t

1

F p j 1 F p j 1 .

(6.15)

2

12. Предельные соотношения

а) limf t lim pF p ; б)

lim f t lim pF p .

(6.16)

t 0

p

t

p 0

Методы определения оригинала по изображению

Это методы решения обратного преобразования Лапласа

1

C

0

j

f t

F p eptdp.

(6.17)

2 j

C0

j

1. Метод, основанный на теореме разложения вида

n

F

p

k

f t

1

epkt .

(6.18)

F

p

k 1

p pk

2

Эта формула, по-существу, представляет собой сумму вычетов функции

F p ept , причем F

p F p

F

p ,

а

p

k

– простые корни (полюсы) ха-

1

2

89

рактеристического уравнения F2 p 0. Корни (полюсы) в общем случае могут быть:

а) вещественными и разными (простые полюсы), тогда

n

F

p

k

f t

1

epkt ,

(6.19)

F

p

p pk

k 1 2

где F2

pk – первая производная функции

F2 p

по р;

pk

–

k-ый полюс

функции F(p) (k-ый корень функции F2

p ).

F p

Замечание. Если функция F p имеет нулевой полюс (р=0), т.е.

F1 p

p F2 p , тогда формула разложения принимает вид

F

0

n

F

p

k

p

t

1

1

f t

e

k

,

(6.20)

F

0

p

k

F p

2

k 1

2

p pk

где n – количество ненулевых полюсов;

б) вещественными и одинаковыми (кратные полюсы), тогда

R

1

dmk 1 F

p

p

pk

m

kept

f t

1

,

(6.21)

mk 1 !dpmk

1

k 1

F2 p

p pk

где R – количество полюсов, mk

– кратность k-го полюса;

в) комплексно-сопряженными (полюсы попарно комплексно-сопряженные),

тогда

Q

F1

p

k

epkt ,

f t 2Re

(6.22)

k 1

F2 p p pk

где Q – количество пар комплексно-сопряженных полюсов.

2.Метод, основанный на разложении функции F p F1 p F2 p на простые дроби вида

F p

r1

r2

r31

r32

...,

(6.23)

p p32 2

p p1

p p2

p p31

где r1, r2, r3,... – определяются как вычеты функции F

p , p1, p2

– простые

полюсы, p31, p32 – полюсы кратности 2 и т.д.

Оригинал f(t) определяется по формуле

f t

r ep1t

r ep2t

r

ep31t r ep32t .

(6.24)

1

2

31

32

Изображение наиболее часто встречающихся функций

1. Единичная (ступенчатая) функция (рис. 6.1)

Рис. 6.1

90