5437
.pdfПравило нельзя применять, если нет неопределённости |
|
|
|
0 |
|
или |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. lim |
|
x2 |
2x 3 0 |
0 , при этом lim |
2x 2 2 2 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x2 |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4x 4 4 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЛБ1. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) |
lim |
sin 4x |
; |
|
|
|
б) lim |
1 |
|
|
|
cos3x |
; |
|
|
в) |
lim |
|
1 |
|
|
|
ex |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
ln 1 |
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 6x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
ln 1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) а) |
lim |
sin 4x |
; |
|
|
|
б) |
lim |
1 |
|
|
|
cos4x |
|
; |
|
|
в) |
lim |
|
|
|
3x |
9 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
ln x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 6x |
|
|
|
1 |
|
|
|
cos6x |
|
|
|
|
|
|
2x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) а) |
lim |
x7 |
1 |
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
x7 |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
x |
3 |
|
|
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
x4 |
|
|
x3 |
|
|
8 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) а) |
lim |
|
|
x |
1 |
; |
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
x |
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
x |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x 64 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5) а) lim |
|
|
x |
3 |
2 |
; |
|
б) lim |
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
2 |
; |
|
в) lim |
|
|
|
|
2x |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
; |
|
г) lim |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4x |
9 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
x 8 3 |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
x 9 3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
5x 6 4 |
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
3 x 6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Неопределённость |
0 |
|
|
|
|
можно раскрыть, заменив на |
|
|
|
0 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 6. Найдём lim x ln x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
. Учтём, что x ln x |
|
|
|
|
|
ln x |
|
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
ln x |
|
|
|
|
ln 0 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 / x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
lim x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 / x |
|
|
|
1 / 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
1 / x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Неопределённость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводят к |
0 |
|
|
, а затем – к |
0 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 7. Найдём lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
73
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
1 |
4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
, и |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. Тогда отношение произ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2x x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
водных можно упростить до |
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
: |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8x x |
4 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2x x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
x |
4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
В данном примере можно было сразу после взятия производных учесть, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
1 при x |
|
, и не записывать громоздкий корень, а заменять числом 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако так нельзя делать, если из корня такое же число 1 вычитается.
ЛБ2. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли
1) а) |
lim x lg x ; |
|
|
б) lim x log2 x ; |
||||||
|
x 0 |
|
|
x 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) а) |
lim x |
x 1 ; |
б) lim 6x |
|
2x 1 ; |
|||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
в) |
lim sin x |
ln x ; |
||||
|
x 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim 4 x |
|
x 100 ; |
|||
|
x |
|
|
|
3) а) lim x2 2x x ; |
б) lim x2 8x x ; |
в) lim x2 8x x . |
x |
x |
x |
Применение правила можно совмещать с переходом к эквивалентным бесконечным малым величинам и с подстановкой чисел.
Пример 8. lim |
cos4 2x |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
, дифференцируем числитель и знаменатель: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 cos3 5x |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
cos4 2x |
1 |
|
lim |
4 cos3 2x |
|
|
2 sin 2x |
8 |
|
|
lim |
sin 2x |
cos3 2x |
|
0 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 5x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
x 0 |
|
|
|
5sin 5x |
|
15 x 0 |
|
sin 5x |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Но cos3 |
2 |
0 |
|
13 |
|
|
|
1 , cos2 |
5 0 |
12 |
|
1 , а при x |
0 |
|
|
|
sin2x |
|
2x и sin5x 5x , тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
lim |
sin 2x |
cos3 2x |
|
|
8 |
|
lim |
2x 1 |
8 |
|
lim |
2 |
|
|
|
8 |
|
2 |
|
16 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 x 0 |
sin5x |
|
15 x 0 |
5x 1 |
15 x 0 |
5 |
|
|
|
15 |
5 |
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ЛБ3. Найдите по правилу Лопиталя – Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 2x |
|
1 |
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
cos2 4x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) lim |
|
cos x |
1 |
; |
б) |
lim |
|
; |
в) |
lim |
|
; |
|
|
г) lim |
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 6x |
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
cos x |
1 |
|
|
|
x 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
sin3 3x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) lim |
|
|
ln2 x |
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
ln2 x |
|
; |
|
|
|
|
в) |
|
lim |
ln2 |
|
x |
; |
|
|
|
|
г) lim |
|
ln 1 4x |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
lg3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
lg3 |
x |
|
|
|
|
|
lg3 |
|
x |
|
|
|
|
|
ln 1 3x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
74
§ 9. Исследование функций и построение графиков
Учиться строить графики по результатам исследования функций лучше всего на занятиях вместе с группой. Возможны разные способы построения графика по уже проведённому исследованию, например,
–постепенное уточнение: «монотонность – выпуклость – асимптоты»;
–уточнение: «поведение на краях – асимптоты – монотонность – выпуклость»;
–соединение отрезков, на которых ничего не меняется (выпуклое убывание, выпуклое возрастание и т.д. – метод, популярный в средней школе).
Общая схема исследования функции
1) Элементарное исследование:
а) найти область определения (обязательно), область значений; б) точки пересечения с осями координат; в) чётность и (или) периодичность;
2) монотонность и экстремум:
а) найти корни производной и разместить их на числовой оси; б) выяснить знак производной на каждом полученном интервале; в) определить интервалы возрастания, убывания; г) найти точки минимума и максимума;
3) выпуклость и перегиб:
а) найти 2-ю производную, найти её корни и расставить их на числовой оси; б) – г) по аналогии с 2) определить интервалы выпуклости «вниз», «вверх»,
точки перегиба;
4)асимптоты графика (для многочленов этот шаг не имеет смысла);
5)график функции строится по всем особенным точкам и линиям, полученным
на предыдущих шагах.
Замечание 1. Под точкой минимума или перегиба подразумевается как абсцисса (значение переменной), так и ордината (значение функции в этой переменной). Таким образом, речь идёт о точках графика, а не точках числовой оси. В литературе в этом отношении часто встречаются противоречия в текстах.
Исследование на выпуклость обычно связано с вычислительными трудностями. Далее показано, как при помощи небольшого рассуждения упростить построение графика, обходясь без 2-й производной.
75
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Пример 1. Посмотрим, как можно построить график функции |
y |
x2 |
1 . |
|||||||||||
Замечаем, что функция не пересекает ось OX (уравнение |
1 |
|
0 не имеет |
|||||||||||
x2 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
корней). Кроме того, функция чётная – значит, график симметричен относитель- |
||||||||||||||
но оси OY. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
С ростом x от |
|
до 0 величина |
|
|
|
|
|||||||
x2 |
1 убывает от |
|
до 1. Обратная к |
|
|
|
|
|||||||
ней |
величина |
1 |
|
соответственно |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возрастает от |
1 |
|
0 до |
1 |
1 : |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, |
x2 |
1 растёт от |
|
|
|
|
||||||||
1 при x |
0 до |
|
при x |
|
, тогда |
|
|
|
|
|||||
обратная |
величина |
|
1 |
убывает |
от |
|
|
|
|
|||||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 при |
x |
0 до |
|
1 |
|
при x |
: |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подтверждается замечание о симметричности графика относительно верти- |
||||||||||||||
кали. Объединяя графики, получаем такой набросок: |
|
|
|
|
Однако график должен быть плавный, поскольку 1-я производная определена во всех точках. Поэтому с каждой стороны от оси OY график обязательно перегнётся:
76
Здесь решающую роль сыграло то, что график не пересекает ось OX. Иначе была бы возможна любая ситуация, например, такая:
Пример 2. |
Функция y |
x |
1 нечётная, |
и её график симметричен относи- |
||||
x2 |
||||||||
тельно начала координат. Посмотрим, что происходит при |
x |
0 . Заметим, что |
||||||
график пересекает ось OX в точке x |
0 , и только в ней. |
|
|
|||||
При |
x |
функция |
y |
0 , |
не |
|
|
|
пересекая ось OX. Также при |
x |
0 |
|
|
|
|||
функция положительна. |
|
|
|
|
|
|
||
Получается, что где-то при |
x |
0 |
|
|
|
|||
функция достигает максимума, и потом |
|
|
|
|||||
убывает: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Но если функция будет выпукла вверх, она пересечёт ось OX при x 0 , а этого быть не должно. Значит, где-то после точки максимума график перегнётся и пойдёт выпуклостью вниз:
Учитывая симметрию относительно начала координат, получаем примерно такой график:
Здесь центр рисунка соответствует началу координат.
Поиск производных нужен, если интересуют конкретные координаты точек экстремума или перегиба. Кроме того, приведённые рассуждения определяют число точек экстремума или перегиба с точностью до чётного числа.
Так, в примере 2 при x 0 могла быть не 1, а 3 точки перегиба (но не 2 и не 4!), не 1 максимум, а 2 максимума и 1 минимум между ними, и т.д.
77
Замечание 2. В строгой математической литературе нередко «выпуклая функция» – это функция, график которой обращён «выпуклостью вниз» (например, парабола). Соответственно функции типа квадратного корня оказываются «вогнутыми». Это противоположно студенческой (и преподавательской) традиции, поэтому при обращении к старым учебникам необходимо внимательно следить, о каких функциях речь.
ИФ1. Постройте графики квадратичных функций по стандартной схеме исследования. Сравните с тем, что получается при построении по школьной схеме:
1) f |
1 |
x |
x2 4x; f |
2 |
x |
x2 8x; f |
3 |
x |
2x2 4x; f |
4 |
x |
6x x2 ; f |
5 |
x 6x 3x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)g1 x x2 4x 5; g2 x x2 8x 12; g3 x 8 x2 2x; g4 x 6x x2 10 ;
Примечание: Школьная (элементарная) схема – это поиск вершины парабо-
лы, точек пересечений с осями координат и определение направления ветвей.
ИФ2. Исследуйте функции и постройте графики многочленов:
1) |
f |
1 |
x |
x3 |
12x; |
f |
2 |
x |
12x x3 ; |
f |
3 |
x |
x3 |
6x2 |
; |
|
|
|
f |
4 |
x |
3x2 |
x3 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
g x |
x3 |
3x2 |
|
9x; |
|
|
|
g |
2 |
x |
|
x3 |
6x2 |
|
9x; |
|
|
g |
3 |
x 24x 3x2 |
x3 ; |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) h x x4 |
4x3 ; |
h x 4x3 |
x4 ; |
|
|
h x 3x4 |
4x3; |
|
|
|
|
|
h x 3x4 24x2 ; |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4) |
s x |
x2 x 4 ; |
s |
2 |
x |
|
x x2 |
4 ; |
s x |
x3 x 4 ; |
|
|
s |
4 |
x |
x2 x2 |
4 . |
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ИФ3. Исследуйте функции, упростив производные, и постройте графики: |
|||||||||||||||||||||||||||||
1) |
f1 x |
x 3 x 2 x 1 ; |
|
f2 x |
x 2 x 2 x 4 ; f3 x |
|
|
x 4 x 2 x 4 ; |
||||||||||||||||||||||
2) |
g x |
x 3 2 x 3 2 ; |
|
|
|
g |
2 |
x |
x 2 2 x 4 2 ; |
|
|
|
g |
3 |
x |
|
x 1 2 x 3 2 . |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пояснение: Производную в ИФ3 удобно найти, не раскрывая скобок: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
6 |
x |
2 |
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x 6 x 2 x 4 |
|
|
x 6 x 2 x 4 |
x 6 x 2 x 4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 x 4 |
|
|
x 6 x 4 |
x 6 x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь применена формула |
fgh |
f gh |
fg h |
fgh . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для поиска корней 1-й производной, а затем для поиска 2-й производной |
|||||||||||||||||||||||||||||
скобки лучше раскрыть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x 2 x 4 |
x 6 x 4 |
|
|
x 6 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
2x 8 |
|
x2 |
|
2x 24 x2 8x 12 3x2 |
8x 20. |
|
|
78
ИФ4. Исследуйте дробно-рациональные функции и постройте их графики:
1) f1 x |
x |
2 |
; |
|
x |
3 |
|||
|
|
2)g1 xxx2 4 ;
3)s1 xx21 1
4)r1 xx21 1 ;
5)s1 xx2 x 1
6)r1 xx2x 1 ;
7) q1 |
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
8) u1 |
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
9) h1 |
x |
|
|
|
|
x3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||||||||||
10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|||||||
y1 |
x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
||||||||||||
11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|||||||
z1 |
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
1 |
|
|
|||||||||||||
12) |
t1 |
|
x |
|
|
|
|
x |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
1 2 |
|
||||||||||||
13) |
p1 |
x |
|
|
|
|
x2 |
|
; |
|||||||||
|
|
|
x |
1 2 |
f2 x |
|
|
|
x 2 |
; |
|
|
|
|
|
f3 |
x |
|
|
x 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
f4 x |
|
|
|
x 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
g2 x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
g3 |
x |
|
|
|
x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
g4 x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
s2 x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
s3 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
s4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
r3 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
r4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
0,36 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
s3 |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
s4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
0,36 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
r3 |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
r4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
0,49 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
q3 |
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
q4 |
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
u2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
u3 |
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
u4 |
x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
h2 x |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
h3 |
x |
|
|
x3 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
h4 x |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y2 |
x |
|
|
|
|
|
|
x3 |
; |
|
|
y3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
; |
|
|
y4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
z2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
z3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
z4 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
0,25 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
t2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
; |
|
|
t3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
t4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
p2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
; |
|
p3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИФ 5. Постройте графики функций
1) |
f |
1 |
x |
x 2 e x ; |
f |
2 |
|
x |
x 2 e x ; |
f |
3 |
x |
|
x 2 ex ; |
f |
4 |
x |
|
|
x 2 ex ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
g x |
2x 3 e x ; g |
2 |
x |
3x 2 e |
2 x ; g |
3 |
x |
|
2x 1 e2 x ; g |
4 |
x |
2x 6 e 2 x ; |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) h x |
x ln x; |
h x |
ln x |
; |
|
|
h x |
|
x |
; |
|
|
h x |
x2 ln x . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
ln x |
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
Замечание о поиске 2-х производных
Поиск 2-й производной от дробной функции можно упростить, разложив дробь на целую часть и правильную дробь (например, разделив уголком или методом неопределённых коэффициентов).
Пример 3. |
y |
|
|
|
|
x2 |
|
, |
y |
|
|
? Разложим и учтём, что x2 |
|
a 2 |
|
x |
|
a |
x a : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
62 62 |
|
|
|
x2 |
62 |
|
|
62 |
|
|
|
|
x |
6 |
|
36 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
тогда |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
1 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
x |
6 2 |
|
|
|
|
|
x |
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Очевидно, |
y |
|
|
|
0 при x |
|
|
6 и y |
0 при x |
6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. |
y |
|
|
|
|
x3 |
|
, |
y |
|
|
? Применим формулу x3 |
|
a3 |
|
|
|
|
x |
|
a |
x2 |
ax a2 : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x3 |
23 |
23 |
|
|
|
x3 |
23 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
x2 |
2x |
4 |
|
|
8 |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
тогда |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x2 2x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
2x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
16 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 |
|
|
x |
2 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Для выяснения знака y |
замечаем, что y |
|
не существует при x |
|
|
2 , а также |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
x 2 3 |
|
|
|
8 x 2 |
2 x 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тем самым ось надо разбить на интервалы точками x1 |
|
0 и x2 |
|
2 . Окажется, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y 0 при 0 |
x |
|
2 и y |
0 при x 0 и при x |
|
|
2 (проверьте). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 5. |
y |
|
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
|
? В числителе нужен фрагмент, делящийся на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменатель: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x3 |
|
x3 |
|
5x 5x x3 |
5x |
|
5x |
|
x x2 |
5 |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
5 x2 |
5 |
|
|
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
x2 |
5 |
|
x2 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поиск |
|
|
x |
|
|
проще, чем |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
. Вначале находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
5 x 2x |
|
|
5 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80
затем, вынося как можно больше множителей за скобки,
|
5 x2 |
|
2x x2 5 2 |
5 x2 2 x2 |
5 2x |
2x |
|
x2 |
5 |
|
|
|
x2 |
5 2 5 x2 , |
|||||||
|
x2 5 2 |
|
|
|
x2 |
5 4 |
|
|
|
x2 |
5 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда, с учётом коэффициента –5 и того, что x |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y 0 5 |
|
2x |
|
15 x2 |
10 |
x x |
15 x |
|
15 |
. |
|
|||||||
|
|
|
x2 5 3 |
|
x2 5 3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знаменатель |
положителен, а числитель даёт 3 точки, и знак чередуется, начи- |
||
|
|
|
|
ная с y 0 при |
x |
15 . |
Также можно упростить дифференцирование, если дробь правильная, но содержит квадрат или куб скобки, и т.п.
Пример 6. |
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
, |
y |
|
? . Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 3 3 |
|
|
|
x 3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x 3 1 3 x 3 2 , |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
x 3 2 |
|
|
|
x 3 2 |
|
|
x 3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
находим y |
1 x |
3 |
2 |
6 x 3 3 |
и затем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
2 x 3 3 |
18 x 3 4 |
|
|
2 x 3 4 x 3 9 2 |
|
|
x 6 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получается, что y |
0 при x |
6 и y |
|
0 при x |
|
6 , причём x 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 7. |
y |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
, |
y |
|
? Разложим дробь так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
4 4 |
|
|
|
|
x 2 x 2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
3 |
|
|
|
|
x 2 |
3 |
|
|
x 2 |
2 |
|
|
x 2 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теперь можно заметить, что x |
2 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
4 , и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 |
|
|
|
x 2 2 |
|
|
x 2 2 |
|
x 2 |
x 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Тем самым |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
|
4 x |
2 |
2 |
4 x |
2 |
3 |
, и тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) y |
|
1 x 2 2 |
8 x 2 3 |
|
12 x 2 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
б) y |
2 x 2 3 |
24 x 2 4 |
|
|
48 x 2 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Для поиска корней вынесем за скобки 2 x |
2 |
5 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
2 x 2 5 x 2 2 |
|
12 x 2 24 |
|
y |
|
|
2 x 2 5 x2 |
8x 4 , |
откуда x 2 – точка разрыва, а 4 12 и 4 12 – корни числителя.
81