5499
.pdf41
Общая дисперсия отражает вариацию признака за счёт всех условий и причин, действующих в совокупности. Она может быть исчислена:
для несгруппированных данных |
2 |
|
(х х)2 |
|
; |
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
||
для сгруппированных данных |
2 |
(x x)2 f |
|
, |
||
|
|
f |
||||
|
|
|
|
|
где х – средняя, рассчитанная по всей совокупности.
Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счёт условий и причин, действующих внутри группы. Она рассчитывается по формулам:
для несгруппированных данных
для сгруппированных данных
2 |
|
(х |
хi )2 |
|
; |
|
i |
|
n |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
2 |
(x xi |
)2 f |
|
, |
i |
f |
|
где хi – средняя, рассчитанная по i -й группе.
Средняя из групповых дисперсий отражает вариацию признака за счёт случайных причин:
|
2 |
i2 f |
. |
|
|
||||
i |
f |
|||
|
||||
|
|
|
Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счёт группировочного признака:
2 (хi x)2 f
f
.
Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равнв сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:
2 |
|
2 |
2 . |
|
|||
|
i |
|
Правило сложения дисперсий используется в статистике для определения степени связи для определения степени связи между изучаемыми признаками. Метод аналитических группировок с применением правила сложения дисперсий позволяет определить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического корреляционного отношения.
Первоначально рассчитывает коэффициент детерминации, который показывает какую часть общей вариации изучаемого признака составляет вариация межгрупповая, т.е. обусловленная группировочным признаком:
42
2
2 2 .
Эмпирическое корреляционное отношение характеризует тесноту связи между признаками группировочным (факторным) и результативным.
2
2 .
Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1.
Для оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чеддока:
Эмпирическое |
корреля- |
0,10–,3 |
0,3–0,5 |
0,5–0,7 |
0,7–0,9 |
0,9–0,99 |
ционное отношение |
|
|
|
|
|
|
Теснота связи |
|
слабая |
умеренная |
заметная |
тесная |
весьма |
|
|
|
|
|
|
высокая |
Пример 4. Имеются следующие данные о выполнении работ проектноизыскательскими организациями разной формы собственности:
Форма собственности |
Количество |
Объем выполненных работ (млн руб.) |
|
|
предприятий |
|
|
Государственная |
4 |
10; 30; 20; |
40 |
|
|
|
|
Негосударственная |
6 |
20; 40; 60; |
20; 50; 50 |
|
|
|
|
Определить: 1) общую дисперсию; 2) групповые дисперсии; 3) среднюю из групповых дисперсий; 4) межгрупповую дисперсию; 5) общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий; 6) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.
Решение:
1. Определим средний объём выполнения работ предприятий двух форм собственности:
х |
|
|
х |
10 |
30 |
20 |
40 |
20 |
40 |
60 |
20 |
50 |
50 |
340 |
34 |
млн руб. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
10 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассчитаем общую дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
(х х)2 |
|
(10 |
34)2 |
(30 34)2 |
(20 |
34)2 |
|
(40 34)2 |
(20 34)2 (40 34)2 |
n |
10 |
43
(60 |
34)2 |
(20 |
34)2 |
(50 |
34)2 |
(50 |
34)2 |
576 |
16 |
196 |
36 |
196 |
36 |
676 |
196 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
256 |
256 |
2440 |
244 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
Определим групповые средние: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
х1 |
10 |
30 |
20 |
40 |
|
|
25 млн руб.; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
20 |
40 |
60 |
20 |
50 |
50 |
|
|
|
40 млн руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Групповые дисперсии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
(х |
хi )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(10 |
25)2 |
|
(30 |
|
25)2 |
(20 |
25)2 |
|
(40 |
25)2 |
225 |
25 |
|
25 |
225 |
125 |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
(20 |
40)2 |
|
(40 |
40)2 |
(60 |
40)2 |
|
(20 |
40)2 |
(50 |
40)2 |
|
(50 |
40)2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
400 |
0 |
400 |
|
400 |
|
100 |
100 |
|
1 400 |
|
233,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
|
Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i2 f |
125 4 |
233,3 6 |
|
1899,8 |
190 ; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
Определим межгрупповую дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(хi |
x)2 f |
(25 |
|
34)2 |
4 (40 34)2 6 |
|
54 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
Рассчитаем общую дисперсию на основе правила сложения дисперсий: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
190 |
54 |
244 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
|
Определим коэффициент детерминации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
2
54 0,22 .
244
Таким образом, объём работ, выполненных проектно-изыскательскими организациями на 22% зависит от формы собственности предприятий.
Эмпирическое корреляционное отношение рассчитываем по формуле
2 0,22 0,47 .
Величина рассчитанного показателя свидетельствует о том , что зависимость объема работ от формы собственности предприятия невелика.
44
Пример 5. В результате обследования технологической дисциплины производственных участков получены следующие данные:
% производственных |
Число |
Средние убытки от |
Дисперсия |
участков с нарушением |
участков |
брака продукции, тыс. |
убытков |
технологической дисциплины |
|
ден. единиц |
от брака |
1,2 – 1,7 |
7 |
1,2 |
0,22 |
1,7 – 2,2 |
9 |
1,6 |
0,02 |
2,2 и более |
6 |
2,0 |
0,06 |
Определите коэффициент детерминации
Решение
1. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:
|
2 |
|
|
i2 f |
0,22 |
7 |
0,02 |
9 |
0,06 6 |
|
|
1,54 |
0,18 |
0,36 |
2,08 |
0,09 . |
|
||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
22 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
|
Определим общую среднюю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
х |
|
хi f |
|
1,2 7 |
|
1,6 |
9 |
2,0 |
6 |
|
|
8,4 |
|
14,4 |
12 |
34,8 |
1,6 . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
f |
|
|
7 9 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
22 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
|
Найдм межгрупповую дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
(хi |
|
|
x)2 f |
|
|
(1,2 |
1,6)2 |
7 |
|
(1,6 |
|
1,6)2 |
9 |
(2 |
1,6)2 |
6 1,12 7 0 9 0,96 6 |
0,09. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
9 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4. Рассчитаем общую дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
0,09 |
0,09 0,18 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Определим коэффициент детерминации:
2
2
2
0,09 0,5 .
0,18
Таким образом, средние убытки от брака на 50% зависят от % производственных участков с нарушением технологической дисциплины.
Правило сложения дисперсий для альтернативного признака
Для альтернативного признака связь между дисперсиями выражается следующей формулой:
2 |
|
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
pi |
pi , |
р |
|
|
45
где p – доля признака;
2р – общая дисперсия:
2 |
p(1 p), |
||
|
|
||
p |
|||
|
ррi fi ,
fi
где рi – доля признака в каждой группе; |
|
|
|
|||||||||
|
fi |
– численность единиц в отдельных группах; |
|
|||||||||
|
fi |
|
– объём совокупности; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
– средняя из групповых дисперсий: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
pi(1 pi) fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
pi(1 |
pi) |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
pi |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
fi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
2 |
|
|
– межгрупповая дисперсия: |
|
|
|
|
|
|||
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( p |
p)2 fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
. |
|
pi |
fi |
|
Пример 6. Имеются следующие данные о численности рабочих в цехах предприятия:
Цех предприятия |
Удельный вес основных рабочих, % |
Численность рабочих в |
|
р i |
цехе, f i |
1 |
80 |
100 |
2 |
75 |
200 |
3 |
90 |
150 |
Итого |
- |
450 |
Определите: 1) долю основных рабочих в целом по трём цехам; 2) общую дисперсию; 3) среднюю из групповых дисперсий; 4) межгрупповую дисперсию; 5) общую дисперсию, используя правило сложения дисперсий.
Решение
1. Определим долю основных рабочих в целом по трём цехам
p |
pi fi |
|
0,8 100 0,75 200 0,9 150 |
|
365 |
0,811 . |
|
fi |
450 |
450 |
|||||
|
|
2. Рассчитаем общую дисперсию доли основных рабочих:
2 p(1 p) 0,811(1 0,811) 0,153 .
p
3. Найдём среднюю из групповых дисперсий:
46
|
2 |
|
|
pi(1 |
pi) fi |
0,8(1 |
0,8) 100 0,75(1 |
0,75) |
200 0,9(1 |
0,9) 150 |
67 |
0,149 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
pi |
fi |
|
|
|
|
|
450 |
|
|
450 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4. Определим межгрупповую дисперсию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
( pi |
p)2 fi |
|
|
(0,8 |
0,811)2 100 |
|
(0,75 |
0,811)2 200 (0,9 |
0,811)2 |
150 1,944 |
|
0,004. |
|||||||||
pi |
|
|
fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
450 |
|
|
|
|
|
|
450 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5. Используя правило сложения дисперсий, рассчитаем общую диспенрсию: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
pi |
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем
0,153 = 0,149 + 0,004.
Тема 6 . Выборочное наблюдение
Выборочное наблюдение − это вид несплошного обследования, при котором осуществляется отбор части единиц совокупности в случайном порядке, а полученные результаты распространяются на всю исходную (генеральную) совокупность с определённым уровнем вероятности.
Отбор единиц выборочную совокупность может быть повторным и бесповторным.
При повторном отборе попавшая в выборку единица совокупности возвращается в генеральную совокупность и может участвовать в дальнейшей процедуре отбора.
При повторном отборе попавшая в выборку единица совокупности в дальнейшем отборе не участвует.
Выборочное наблюдение всегда связано с определёнными ошибками, которые возникают в силу того, что всегда есть количественные расхождения между генеральными и выборочными характеристиками.
Ошибки выборки зависят от конкретного способа отбора. Способ отбора определяет механизм выборки единиц из генеральной совокупности. В практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие виды выборки: 1) собственно-случайная; 2) механическая; 3) типическая; 4) серийная.
Ошибки выборки при некоторых способах отбора. Необходимая численность выборки
Собственно-случайная и механическая выборка
47
Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системы. Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьёвки или по таблицам случайных чисел.
Собственно-случайный отбор может быть как повторным, так и бесповторным. При проведении бесповторного отбора раз отобранная единица в исходную совокупность не возвращаются и в дальнейшем отборе не участвуют. После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибка выборки.
Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формулам:
|
|
|
|
|
|
2 ~ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
w(1 w) |
|
|
|
|
|
для средней |
~ |
|
|
|
x |
, |
|
|
для доли |
|
w |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|||||||
|
|
|
х |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
~ |
− средняя ошибка средней; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ~ |
− выборочная дисперсия; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
w – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в выборочной |
||||||||||||||||||
совокупности; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
− дисперсия доли, |
2 |
|
w(1 |
w) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
w |
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 w) – доля единиц в выборке, не обладающих изучаемым признаком; |
||||||||||||||||||
n |
|
– объём выборки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельная ошибка выборки определяется по формулам: |
|
|
|
|
||||||||||||||
для средней ~ t |
~ ; для доли |
w |
t |
w |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основе предельной ошибки и выборочной средней или доли определяются пределы отклонения генеральной средней (доли):
~
х
~
х
~ |
w |
|
p w |
|
|
х х |
~ ; |
w |
w |
||
|
х |
|
|
Пример 1. Методом собственно случайной выборки обследована жирность
молока у 100 коров ( n ). По данным выборки, |
средняя |
жирность молока |
||
~ |
|
2 |
~ |
). |
оказалась равной 3,64% ( х ), а дисперсия составила 2,56 ( |
|
х |
Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.
|
|
Решение |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,56 |
|
|
|
||||
а) средняя ошибка средней |
|
|
х |
0,16% |
; |
||||
~ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
х |
|
n |
100 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
б) предельная ошибка выборки ~ t |
~ . |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
48
~
x
По |
таблице значений Ф(t) (Приложение Б) при |
0,954 t 2 . |
|
2 |
0,16 |
0,32% |
|
Следовательно, предельные значения средней жирности молока в генеральной
совокупности |
~ |
~ |
~ |
~ ; |
|
|
x |
x x |
|
|
|||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
3,64 0,32 |
х |
3,64 0,32 ; |
|
|
|
|
|
3,32% |
х |
3,96% . |
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что пределы изменения средней жирности молока в генеральной совокупности будут находиться от 3,32% до 3,96%.
Можно решить и обратную задачу: задав предельную ошибку выборки,
определить вероятность, с которой она может |
быть гарантирована. При |
||||||||
этом, |
зная |
и |
, сначала |
находят |
коэффициент |
доверия |
|||
t |
|
|
, а |
затем по |
таблице |
Приложения |
Б |
определяют |
искомое значение |
|
вероятности.
Пример 2. На основе выборочного обследования 600 рабочих ( n 600 ) одной из отраслей промышленности установлено, что численность женщин составляет 240 человек ( m 240 ).
С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли
женщин, занятых в этой отрасли, допущенная ошибка ( |
w ) не превышает 5% |
||||||||||||||||
(0,05)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определяем выборочную долю: w |
m |
240 |
0,4 . Чтобы найти вероятность |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n |
600 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
допуска той или иной ошибки, из формулы |
w |
t |
w , определяем показатель t , |
||||||||||||||
связанный с вероятностью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
w |
w |
|
|
|
|
|
|
0,05 |
|
|
|
|
2,5. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
w |
w 1 w |
0,4 1 |
0,4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
||
По таблице значений Ф(t) |
(Приложение |
Б) |
для |
t 2,5 находим, что |
0,988 , т.е. с вероятностью 0,988 можно утверждать, что при определении доли женщин (0,4) в общем числе рабочих допущена ошибка не более 0,05 (5%).
При расчёте средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:
49
|
2 ~ |
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
для средней ~ |
х |
(1 |
) ; |
для доли |
|
w |
(1 |
|
) . |
||
|
|
w |
|
|
|
||||||
х |
n |
N |
|
n |
N |
||||||
|
|
|
|||||||||
Чем больше объём выборки |
и доля обследованных единиц, |
тем меньше |
|||||||||
ошибка выборки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Если предложить, |
что данные, представленные в предыдущей |
задаче, являются результатом 5%-го бесповторного отбора, т.е. объём генеральной совокупности:
|
|
|
|
N |
|
100 |
|
100 |
|
2 000 |
|
|
коров, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда средняя ошибка средней для бесповторного отбора: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ~ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,56 |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
||||
|
|
~ |
|
х |
(1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
) |
0,156% , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
х |
n |
|
|
|
|
N |
|
|
|
100 |
2000 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а предельная ошибка средней: |
|
~ |
|
|
t |
~ |
|
|
2 0,156 |
|
0,312% . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, пределы отклонения генеральной средней будут находиться: |
||||||||||||||||||||||||||||
~ |
~ |
~ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
~ х х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,64 |
0,312 х 3,64 0,312 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3,328% |
|
|
|
х |
3,952% . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Средняя ошибка выборки для доли при собственно-случайном бесповторном |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
отборе рассчитываем по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
w(1 |
w) |
(1 |
|
n |
) . |
|||||||||||||||
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
N |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если w(1 |
w) обозначить |
2 |
(дисперсия альтернативного признака), то |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
(1 |
|
) . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 4. |
На заводе |
электроламп |
|
|
из |
партии |
продукции в количестве |
1 600 шт. ламп взято на выборку 160 шт., из которых 4 шт. оказались бракованными. Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
||||
Определим долю бракованной продукции выборки |
|
||||||||||||||||||
|
|
w |
|
m |
4 |
|
|
0,025 , или 2,5%. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
160 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При вероятности P |
0,683 |
t 1 (Приложение Б). |
|
||||||||||||||||
Размер предельной ошибки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
0,024 |
|
|
160 |
|
|
|
|||
w t w t |
|
w |
(1 |
|
|
) |
1 |
|
|
(1 |
|
) 0,011 |
, или 1,1% |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
N |
|
|
160 |
|
1600 |
|
|
|
2 w
50
0,025(1 0,025) 0,024 .
Доверительные интервалы для генеральной доли с вероятностью P 0,683 :
w |
w |
p |
w |
w ; |
2,5 |
1,1 |
p |
2,5 |
1,1; |
1,4% |
p |
3,6%. |
|
Механическая выборка применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определённая последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.).
Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объёмов выборочной и генеральной совокупностей. Так, если из совокупности в 500 000 единиц предлагается получить 2%-ную выборку, т.е. отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора
составит |
1 |
1 |
. |
|
|
|
|
||
50 |
500 000 :10 000 |
Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%- ная выборка) – каждая 20-я единица, и т.д. Такой способ отбора удобен в том случае, если заранее известны границы генеральной совокупности.
Типический (стратифицированный, расслоенный, районированный) отбор
Типический отбор используется в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности можно разбить на несколько типических групп. При обследовании населения такими группами могут быть, например, районы, социальные, возрастные или образовательные группы, при обследовании предприятий – отрасль или подотрасль, форма собственности и т.п. Типический отбор предполагает выборку единиц из каждой типической группы собственнослучайным или механическим способом.
Наиболее часто применяется так называемое пропорциональное размещение (пропорциональная типическая выборка), когда количество отбираемых в выборку единиц пропорционально удельному весу данной группы по числу единиц в генеральной совокупности, т.е. число наблюдений по каждой группе
определяется по формуле n n |
Ni |
, |
|
||
i |
N |
|
|