5560

ПР12. Умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю, а затем – на выражение, сопряжённое к знаменателю. Сократив скобки,

раскройте неопределённость 00 :

1) а) lim																x							1						2					;										б) lim																				x										1							2									;																			в)						lim														x				10								3					;							г) lim																	x							9				3				;
						x 5										x 4 3																																				x 3												x 2 1																																																			x				1											x 5 2																													x 0							2											x 4
2) а) lim															2x								1						1							;								б) lim																					4x									9																		3			;														в) lim														2											x							1				;								г) lim																3x								2				2									;
						x	0									x 4 2																																				x		0										x 2																											2																								x				3								3x 7 4																																x 3							1											3x 1
																																																																																																																																																									2
3) а) lim															3x								2																x					2		;																б) lim																									3x 1																							x					3				;																		в)						lim																		3x 7																1									;
						x	2																x 5 3																																															x				1																			2x 7 3																																																		x								2				x 5																			2x 7
4) а) lim																	3x						2																	x				2					;													б)								lim																				2x									3														x						2					;													в)						lim														3x									7												x			3									.
															2x 5																																																																										2x 6																							3x 7																																											2x 5
						x	2																															3x 3																																x				1																																																																					x								2																										4x 9
		Пример 17. Умножим, чтобы получить разность квадратов:
lim					3x 16 4																																			3 0 16 4																																									0														lim														3x 16 4 3x 16 4 x 5																																																																				5
																																																																																	0
						x 5																	5																	0 5																				5																																																		x 5																			5 x 5																									5 3x 16 4
x	0																																																																																														x				0
						lim									3x								16												16												x							5													5																	lim										3x												x					5												5										3lim																x				5													5
						x 0														x 5 5 3x 16 4																																																																	x 0 x 3x 16 4																																																			x 0												3x 16 4
												3										0							5											5					3										2					5																	6				5										1,677.
																																																						4						4																					8
														3 0															16											4
		Пример 18. Так же, как в примере 17,
lim							5x 1																				x 7																											5 2 1																											2 7																														3 3												0
					6x 4																			3x 10																					6 2 4																																				3 2 10 4 4																																										0
x	2
						lim															5x 1																					x 7 5x 1																																													x 7 6x 4																																									3x 10
																		6x 4																						3x 10 6x 4																																																				3x 10 5x 1																																									x 7
						x	2
						lim								5x									1													x				7														6x						4																						3x									10																	lim									4x						8												6x								4													3x										10
															6x 4																					3x 10																									5x 1																													x 7																																																																					x 7
						x	2																																																																																																						x		2									3x 6 5x 1
						lim						4 x											2												6x									4												3x											10																				4					lim										6x									4														3x								10
						x 2								3 x 2 5x 1																																												x 7																													3 x 2													3 5x 1																														x 7
					4								6 2										4																	3 2					10															4							4														4										4								8												16								1,778.
					3																																																							3							3														3										3								6												9
														5 2															1											2					7
		Иррациональные пределы при x																																																																									в случае неопределённости																																																																														нахо-

дят подобно рациональным, при помощи старших степеней, а в случае неопре-

делённости сводят её к при помощи сопряжённого выражения.

26

Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел

ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:

1) а) lim

sin x

;

б)

lim

sin x

;

в) lim

cos x

;

г)

lim

sin x

;

д)

lim

cos3x

;

x 0

x

1

x

x

x 0

x 2

x

sin 3x

x

cos4x

2

6

4

2) а) lim

x

;

б) lim

1

sin x

;

в)

lim

x

;

г)

lim

cos x

;

д)

lim

cos6x

.

x

cos x

x 0

sin 3x

x

cos3x

x

x

x

cos4x

2

6

8

Пример 19. Легко видеть, что

а)

lim

x

/ 2

/ 2

/ 2

;

cos 2

/ 2

cos

1

2

x

cos2x

2

sin 3x

sin 3

/12

sin

/ 4

2 / 2

2

2

б)

lim

2 .

cos4x

cos 4

/12

cos

/ 3

1/ 2

2

1

x

12

Предел

lim

sin x

1 помогает,

если

при

вычислении тригонометрических

x 0

x

функций получается

неопределённость

0

.

Оказывается,

если

при x

x0

0

функция

x

0 , то выполнено приближённое равенство

sin

x

tg

x

arcsin

x

arctg

x

x ,

и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если ар-

гумент

x

0 , указанные функции являются эквивалентными бесконечно ма-

лыми (предел их соотношения равен 1).

Так,

arcsin 0,002

0,002,

tg ln 0,97

ln 0,97 ,

поскольку ln 0,97 0 . Как приме-

нить это при вычислении пределов, показано в примерах.

ПР14. Раскройте неопределённость

0

при помощи эквивалентных беско-

0

нечно малых величин:

1)

lim

sin 2x

;

б) lim

5x

;

в) lim

sin 3x

;

г) lim

arctg 2x

;

д) lim

sin3x

;

x 0

3x

x

0

sin 3x

x 0

sin 4x

x 0

3x

x 0

tg 4x

sin2 2x

sin2 3x

sin2

2)

lim

; б) lim

; в) lim

x

;

г) lim

sin 4x

;

д) lim

sin x

.

x2

sin2 2x

sin 2x

x 0

x

0

x 0

x 0

2x

x 0

x

x

27

Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то

а)

lim

sin 6x

sin 6 0

0

lim

6x

lim

6

3;

arctg 2x

arctg 2 0

0

2x

2

x

0

x 0

x

0

б)

lim

sin2

6x

sin2

6 0

02

0

lim

6x 2

lim

36x2

lim

36

2

;

2 sin2 3x

2 sin2 2 0

02

0

3x 2

18x2

18

x

0

x

0 2

x

0

x 0

в)

lim

sin 4x

sin 4

0

0

0

lim

4x

lim

2

x

2

0,22 .

0

9

3sin

9x

3sin

9

0

0

3

9x

3 3

x

x

0

x 0

x 0

ПР15. Раскройте неопределённость

0

при помощи эквивалентных беско-

0

нечно малых и тождества 1

cos

2 sin2

:

2

1) а) lim

1

cos x

;

б) lim

1

cos4x

;

в) lim

1

cos2x

;

г) lim

1

cos4x

;

x2

sin2 6x

x 0

x

0

x

0

1

cos3x

x

0

cos3x

1

2) а) lim

1

cos x

;

б) lim

sin 4x

;

в) lim

1

cos x

;

г) lim

cos2x2

1

.

sin3x

1

cos2x

cos6x2

1

1

cos

x

x 0

x

0

x

0

x

0

Пример 21. lim

1

cos6x

1

cos 6 0

1

cos0

1

1

0

1

cos4x

1

cos 4 0

1

cos0

1

1

0

x

0

lim

2 sin2

6x / 2

lim

sin2

3x

lim

3x

2

lim

9x2

lim

9

2,25.

2 sin2

4x / 2

sin2

2x

2x

2

4x

2

4

x 0

x

0

x

0

x

0

x

0

2 sin2

6x / 2

2 sin2 3x

Пример 22. lim

1 cos6x

0

lim

lim

2 sin2

x

0 1

cos4

x

0

x 0

4

x / 2

x

0 2 sin2

2

x

lim

2

sin 3x

lim

2

3x

lim

3

2x

lim

3

2

3

2

0,525

2

8x

8x

8

8

x

0

2 2

x

x

0

x

0

x

0

(учли, что по смыслу задачи x

0 , иначе

не существует).

x

При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:

tg x 2 sin

2

x

x x2

lim

tg x

sin x

lim

tg x 1

cos x

lim

2

2

lim

1

.

x3

x3

x3

x3

x 0

x 0

x 0

4 x 0

2

Попытка перейти в числителе к разности x

x приведёт к ошибке: либо решим,

что в числителе «чистый» 0, и потому ответ равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.

28

Второй замечательный предел

Предел	lim 1	1		x	e	2,718 применяют для раскрытия неопределённостей
		x
	x
вида 1 ,	связанных				с	показательными функциями f x a x . Равносильное
		1				2,718
свойство: lim 1 y			y	e
y	0

Однако, как при вычислении любого предела, начинать следует с подстановки предельной точки. Если вместо точки указана бесконечность, пытаются упростить пример, найдя предел основания, степени и т.п. И только при возникновении неопределённости применяют замечательный предел.

Схема применения 2-го замечательного предела

Пусть при x

x0 оказалось, что g x

1 , а h x

. Тогда

g x

h x

1 .

Считаем, что g x

1

x , где

x

0 при x

x0 . Тогда

g x h x

x h x

1

x h x .

1

1

x

x

1

1

x h

x

x h

x .

Поскольку lim 1

x

x

e , то lim 1

x

x

lim e

x

x0

x

x0

x x0

Найдём предел lim

x h x , и если он равен числу A, то весь предел равен eA .

x

x0

ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:

1) а) lim

1

x

2 x ;

б) lim

1

x

2 x ;

в) lim

2

x

x ;

г) lim

1

x

2 x ;

2x

2x

3x

2x 2

x 1

x 2

x 1

x 0

2) а) lim

5

x

x 1

;

б) lim

5

x

x

1

;

в) lim

5

2x

2 x ;

г)

lim

5

2x

2 x .

5 x

5 x

5

3x

5 3x

x 0

x 1

x 1

x 1

Пример 23. lim

5

x

1 x

5

2

1 2

7

1

2

0,286 .

4

x

4

2

2

7

x

2

ПР17. Найдите пределы, воспользовавшись свойствами показательной функ-

ции y

a x , а именно – её значениями при x

, когда a

1 или 0

a 1:

x 1 x

x 1

x

3x 1

x

3x 1

x

1)

а)

lim

;

б) lim

;

в) lim

;

г) lim

;

2x 1

2x 1

2x 2

2x 2

x

x

x

x

2)

а)

lim

x 1

x ;

б) lim

3x 1

x ;

в) lim

3x 1

x ;

г) lim

2x

4

2 x .

2x 1

2x 4

2x 4

3x 5

x

x

x

x

29

В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.

Пояснение. Если		a 1, то	lim a x	и	lim a x	0 . Если 0 a 1, то
			x		x
lim a x	0 и lim a x	. При a	0 зависимость		f x a x	не является функцией
x	x

(точнее, это функция, разрывная в каждой действительной точке).

Пример 24.

lim

3x

2 4 x

? Видно, что

2x

1

x

lim

3x

2

lim

3x

lim

3

1,5 .

2x

1

2x

2

x

x

x

Тогда, поскольку при a

1,5

1 величина a

обращается в 0,

lim

3x

2

4 x

lim 1,54 x

1,54

1,5 4

1,5

1

1

0 .

2x

1

1,5

x

x

Пример 25.

lim

4x

7 2 x

? Находим

5x

3

x

lim

4x

7

lim

4x

lim

4

0,8 .

5x

3

5x

5

x

x

x

Основание a

0,8

1 , а в этом случае a

0 . Поэтому

lim

4x

7

2 x

lim 0,82 x

0,82

0,8 2

0,8

0 .

5x

3

x

x

4x

5

x

Пример 26. lim

? Здесь

3x

1

x

lim

4x

5

lim

4x

4

.

3x

1

3x

3

x

x

4

x

3 x

Но функция y

– это то же, что y

. А эта функция стремится к 0 при

3

4

4x

5

x

0, x

x

и обращается в

при x

. Тогда lim

.

3x

1

, x

x

30

ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость 1 , когда аргумент стремится к бесконечности:

x

x

2 x

x

2

2

1

2

1) а)

lim 1

б)

lim 1

3

;

в)

lim 1

;

г)

lim 1

4

;

x

x

3x

3x

x

x

x

x

x

x

x

x

2 x

3 x

x 3

x 2

2) а)

lim

б)

lim

2

;

в)

lim

4

;

г)

lim

3

;

x

x

x

x

x

x

x

x

x 2 x

x

x

x

x 2

x 2

x 1

2

3) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

x

x 3

x

x

3

x

x 3

x

x

3

x

x

x

x

2x 2

3x 2

4x 2

4x 3

2

3

4) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

2x 1

3x 1

4x 3

4x 1

x

x

x

x

3x

5x 2 2 x

x

x

4x 2

3x 2

2

6x 2

4

5) а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

.

4x 3

5x 4

3x 5

6x 5

x

x

x

x

x

x

4

x

4 x

4

2

4

6

4

4

x

6

Пример 27.

lim 1

1

lim 1

lim e x 6

lim e 6

e 3 .

x

x

x

x

x

x

x

2x

4

Пример 28. Найдём lim

5

1

. Представим основание так:

2x

3

x

2x 4

1

2x 4

1

1

2x 4 2x 3

1

7

2x 3

2x 3

2x 3

2x 3

(а лучше сразу заметить, что

2x

4

2x

3

7

1

7

).

2x

3

2x

3

2x

3

x

x

Тогда

lim

2x

4

5

lim 1

7

5

lim 1

7

2x

3

2x

3

2x

3

x

x

x

Но lim

7x

lim

7x

7

0,7 . Поэтому lim

2x

4

10x 15

10x

10

2x

3

x

x

x

2 x		3 7					x		7 x
7				2 x	3 5
								lim e10 x		15 .
								x
x
5				lim e0,7 e0,7						2,014 .

x

ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость 1 , когда аргумент стремится к 0:

1)

а) lim 1

2x 1 x ;

б) lim 1

2x 3 x ;

в)

lim 1 3x

1 x ;

г)

lim 1 3x

1 x ;

x 0

x 0

x

0

x

0

1

2

3

1

2)

а) lim 1

x

x

;

б) lim 1

x

x

;

в)

lim 1

x

x

;

г)

lim 1

2x

x

.

2

3

2

3

x 0

x 0

x

0

x

0

31

Пример 29. Преобразовав степень, получаем

2

1

2

2

6 x

а)

3x

lim e x 3x

lim e x e 6 ;

lim 1 3x

x

1

lim 1 3x

3x

x

x 0

x 0

x 0

x 0

		2
б)	lim 1	3x 5 x			1	lim 1	3x
		4					4
	x 0					x 0

ПР20. Найдите пределы

4

3x

2

3x

2

6 x

3

3x

4

5x

lim e 4

5 x

lim e 20 x

e 10 .

x 0

x 0

1

1

1

1

1) а)

lim

2x 1

x 1

;

б)

lim

x

x 2

;

в)

lim

x

x 1

;

г) lim

3x 4

x 2

;

x

3x 4

2x 1

x

x 1

x 2

x 1

x 2

2

1

2

2

2) а)

lim

3x 1

x 1

;

б)

lim

5x 3

2 x

;

в)

lim

x 4

x 1

;

г) lim

3x 8

x 2

.

x 1

2x 3

2 x

x

x 1

x 2

x 1

x

2

1

1

Пример 30. Найдём lim

4x

3 x 3

9

0

1 . Здесь

2x

3

9

x

3

4x 3

1

4x 3

1 1

4x 3 2x 3

1

2x 6

,

2x 3

2x 3

2x 3

2x 3

и тогда

1

1

2 x 3 2 x 6

1

2 x

6 1

4x 3 x 3

2x 6 x 3

2x 6 2 x 6 2 x 3 x 3

lim

lim 1

lim 1

lime 2 x

3 x

3 .

2x 3

2x 3

2x 3

x 3

x 3

x 3

x 3

В степени присутствует

0

, но

2x

6

1

2 x

3

2

, поэтому

0

2x 3 x 3 2x 3 x 3 2x 3

2 x 6 1

2

2

2

lim e 2 x 3 x 3

lim e 2 x

3

e 2 3

3

e 9 . Это и есть ответ.

x 3

x 3

1

Пример 31. Найдём

lim tg x

cos 2 x

1

. Представив tg x

x

4

1

1

tg x 1

tg x 1

ем, что lim 1

tg x 1

lim 1 tg x

1

lim ecos 2 x

cos 2 x

tg x

1

cos 2 x

x

x

x

4

4

4

1 tg x 1 , получа-

			tg x	1
lim			cos 2 x
ex				.
	4

Теперь находим lim													tg x		1			0				. Преобразуем показатель степени так:
													cos2x							0
								x
						4
							sin x						1
	tg x	1																1								sin x					cos x													1
							cos x																																									.
	cos2x					cos2 x							sin2 x					cos x					cos x sin x							cos x sin x									cos x					cos x		sin x
Тогда lim				tg x		1												1													1							4						4			1.
				cos2x																																									2	2
																																						2 2 2
	x											cos				cos							sin						2		2
		4																														2
														4					4					4
																													2				2

Ответ: e 1 .

32

§ 5. Непрерывность функций

Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.

Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:

а) в точках, где функция «переопределяется»; б) в точках, где функция не существует.

Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.

Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция f xx(целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целом x. Подобные вопросы выходят за рамки пособия.

Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.

Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность

Функция задана кусочно, если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.

Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.

Пример 1. Покажем, что функция f x	3	x,	x	1	непрерывна.
	x2	1,	x	1

Функция f x 3 x элементарна и потому непрерывна в тех точках, в которых определена. Но, очевидно, она определена во всех точках. Следовательно, во всех точках она и непрерывна, в том числе при x 1, как требует условие.

То же справедливо для функции f x x 2 1 , и при x 1 она непрерывна.

В таких случаях непрерывность может нарушаться только там, где функция переопределяется. В нашем примере это точка x 1. Проверим её, для чего найдём пределы слева и справа:

33

а)

lim f

x

1

0

1

f

x

3

x

lim 3

x 3

1

0

3

1

2 ;

x

1 0

x 1 0

б)

lim f

x

1

0

1

f

x

x2

1

lim x2

1

1

0 2

1

1

1 2 .

x

1 0

x 1 0

Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:

а) определена ли функция в самой точке x

1;

б) если да, то совпадает ли f

1 со значениями пределов слева и справа.

По условию, если x

1, то f x

x 2

1 . Поэтому f 1

12

1

2 .

Видим, что lim

f

x

lim

f

x

f x

(все равны числу 2). Это означает, что в

x 1 0

x 1 0

точке x

1 функция непрерывна. Итак,

функция непрерывна на всей оси, вклю-

чая точку x

1.

Замечания к решению

а) При вычислениях не играло роли, подставляем мы в конкретную формулу число 1 0 или 1 0 . Обычно это важно, когда получается деление на бесконечно малую величину, поскольку влияет на знак бесконечности. Здесь же 1 0 и

1	0 отвечают только за выбор функции;
	б) как правило, обозначения	f 1 0 и lim f x равноправны, то же касается
		x 1 0
обозначений f 1 0 и lim f x		(и справедливо для любой точки, а не только для
	x 1 0
x	1). Дальше для краткости применяются обозначения вида f 1 0 ;
	в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фак-

тически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим. В примере таковым оказалось 2-е неравенство.

	Пример 2. Исследуем на непрерывность функцию	f x	4	x2 , x	3	.
			2x	11, x	3

По тем же причинам, что в примере 1, непрерывность может нарушаться только в точке x 3. Проверим:

а) f 3 0	3 0 3	f x	4 x2 4 x2	x 3			4 32	5 ;
б) f 3 0							2 3 11 5 .
	3 0 3	f x	2x 11 2x 11			x 3
Пределы слева и справа равны, но в самой точке							x 3 функция не определена

(неравенства строгие). Это означает, что x 3 – точка устранимого разрыва.

34

«Устранимый разрыв» означает, что достаточно или сделать любое из нера-

венств нестрогим,	или придумать для отдельной точки x	3 функцию, значение
которой при x 3	равно –5, или просто указать, что f 3	5 , чтобы вся функ-
ция f x стала непрерывной.
Ответ: точка x	3 – точка устранимого разрыва.

Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.

Пример 3. Проверим, непрерывна ли функция f x

cos x,

x

0

2,

x

0.

В точке x

0

а) f 0

1;

0

0 0

0

f x

cos x

cos x

x 0

cos0

б) f 0 0

0 0 0

f x

2 2

x 0 2 .

Пределы слева и справа различны: 1

2 .

Независимо от того, определена ли

функция при

x 0 (да) и если да, то чему равна (равна 2), точка

x 0 – точка

неустранимого разрыва 1-го рода.

В точке x

0 происходит конечный скачок (от 1 к 2).

Ответ: точка x

0 – точка неустранимого разрыва 1-го рода.

Замечание 2. Вместо 0

0 и 0

0 обычно пишут

0 и

0 соответственно.

Возможен вопрос: чем отличаются функции

f x

cos x,

x 0

и f

x

cos x,

x 0

,

2,

x

0

2, x

0

а также их графики? Правильный ответ:

а) 2-я функция не определена в точке x

0 ;

б) на графике 1-й функции точка

0;2

«закрашена», на графике 2-й – нет

(«выколотая точка»).

Точка

0;1 , где обрывается график cos x , не закрашена на обоих графиках.

Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.

35