5585

§ 12. Линейные и однородные дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка – это уравнение ви-

да y	P x y Q x , где функции P x , Q x	известны. Предполагается, что реше-
ние	y x определено во всех точках, в которых определены функции P x и
Q x . Есть 2 основных способа решения таких уравнений.
1-й способ. Ищем решение в виде y x		u x v x или кратко, y uv . Функцию
u x	находим по собственному усмотрению, а функцию v x так, чтобы с учётом

найденного u x уравнение обратилось в тождество.
Для краткости обозначим P			P x	и Q	Q x .
Заметим, что	y x	u x v x	u x v x , или y u v			uv . Тогда уравнение
y Py Q превращается в u v			uv	Puv	Q .
Подберём u x	так,	чтобы выполнялось равенство u v				Puv . Разделив на v,
получаем уравнение с разделяющимися переменными u						Pu . Находим его ре-

шение – функцию u, и подставляем в то, что осталось, а именно, в уравнение

uv	Q . Находим v и тем самым – общее решение y			uv .
	Функции u x	и v x	равноправны, поэтому можно вначале решать уравнение
uv	Puv , т.е. v	Pv ,	а затем при полученном v x	–	оставшееся уравнение
u v	Q . Результат получится тот же.
	2-й способ. Решаем соответствующее уравнение			y	P x y . Получаем неко-

торое y x, C . Но С считаем не константой, а функцией C x .

Производную от y x, C x подставляем в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение относительно C x . Решив его, записываем окончательный ответ.

Трудоёмкость способов примерно одинакова.

ЛО1. Найдите общее и частное решение линейного дифференциального уравнения. Сделайте проверку:

а) y

y

x2 , y 2 0 ;

б)

y

y

x3 , y 1 2 ;

в) y

2 y

x2 , y 1 2 ;

x

x

x

г) y

y

x4 , y 1 0 ;

д)

y

2

;

е) y

3y

1 .

y

x, y 1

x , y 1

x

2x

5

2x

72

Пример 1. Решим уравнение

y

4 y

x в общем виде 1-м способом, затем

x

найдём частное решение для условия y 1

3.

Пусть y

uv , соответственно y

u v

uv . Тогда u v

uv

4uv

x . Подберём

x

функцию u, чтобы выполнялось u v

4uv

,

или u

4u

.

x

x

Поскольку u

du

, то

du

4

u

, откуда

du

4

dx

. Из интеграла

du

4

dx

dx

dx

x

u

x

u

x

находим, что ln u

4 ln x . По свойствам логарифма u

x4 .

Подставив u

x4

в оставшуюся часть (в uv

x ), получим, что

x4v

x , или

v

x 3 , поэтому v

x

3dx

x

2

C . Остаётся перемножить полученные u и v.

2

Общее решение уравнения – функция y

x4

0,5x 2

C , или y

Cx 4

0,5x2 .

Из условия y 1

3

найдём C. Подставим x

1

и

y

3

в общее решение:

3

C 14

0,5 12 , откуда C

3,5 . Функция y

3,5x4

0,5x2

– частное решение.

Подставив y

3,5x4

0,5x2 и y

3,5x4

0,5x2

14x3

x

в исходное уравне-

ние, проверим, выполнено ли оно для всех x:

14x3

x

4 3,5x3

0,5x

14x3

x

14x3

2x

x .

Получили тождество x

x . Уравнение решено верно.

Ответ: общее решение y

Cx 4

0,5x2 , частное решение y

3,5x4

0,5x2 .

Пример 2. Найдём 2-м способом общее решение уравнения y

y

1

, а за-

3x

x

тем – частное решение для условия y

1

0 .

Решаем уравнение

y

y

0 . Оно равносильно уравнению

dy

y

, в ко-

3x

dx

3x

тором можно разделить переменные: dy

y

dx , затем

dy

1

dx

.

3x

y

3 x

dy

1

dx

1

ln

x

Интегрируем:

, получаем ln

y

C .

y

3

x

1

3

Удобно считать, что

ln

x

ln C , тогда по свойствам логарифма будет

ln

y

1

3

1

ln y

ln

Cx 3

, откуда y

Cx 3

(знак C определится начальным условием).

73

	1				1	4		1
	Теперь считаем, что C C x . Найдём y C x 3			C		x 3		C x 3
					3

подставим вместе с решением y в исходное уравнение:

C3 x

4

3 и

1

C x 3

C3 x

4

3

1
Cx 3			1		.
3x				x

			1
		x	3			4		1
	Но				x 3		, и остаётся C x 3
		x

				1
	1		x 3				2
		, что равносильно C				, или C x 3 .
	x		x

2

1

Поэтому C

, где C уже – обычная постоянная.

x 3 dx

3x 3

C

1

1

1

1

C1

Таким образом,

y

3x 3

C

x 3 , т.е. y 3

– общее решение уравнения.

1

3 x

Подставив в него

x

1 и y

0 из начального условия y 1

0 , получаем,

что 0 3

C1

, т.е.

0

3

C

и тем самым C

3 . Частное решение:

y 3

3

.

3

1

1

1

3

x

	Подставим y x и его производную					y
		4	1				1
	часть исходного уравнения: x 3				3	3x 3
				3x

		3		1				4
										в левую
3					3 x 3			x 3
3			x

.

Упростив, получаем 1x , что совпадает с правой частью. Решение верно.

Ответ: общее решение y 3	C1			, частное решение y 3	3			.
	3 x				3 x

ЛО2. Найдите общее и частное решение линейного дифференциального уравнения. Сделайте проверку:

а) y y e3x , y 0	2 ;			б) y y e2 x , y 0		0 ;	в) y 3y 2e 3x , y 0			1 ;
г) y 4 y e2 x , y 0 1 ;				д) y 2 y 4e x , y 0 1;			е) y 2 y		e3x , y 0	2 .
Пример 3. Решим 1-м способом уравнение y						5y		4e 2 x , y 0	3.
Снова считаем, что y			uv и соответственно			y	u v	uv , тогда уравнение за-
пишется как u v uv	5uv		4e 2 x , или u v uv 5uv				4e 2x .
Составляем систему		u v		5uv	и решаем 1-е уравнение, сократив на v:
		uv		4e 2 x

74

u 5u

du

5u

du

5dx

du

5 dx ln u 5x u e5x .

dx

u

u

Подставим u

e5x во 2-е уравнение:

e5x v 4e 2 x

v 4e 7 x

v 4 e 7 x dx

v 4

e 7 x

C .

7

Тогда y

e5x C

4

e 7 x

. Упростим: y

Ce5x

4

e 2 x . Это – общее решение.

7

7

Чтобы найти частное, подставляем в общее x

0 и y

3, согласно начально-

му условию. Получаем,

что 3

Ce5 0

4

e 2 0 , или 3

C

4

. Тогда C 3

4

25

.

7

7

7

7

Записываем частное решение y

25

e

5x

4

e

2 x

.

7

7

Проверим, что эта функция – решение задачи. Найдём производную

y

25

e

5x

4

e

2 x

125

e

5x

8

e

2 x

7

7

7

7

и подставим в левую часть уравнения y

5y

4e 2 x :

125

e

5x

8

e

2 x

5

25

e

5x

4

e

2 x

0e

5x

28

e

2 x

4e

2 x

.

7

7

7

7

7

Результат совпадает с правой частью:

4e 2x

4e 2 x

при любом x.

Также y 0

25

e

5 0

4

e

2 0

25

4

21

3, что и должно быть по условию.

7

7

7

7

7

Ответ: общее решение

y

Ce

5x

4

e

2 x

, частное решение y

25

e

5x

4

e

2 x

.

7

7

7

Уравнение Бернулли имеет вид y

P x y

Q x y n

или приводится к такому.

Здесь n – любое конкретное число. Решается уравнение теми же способами, что

и линейное, а заменой z x

y1 n

и вовсе сводится к нему.

ЛО3. Найдите общее и частное решение уравнения Бернулли:

y

4 y

y2 , y 1

y

y3

а) y

y, y 1 e ;

б) y

1;

в) y

, y 1

3 ;

x

x

x

г) y

2 y

y, y 1 3e ;

д) y

3y

y, y 2 e2 ;

е) y

2 y

3y, y 1 2e 3 .

x

x

x

75

Пример 4. Решим уравнение y

6 y

y2

с условием y 2

7 .

x

Пусть y

uv и y

u v

uv , тогда

y 2

u2 v 2 и u v

uv

6

uv

u2v2 .

x

u v

6

uv

Составляем систему

x и решаем 1-е уравнение, сократив на v:

uv

u2 v 2

u

6

u

du

6

u

du

6

dx

du

6

dx

ln u

6 ln x

u

x6 .

dx

x

u

x

u

x

x

Подставим u

x6

во 2-е уравнение:

6

6 2

2

6

2

dv

6

2

2

6

2

6

dx ,

x

v

x

v

v x

v

x

v

v

dv x

dx

v

dv

x

dx

откуда

v 1

x7

C .

7

Выразим функцию v x : v 1

C

x7

7C

x7

и v

7

. Удобно обо-

7

7

7C

x7

значить C1

7C , тогда v

7

.

C

x7

1

Общее решение y

x

6

7

,

или

y

7x6

. Подставив x

2

и y 7 ,

C

x7

C

x7

1

1

найдём частное решение:

7 26

7x6

7

C1

128

64

C1

64

y

.

C

27

64 x7

1

Ответ: общее решение y

7x6

, частное –

y

7x6

.

C x7

64 x7

1

Однородные дифференциальные уравнения. Уравнение yf x, y назы-

вают однородным, если для любого множителя t (не обязательно числового) вы-

полнено		равенство f		tx, ty f x, y .	Это	означает,	что		фактически f x, y –
функция не от двух аргументов, а от их отношения: f							x, y		f0	y	.
										x
	Однородные уравнения можно сводить к разделяющимся при помощи заме-
ны	y x	xt x	, где t x	– новая функция. При этом по свойствам производной
y	tx	t x	tx . Но x	1, и тогда y	t x	t , где t	dt	.
							dx

76

Иногда однородное уравнение можно решить, как линейное, и наоборот – некоторые линейные уравнения решаются заменой y x xt x .

Более того, несложное уравнение может оказаться и линейным, и однородным одновременно. Соответственно решить его можно любым способом.

Пример 5.

y

6x

12y

, y x

?

3x

Заменим y

tx

и y

t x

t , тогда t x

t

6x

12tx

, или t x

t

2

4t .

3x

Отсюда

dt

dt

dx

dt

dx

1

ln C .

t x

3t

2

x

3t

2

ln

3t

2

ln x

В результате

dx

3t

2

x

3t

2

x

3

ln

3t 2

ln

Cx

3

3t 2 C x3

C1

x3

2

,

ln

3t 2

3ln Cx

t

1

3

3

где C

C 3 . Удобно заменить C

C1

, тогда t

C

x3

2

.

2

1

3

2

3

Но

y

tx ,

и получаем функцию

y

x C

x3

2

. Тем самым

y

C

x4

2

x –

2

3

2

3

общее решение уравнения.

При подстановке в уравнение слева будет y

4C

x3

2

, а справа

2

3

6x 12 C2 x4

2

x

3

12C2 x

4

6x 8x

12C2 x

4

2x

2

4C

x3

.

3x

3x

3x

2

3

При x

0 уравнение выполнено как тождество. Решение верно.

Ответ: y

C

x4

2

x .

2

3

ЛО4. Решите уравнение вначале как линейное (любым способом), затем как однородное. Найдите частное решение в каждом случае. Сравните результаты:

а) y

y

2, y 1 3 ;

б) y

y

3, y 1 1 ;

в)

y

3y

4, y 2 0 ;

x

x

x

г) y 4

5y

, y 3 2 ;

д) y

y

1, y 1 1;

е) y 1

y

, y 1 2 .

x

2x

2x

Пример 6. Пусть дано уравнение y

2 y

4 с условием y 1

2 . Решим его,

x

считая линейным (2-м способом):

y 2

y

dy

2

y

dy

2

dx

dy

2

dx

ln y 2 ln x ln C

y Cx2 .

x

dx

x

y

x

y

x

77

Считая, что C

C x , находим y

C x2

2Cx и подставляем в уравнение:

C x2 2Cx 2

Cx2

4 C x2 4 C 4x 2

C 4 x 2dx C 4

x 1

C .

x

1

1

Записав как C C

4

, получаем, что y

C

4

x2 , или y

C x2

4x .

1

x

1

x

1

Из условия y 1

2

подставляем 2

C

12

4 1, откуда C

6 и y 6x2

4x .

1

1

Теперь решим уравнение как однородное. Делаем в исходном уравнении за-

мену y

tx и y

t x

t :

t x t

2tx

4 t x t 2t 4 t x t 4

dt

x t 4

dt

dx

,

x

dx

t

4

x

откуда

ln C и

тем

самым t 4

Cx ,

где знак

C определяется

ln

t

4

ln

x

начальным

условием. Но

t

y

, поэтому

y

4 Cx , что

равносильно

x

x

y Cx 2

4x .

Видно, что общие решения одинаковы, независимо от способа. Частные решения также совпадут.

Замечание. Если ответы выглядят по-разному, можно посмотреть, нельзя ли добиться совпадения при помощи каких-то свойств элементарной математики.

Например,	решения			y 2 ln 3x	4 ln	x2		C и y	10ln x	C равносильны, по-
						6
скольку 2 ln 3x	4 ln	x2		2 ln 3 ln x	4 ln x2			ln 6	2 ln x 4	2 ln x 2 ln 3 4 ln 6 , и
	6
слагаемые 2 ln 3 4 ln 6 поглощаются постоянной C.
При этом	C и C – одно и то же обозначение произвольной постоянной.

ЛО5. Решите уравнение 2 способами – как уравнение Бернулли и как однородное. Найдите частное решение в каждом случае:

а) y

y x

, y 2 0 ; б) y

y

4x

, y 1 ln 20;

в) y

y 2x

, y 1 0 .

x

y

x y

x

y

Пример 7. Решим двумя способами уравнение y

2

y

x

,

y 3

5 .

x

y

1) Решение однородного уравнения. Заменяем y

tx и y

t

t x :

t x t

2

tx

x

t x t 2t

1

t x t

1

t x

t2

1

dt

x

t2

1

.

x

tx

t

t

t

dx

t

78

Разделяем переменные:

tdt

dx

tdt

dx

1

1

ln t 2

ln t 2

ln Cx .

1

ln x ln C

1 2

t 2 1

x

t 2

1

x

2

y

Таким образом, t 2

1

Cx . Учтём, что t

:

x

y

2

y

2

x

2

y 2

x

2

1 Cx

Cx

Cx

y 2

x2

Cx 2

x2

x2

x

Cx2 ).

(в силу произвольного знака C считаем, что Cx

x

4

.

Условие

y 3

5 означает,

что

52

32

C 32 , откуда 9C

4 , и тогда C

9

4

16

4

2

Частное решение:

y

2

x

2

x

2

, или

y

x

x

. Знак «–» невозможен

9

81

по начальному условию y 3

5

0 .

где C 2 переобозначено как C, и под-

Можно было выразить y

Cx4

x2

,

ставить так: 5

C 34

32

, и тоже исключить знак «–», при котором нельзя по-

лучить y

5 . В любом случае y

16

x

4

x

2

.

81

2) Решение уравнения Бернулли. Заменим y

uv и y

u v

uv

2

uv

x

.

x

uv

Решим уравнение u v

2

uv

, или u

2

u

:

x

x

du

2

u

du

2

dx

du

2

dx

ln u

2 ln x

ln u

dx

x

u

x

u

x

Подставим u

x2

в оставшееся уравнение uv

x

:

uv

x2v

x

x2v

1

v

1

dv

1

x2v

xv

x3v

dx

x3v

и проинтегрируем:

u v uv, подставим:

ln x2 u x2 .

vdv dxx3 ,

dx

v2

x 2

1

1

vdv

vdv

x 3dx

C v2

C v

C .

x3

2

2

x2

x2

Здесь величина 2C заменена постоянной C в силу своей произвольности.

Таким образом, y uv

x2

1

C

– общее решение. Его можно записать в

x2

виде y

x2 Cx4 .

79

Поскольку при x

3 должно быть y

5 , подставим:

16

.

32

C 34

5

5

9 81C 81C 9 25 81C 16 C

81

Частное решение

y

16

x

4

x

2

совпадает с тем, что получено 1-м способом.

81

Совпадают и общие решения.

16

x4

x2

Ответ: y

Cx4

x2

– общее решение,

y

– частное решение.

81

ЛО6. Решите однородное уравнение

а) y

2x 3y

;

б) y

2x 3y

;

в) y

2 y

;

г) y

2x

.

3x 5y

3x 5y

3x y

3x y

Пример 8. Пусть y

2x

5y

. Заменим y

tx и y

t x

t :

5x

7 y

t x t

2x 5tx

t x t

2 5t

t x

2 5t

t

t x

2 5t t 5 7t

,

5x 7tx

5 7t

5 7t

5 7t

затем

t x

2 5t 5t 7t2

t x

2 7t2

dt

x

2 7t2

5 7t

dt

dx

.

5 7t

5 7t

dx

5 7t

2 7t2

x

Как обычно,

dx

ln x ln C

ln Cx , другой интеграл разобьем на 2:

x

5 7t

dt

7t 5

dt

7

t

dt 5

dt

7

t

dt

5

dt

.

2 7t 2

7t 2

7 t 2

7 t 2

7t 2

2

2

7t 2

2

2 / 7

2 / 7

Находим

а)

t

1

d t 2

t 2

1

dz

1

2

1

t 2

2

;

dt

z

ln

z

ln

t 2

2 t 2

2 / 7

2 / 7

2 z

2 / 7 2

7

2

7

б)

dt

1

ln

t

2 / 7

7

ln

t

2 / 7

,

t 2

2 / 7 2 2 / 7

t

2 / 7

2 2

t

2 / 7

тогда

tdt

5

dt

1

ln

t 2

2

5

7

ln

t

2 / 7

.

t 2

2 / 7 7 t 2

2 / 7

2

7

7 2 2

t

2 / 7

Приравнивая результат к ln Cxи умножая на –1, решение можно записать так:

1

ln

t 2

2

5

ln

t

2 / 7

ln

C1

, где t

y

,

2

7

x

x

2 14

t

2 / 7

80

однако выразить t x

или y x

в явном виде невозможно.

ЛО7. Найдите общий интеграл однородного уравнения:

1) а)

y

y2

y

4

;

б)

y 4

y2

y

1 ;

в)

y 4

y2

y

9 ;

x2

x

x2

x

x

2

x

2) а)

y

y2

y

9

;

б)

y 4

y2

y

1 ;

в)

y 4

y2

y

9 ;

x2

x

x2

x

x

2

x

3) а)

y

y2

3

y

1

;

б)

y 4

y2

5

y

;

в)

y 4

y2

8

y

9 .

x2

x

x2

x

x

2

x

Пример 9. Пусть

y

3

y2

y

6

. По-прежнему y

tx и y

t x

t , и

x2

x

t x t

3

tx 2

tx

6 t x t

3t 2

t 6 t x

3t 2

6

dt

x

3t 2

6 ,

x2

x

dx

разделяем переменные:

dt

x

3t 2

6

dt

dx

dt

dx

1

dt

dx

,

3t 2

3t 2

3 t 2

dx

6 x

6

x

2

x

по таблице находим

1

1

arctg

t

ln Cx

1

arctg

y

ln Cx .

3

2

2

3

2

x

2

Это и есть общий интеграл уравнения.

Можно выразить y x

:

y

y

arctg

3

2 ln Cx

tg 3 2 ln Cx

y

x 2 tg 3

2 ln Cx .

x 2

x 2

Это уже – общее решение.

Задания 2) решаются так же, но применяется табличный интеграл

dt

1

ln

t

a

, где

a

0

и t

y

.

t 2

a

2 a

t

a

x

Например, уравнение y

3

y2

y

6 приводит к общему интегралу

x2

x

1

y

x

2

y

x

2

ln

ln Cx , откуда

C x6 2 .

6 2

y

x

2

y

x

2

1

Общее решение y xв явном виде существует, но выглядит громоздко.

81