5596

Можно увидеть, что необходимое условие сходимости интеграла f x dx –

a

это условие lim f x 0 . Поэтому, если при бесконечно большом аргументе

x

функция не стремится к 0, интеграл заведомо расходится. Если же функция стремится к 0, весь вопрос в том, насколько быстро это происходит.

Задача. Выясним, при каких p сходится интеграл

dx

.

1

x p

Если p

1, то

dx

lim ln B ln1

– интеграл расходится. Если же p 1, то

1

x

B

dx

B

1

B

1

1

1

x

p dx lim

x p dx

lim

lim

.

x p

1 p x p 1

1 p

B p 1

1p 1

1

1

B

1

B

1

B

Предел

lim

1

существует и конечен, если p 1

0 – в этом случае бесконеч-

B

p 1

B

ность остаётся в знаменателе и предел равен 0.

Ответ: интеграл равен

1

при

p

1 и расходится при p

1.

p

1

Иногда бесконечен не верхний, а нижний предел интегрирования (например, при изучении инвестиций, сделанных в прошлые годы):

a	a
f t dt lim	f t dt lim F a F B	F a	lim F B .
B	B		B
	B
Реже встречаются интегралы по всей числовой оси		f t dt	lim F B	lim F A .
			B	A

Несобственными интегралами 2-го рода называют интегралы от функций,

неограниченных в одном из концов отрезка интегрирования. Для их вычисления также переходят к пределу:

Пример 5. Поскольку функции не существуют в одном из концов отрезка,

4

dx

4

dx

а)

lim

lim 2 4

2 a 4

lim2 a

4 2 0

4 ;

x

x

0

a 0

a

a 0

a 0

1

dx

1

dx

б)

lim

lim arcsin1

arcsinb

arcsin1

arcsin0

.

2

0

1 x2

b 0 b 1 x2

b 0

Такие интегралы в экономике возникают редко и более характерны для исследований в области астрофизики и геологии.

61