5665

Во втором случае m	500 и так как n					900, то m удовлетворяет следующему дву-
стороннему ограничению: 500				m	900 ; получим
P900 m 500	P900	500		m	900		900		810		500		810
							9						9
		310			10	0,5	0,5		1.
		9
Этот результат означает, что событие m						500		практически достоверно.
Ответы: 1) P900 700	m	800		0,1335 ; 2) P900 m					500		1.

Пример 33. На научную конференцию приглашены 100 человек, причём каждый прибывает с вероятностью 0,8. В гостинице для гостей заказано 70 мест. Какова вероятность, что все приехавшие будут поселены в гостинице?

Решение. По условию можно считать, что задана схема независимых испытаний Бернулли B n, p , где n 100, p 0,8 , q 1 p 0,2 . Если обозначим через m – число приехавших на научную конференцию, искомая вероятность может быть записана как

P 0 m 70 . Так как npq 100				0,8 0,2					16 9 , то можно для вычисления использо-
вать приближённую формулу (1.14):
P 0 m 70	70		100				0,8		0		100		0,8	2,5	20
				16							16
	0,4938			0,5					0,0062.

Заметим, что при вычислениях были использованы табличные значения нечётной функции (1.16).

Ответ: 0,0062.

Пример 34. Страховая фирма заключила 10000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 1 %. В каких границах с вероятностью 0,9 лежит количество страховых случаев?

Решение. Из условия задачи следует, что можно действовать по схеме независимых

испытаний Бернулли B n, p , где n

10000, p

0,1, q

1

p

0,9 . Обозначим через m –

число страховых случаев. Очевидно, что npq

10000 0,1 0,9

900 9. Поэтому использу-

ем приближённую формулу (1.15), в несколько видоизменённом варианте:

m

np

.

P

P

m

np

npq

2

npq

В нашем случае 2 0,9 , или 0,45 . Из таблицы для функции Лапласа (1.15) находим, что 1,65 . Получаем границы изменения числа страховых случаев:

m 100000,1 1,65900 , или 1000 49,5 m 1000 49,5 .

Тогда 950,5 m 1049,5 и так как m – целое число, то 951 m 1049.

Ответ: 951 m 1049.

41

Модуль 2. Случайные величины

Пример 1. Три стрелка производят по одному выстрелу в намеченную цель. При проверке их квалификации были получены следующие статистические сведения по качеству их стрельбы: у первого 80 % попаданий в цель, у второго – 70 %, у третьего – 60 %. Составить ряд распределения случайной величины X – числа попаданий в цель всеми стрелками.

Решение. Очевидно, что X есть дискретная случайная величина со значениями X m:0, 1, 2, 3. Для составления ряда распределения надо найти вероятности событий X m .

В связи с этим введём следующие вспомогательные события: Ai – i -й стрелок попадёт в цель, Ai – i -й стрелок не попадёт в цель i 1, 2, 3 . Из условия задачи имеем:

P A1 0,8; P A2			0,7; P A3			0,6 .			Тогда вероятности противоположных событий Ai
таковы: P A1			0,2; P A2			0,3; P A3			0,4 .

На основании теорем сложения и умножения вероятностей с помощью алгебры событий получим следующие результаты:

																								0,024 ;
P X	0	P A1 A2 A3										0,2					0,3		0,4
P X 1 P A1 A2 A3												A1 A2 A3							A1 A2 A3
		0,8		0,3						0,4		0,2					0,7		0,4					0,2	0,3	0,6	0,096	0,056	0,036	0,188;
P X 2 P A1 A2 A3												A1 A2 A3							A1 A2 A3
		0,8		0,7						0,4		0,2					0,7		0,6					0,8	0,3	0,6	0,224	0,084	0,144	0,452;
P X	3	P A1 A2 A3										0,8					0,7		0,6					0,336 .

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

X	m		0		1	2	3
P X	m		0,024		0,188	0,452	0,336
Так как события X			m:0, 1, 2, 3		образуют полную группу (в результате опыта обя-

зательно произойдёт одно из них), то сумма их вероятностей должна быть равна единице. Легко проверить, что это свойство ряда распределения выполняется.

Отметим следующее: при вычислении вероятностей событий X					m попутно вы-
числены вероятности других событий. Например, событий A1 A2 A3 и					A1 A2 A3 . Первое

из них означает, что попадёт только первый стрелок (второй и третий промахнутся); его вероятность равна 0,096. Второе означает, что попадут первый и второй стрелки (третий промахнётся); его вероятность равна 0,224.

Ответ:

X	0	1	2	3
P	0,02	0,18	0,45	0,3
	4	8	2	36

Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины примера 1. Решение. Рассмотрим событие X x – случайная величина примет значение

меньше текущего аргумента x . Тогда функция распределения случайной величины X задаётся равенством

42

F x P X x	P	X x .	(2.1)
Для дискретной случайной величины со значениями xi			эта функция имеет вид:
F x	P X	xi ,	(2.2)
i : xi	x

где суммирование проводится по тем номерам i ,										для которых выполняется неравен-
ство xi	x . Равенство (2.2) является следствием (2.1) и теоремы сложения вероятностей.
Тогда из ответа примера 1 получим, что
								0		при		x	0,
								0,024		при	0	x	1,
							F x	0,212		при	1	x	2,
								0,664		при	2	x	3,
								1		при		x	3.
Сделаем пояснения по поводу этого результата. Если												x	0, то, согласно (2.1),
F x	P X	0	0 , так как нет значений, меньших нуля (событие X											0 невозможно).
Если	0	x	1,	то	F x	P X	1	P X	0	0,024 .			Если	1	x 2 ,	то
F x	P X	2	P X	0	P X	1 0,024		0,188	0,212		(применена теорема сложения
вероятностей несовместных событий). При 2 x									3 имеем
	F x	P X 3		P X 0		P X	1	P X	2	0,024		0,188 0,452			0,664 ,
а при X		3
			F x P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 1.

Функции вида (2.2) являются кусочно-постоянными. Их графики являются разрывными ступенчатыми линиями со скачками в точках xi . Величины скачков равны

соответствующим вероятностям P X xi . При этом в точках xi функция F x непре-

рывна слева и разрывна справа.

Рекомендуем построить примерный график этой функции.

	0	при		x	0,
	0,024	при	0	x	1,
Ответ: F x	0,212	при	1	x	2,
	0,664	при	2	x	3,
	1	при		x	3.

Пример 3. Функция распределения		F x	дискретной случайной величины имеет
вид:
	0	при	x		2,
	0,2	при	2	x	4,
F x	0,45	при	4	x	6,
	0,8	при	6	x	10,
	1	при	x		10.

Найти ряд распределения случайной величины.

43

Решение. На основании определения (2.1) и теоремы сложения вероятностей несовместных событий для дискретной случайной величины с конечным числом n

	значений xi и их вероятностями pi		P X	xi	из формулы (2.2) получим
		0		при	x	x1 ,
		p1		при	x1	x	x2 ,
	F x	p1	p2	при	x2	x	x3 ,
		..........		...	.................
		p1 ...	pn 1	при	xn 1	x	xn ,
		1		при	x	xn .

Такие действия проводились в примере 2 для конкретной случайной величины. Из последней записи видно, что случайная величина имеет своими значениями те x , при

которых выполняется равенство	x xi .	Вероятности	pi этих значений с помощью
функции F x получаются из следующих равенств:
pi F xi 1	F xi	при i 1, ..., n	1;	(2.3)
pn 1	F xn .

В данном случае получим ряд распределения:

	X	xi				2			4				6							10
	P X	xi				0,2			0,25				0,35							0,2
	Ответ:
				X		2			4		6			10
				P		0,2			0,25		0,35			0,2
	Пример 4. Закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:
	X	1				3			4		5				7			9		10
	P	0,05				0,10			0,30		0,25				0,15			0,10		0,05
Найти вероятности следующих событий: 1) 3											X		7 ; 2) X 4 ; 3)					X 7 ;
4) 5 X		10.

Решение. Если задан ряд распределения дискретной случайной величины, то вероятность появления значений с любого из промежутков a, b можно вычислить по формуле

P x	a, b	P X	xi ,	(2.4)
	i : xi	a, b
где суммирование проводится по тем индексам i , при которых точки xi				принадлежат
соответствующему промежутку	a, b (интервалу		a, b , отрезку a, b ,	полуотрезкам

a, bили a, b ).

На основании формулы (2.4) для заданной случайной величины получим следующие результаты:

1)	P 3	X	7 P X	3 P X	4 P X	5 P X 7 0,10 0,30 0,25 0,15 0,8;
2)	P X	4	P X 1	P X 3	0,05 0,10	0,15;
						44

3)	P X	7	P X	9	P X	10	0,10 0,05 0,15;
4)	P 5	X	10	P X	7	P X	9	0,15	0,10 0,25.
Ответы: 1) P 3				X 7	0,8 ; 2)		P X	4	0,15 ; 3) P X 7 0,15 ;
4)	P 5	X	10	0,25 .

Пример 5. Дискретная случайная величина задана функцией распределения F x

из примера 3. Вычислить вероятности событий 1) 4 X 10 , 2) X 4 .

Решение. Так как известен ряд распределения этой случайной величины (см. ответ примера 3), то проще всего применить формулу (2.4).

Если ряд не находить, то можно найти вероятности различных событий с помощью функции F x , применив формулу

P a X b F b F a .

(2.5)

При использовании (2.5) для дискретных случайных величин надо обязательно

помнить о её применении только для промежутков						a, b . Для дискретной случайной
величины неверны формулы
		P a	X	b	F b	F a ,
		P a	X	b	F b	F a .
Для первого события 4	X	10 этого примера полуотрезка						a, b является 4, 10 и
формулу (2.5) можно применять Так как F 10					0,8 и F 4		0,2	(см. задание функции
в примере 3), то
P 4	X	10	F 10	F 4 0,8		0,2	0,6 .

Тот же результат получаем по формуле (2.4):

P 4	X 10 P X 4 P X	6	0,25 0,35		0,6 .
Обратимся ко второму событию		X	4 .	Из вида	F x следует,	что наибольшим
значением случайной величины является			x4	10 . Тогда событие X		4 равносильно
событию 4	X 10 . Имеем дело с отрезком			4, 10 . Формулу (2.5) применять нельзя.
Поступим следующим образом. Очевидно, что справедливо равенство
	P 4 X 10 P 4 X 10 P X 10 .

Первая вероятность справа в этом равенстве уже вычислена по формуле (2.5) и

равна 0,6. Далее, p4 P X 10	1	F 10	1 0,8 0,2 (см. (2.3)). Тогда
P 4	X	10	0,6 0,2 0,8 .

Тот же результат получили бы по формуле (2.4). По формуле же (2.5) получили бы неверный результат 0,6 (проверьте это).

Ответы: 1) P 4 X 10 0,6 ; 2) P X 4 0,8 .

Пример 6. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X	1	3	4
P	P X 1	0,3	0,5

Y	2	3	5
P	0,1	P Y 3	0,4

Составить ряд распределения случайной величины 3X 2Y .

45

Решение. Прежде всего найдём вероятности P X 1 и P Y 3 . Для этого воспользуемся свойством, уже отмеченным при решении примера 1, что сумма вероятностей значений, принимаемых дискретной случайной величиной, равна единице. То-

гда P X 1 1 0,3 0,5 0,2 , а P Y 3 1 0,1 0,4 0,5 .

Теперь получим законы распределения случайных величин 3X и 2Y :

3X	3	9	12
P	P X 1	0,3	0,5

2Y	4	6	10
P	0,1	P Y 3	0,4

При получении этих рядов применено следующее свойство: если дискретная слу-

чайная величина	X принимает значения xi с вероятностями pi , то дискретная слу-
чайная величина	Z , связанная с X функциональной зависимостью Z		X , будет
принимать значения zi		xi с теми же вероятностями pi P X xi .

Для получения ряда величины 3X 2Y приведём определение суммы двух дискретных случайных величин.

Суммой двух дискретных случайных величин X и Y называется случайная величина Z X Y , принимающая все возможные значения вида xi y j с вероятностями

pij , которые для независимых случайных величин X и Y определяются равенством

				pij	P X		xi P Y	y j
(вероятности значений Z равны произведению вероятностей слагаемых). При этом
одинаковые значения величины Z						объединяются,			а соответствующие вероятности
складываются.
Для получения ряда Z				3X	2Y удобно составить предварительную таблицу:
3X		2Y			Z 3X 2Y					pij
3		4			3	4	7		0,2	0,1	0,02
3		6			3	6	9		0,2	0,5	0,10
3		10			3	10	13		0,2	0,4	0,08
9		4			9	4	13		0,3	0,1	0,03
9		6			9	6	15		0,3	0,5	0,15
9		10			9	10	19		0,3	0,4	0,12
12		4			12	4	16		0,5	0,1	0,05
12		6			12	6	18		0,5	0,5	0,25
12		10			12	10	22		0,5	0,4	0,20
Обратим внимание на				то,	что значение			Z	13 встретилось		дважды; тогда
P Z 13 0,08		0,03 0,11 .

Из определения суммы и последней таблицы получим ряд распределения случай-

ной величины Z		3X 2Y :
Z	7	9	13	15		16	18	19	22
P	0,02	0,10	0,11	0,15		0,05	0,25	0,12	0,20
				46

Очевидно,			что свойство для суммы вероятностей P Z								zi	(она равна единице)
выполняется.
Ответ:
	Z		7		9	13	15		16		18		19	22
	P	0,02			0,10	0,11	0,15		0,05		0,25		0,12	0,20
Пример 7. Независимые случайные величины									X и Y заданы следующими зако-
нами распределения:

X	-1	1	2
P	0,2	P X 1	0,5

Y	1	2	3
P	0,1	0,6	P Y 3

Составить ряд распределения случайной величины Z																		X Y .
Решение. Найдём вероятности событий P X															1		и P Y			3 . Аналогично решению
примера 6 имеем
		P X		1		1		0,2	0,5			0,3 , P Y			3		1	0,1		0,6	0,3 .
Для получения ряда величины										X Y			приведём определение произведения двух
дискретных случайных величин.
Произведением двух дискретных случайных величин X и Y называется случайная
величина Z		X Y , принимающая все возможные значения вида xi y j																					с вероятностями
pij , которые для независимых случайных величин X и Y определяются равенством
								pij	P X			xi	P Y		y j
(вероятности значений Z							равны произведению вероятностей сомножителей). При
этом одинаковые значения величины Z объединяются, а соответствующие вероятно-
сти складываются.
Для получения ряда Z							X Y удобно составить предварительную таблицу:
X			Y						Z		X Y											pij
-1		1							1	1			1							0,2	0,1		0,02
-1		2							1	2			2							0,2	0,6		0,12
-1		3							1	3			3							0,2	0,3		0,06
1		1							1 1			1								0,3	0,1		0,03
1		2							1 2			2								0,3	0,6		0,18
1		3							1 3			3								0,3	0,3		0,09
2		1							2 1			2								0,5	0,1		0,05
2		2							2 2			4								0,5	0,		0,30
2		3							2 3			6								0,5	0,3		0,15
Заметим, что значение Z								2 встретилось дважды, и P Z												2		0,18 0,05 0,23 . Из
определения произведения и таблицы получим ряд распределения:
Z		-3		-2				-1					1				2			3			4	6
P		0,06		0,12				0,02				0,03			0,23					0,09			0,30	0,15
													47

Очевидно, что свойство для суммы вероятностей P Z zi (она равна единице)

выполняется.

Ответ:

Z	-3	-2	-1	1	2	3	4	6
P	0,06	0,12	0,02	0,03	0,23	0,09	0,30	0,15

Пример 8. Найти основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и стандарт) случайной величины примера 3.

Решение. Приведём необходимые сведения. Математическое ожидание (среднее значение или центр распределения) дискретной случайной величины есть число M X , определяемое равенством

	n
M X	xi pi ,	(2.6)
	i 1

при этом в случае бесконечного множества значений предполагается, что соответ-

ствующий ряд абсолютно сходится	xi	pi	.
i 1
Дисперсия D X и среднее квадратическое отклонение (стандарт)					X	случайной
величины X определяются равенствами
D X	M X		M X 2 ,			(2.7)
	X		D X .
Однако вычисление дисперсии проще проводить по формуле
D X	M X 2		M 2 X .			(2.8)
Если случайная величина имеет размерность, то числам M X и					X	приписыва-

ется та же размерность.

Из ответа примера 3 и приведённых формул получим следующие результаты:

M X		2 0,2 4	0,25		6		0,35	10	0,2 5,5 ;
D X	4 0,2	16 0,25	36		0,35		100	0,2	5,5 2 7,15 ;
							2,674.
		X	7,15
Ответы: M X 5,5 ;	D X	7,15 ;	X		2,674 .

Пример 9. Три студента сдают зачёт по теории вероятности. Вероятность сдачи зачёта для каждого студента одинакова и равна 0,7. Составить закон распределения числа студентов, сдавших зачёт. Определить коэффициент асимметрии и эксцесс.

Решение. Понятно, что случайная величина X – число студентов, сдавших зачёт, может принимать значения 0, 1, 2, 3. Так как вероятность сдачи зачёта студентом постоянна, то для подсчёта вероятностей значений случайной величины можно исполь-

зовать схему Бернулли B n, p , где n			3, а p		0,7 :
P X	0	P 0	C 0	0,70	0,33	0,027 ;
		3	3
P X	1	P 1	C1	0,71	0,32	0,189 ;
		3	3
				48

		P X		2	P 2		C	2	0,72	0,31	0,441 ;
					3			3
		P X		3	P 3		C 3		0,73	0,30	0,343 .
					3		3
Таким образом, имеем закон распределения случайной величины X :
	X	m			0				1		2		3
	P X	m		0,027					0,189		0,441		0,343

Приступим к нахождению коэффициента асимметрии и эксцесса. Коэффициентами асимметрии и эксцессом случайной величины X называют соответственно величины

	M X 3		M X 4	3 .	(2.9)
a X		; e X
	3 X		4 X

Для вычисления искомых величин проведём предварительные вычисления, используя формулы (2.6) – (2.8):

		M X			0	0,027				1 0,189						2 0,441				3 0,343 2,1,
		M X 2			02	0,027				12		0,189				22	0,441			32		0,343					5,04 ,
					2,12
	D X		5,04						5,04			4,41			0,63,			X					D X				0,63 0,8 ,
		M X 3			03	0,027				13		0,189				23	0,441			33		0,343					12,978 ,
		M X 4			04	0,027				14		0,189				24	0,441			34		0,343					35,028 .
Из (2.9) получим
		a X		M X 3			12,978					25,35;				e X			M X			4			3		35,028				3		82,52 .
				3	X				0,83											4 X								0,84
Ответы: 1) закон распределения случайной величины X :
		X							0								1										2						3
		P				0,027										0,189											0,441						0,343
2) a X 25,35 ; 3) e X									82,52 .
Пример 10. Найти M Z									случайной величины Z из примера 6.
Решение. Из (2.6) и ответа примера 6 имеем
M Z		7 0,02 9 0,10							13	0,11				15	0,15		16	0,05				18			0,25 19 0,12								22 0,20 16,7 .
Заметим, что ответ проще получить из свойства линейности
									M c1 X					c2Y		c1M X				c2 M Y ,													(2.10)
где c1 , c2 – постоянные числа.
Так как Z		3X 2Y , то на основании (2.10) имеем
				M Z			3M X					2M Y .
Найдём числа M X							и M Y					согласно заданным законам X и Y в примере 6. По
формуле (2.6) имеем, что
									M X			1		0,2		3	0,3	4 0,5							3,1,
									M Y			2		0,1		3 0,5		5		0,4		3,7.
Тогда M Z		3	3,1		2 3,7				16,7 . Получен тот же результат.
Ответ:		M Z	16,7 .

49

Пример 11. Приживаемость саженцев данной культуры составляет, по данным контрольной проверки, 80 %. Найти закон распределения случайной величины X – числа прижившихся саженцев при 5 посаженных.

Решение. В примере речь идёт о схеме независимых испытаний Бернулли. Испытанием является посадка саженца. Число опытов равно пяти n 5. Введём события: A – отдельный саженец при посадке приживётся, A – не приживётся. По условию

имеем	p P A 0,8 , а q P A			0,2 . Очевидно, что рассматриваемая случайная ве-
личина	X принимает значения X			m:0, 1, 2, 3, 4, 5. Ясно, что вероятности этих значе-

ний надо вычислять по формуле Бернулли, которую теперь запишем в виде:
P X m Cnm p n q n m .	(2.11)

Вероятности, вычисленные по этой формуле, называются биномиальными (см. модуль 1). Закон такой дискретной случайной величины называется биномиальным.

Проведём вычисления по формуле (2.11):

P X	0	C50 0,80 0,25			0,00032 ;
P X	1	C51 0,81 0,24			5 0,8 0,0016			0,0064 ;
P X	2	C52	0,82	0,23	10	0,64	0,008	0,0512 ;
P X	3	C53	0,83	0,22	10	0,512	0,04	0,2048 ;
P X	4	C54	0,84	0,21	5	0,4096	0,2	0,4096 ;
P X	5	C55	0,85	0,20	0,32768 .

Тогда ряд распределения имеет вид:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

Знание закона распределения даёт полную информацию о самой случайной вели-

чине. Так, из полученного ряда распределения следует, что события X 0 и	X	1
практически невозможны. Наибольшую вероятность 0,4096 имеет событие X	4 . То-
гда число m0 A 4 является наивероятнейшей частотой, то есть вероятнее всего,		что

при 5 посаженных саженцах такой приживаемости (80 %) приживётся 4. Далее по

формуле (2.4) легко вычислить вероятность любого события									x a, b . Например,
P X 1 1		P X 0	1 0,00032		0,99968 . Следовательно, событие X					1 (приживёт-
ся хотя бы один саженец из 5 посаженных) практически достоверно.
	Ответ:
	X	0		1		2	3		4	5
	P	0,00032		0,0064		0,0512	0,2048		0,4096	0,32768

Пример 12. Найти основные числовые характеристики случайной величины предыдущего примера 11.

Решение. Так как ряд распределения известен, то M X , D X и X можно найти по формулам (2.6) – (2.8).

Для случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения, эти характеристики очень просто выражаются через параметры n, p закона. Именно справедливы равенства

50