Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов
..pdfМинистерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Соликамский государственный педагогический институт»
Кафедра математики и физики
В. И. Кузьминова
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
Учебно-методическое пособие
Соликамск
СГПИ
2011
УДК 37
ББК 74.202.42 К 89
Рецензенты: старший преподаватель ПНО и ВПГПУ
Ю. Ю. Скрипова,
зав. кафедрой математики и физики, кандидат педагогических наук, доцент СГПИ
Л. Г. Шестакова.
Кузьминова, В. И.
К89 Элементы алгебры в курсе математики начальных классов [Текст] : учебно-
методическое пособие / В. И. Кузьминова; ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2011. – 48 с. – 100 экз.
Пособиепредназначенодлястудентов-бакалавров,обучающихсяпонаправлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование».
Пособие нацелено на углубление и обобщение методических знаний студентов по одному из вопросов частной методики – изучения алгебраического материала в курсе математики, а также на систематизацию типов заданий, которые необходимо использовать в процессе усвоения детьми элементов алгебры.
УДК 37
ББК 74.202.42
Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ. Протокол № 17 от 10.12.2010 г.
©Кузьминова В. И., 2011
©ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт, 2011
Содержание
Введение............................................................................................ |
4 |
Из истории алгебры....................................................................... |
5 |
Общая характеристика методики изучения |
|
алгебраического материала......................................................... |
8 |
Числовые выражения.................................................................... |
9 |
Числовые равенства и неравенства.......................................... |
22 |
Тождественные преобразования числовых выражений.... |
28 |
Буквенные выражения.................................................................. |
30 |
Уравнения в начальном курсе математики............................ |
35 |
Обучение младших школьников решению задач |
|
алгебраическим методом............................................................. |
42 |
Неравенства с переменной.......................................................... |
44 |
Обучение младших школьников элементам алгебры........ |
45 |
Список литературы........................................................................ |
47 |
3
Введение
Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Рекомендуется как для очного, так и для заочного отделения.
Пособие посвящено изучению одного из вопросов дисциплины «Теоретические основы и технологии начального математического образования» – методике изучения элементов алгебры в начальном курсе математики.
В пособии даны краткие исторические сведения о зарождении алгебры как науки, раскрыты общие положения, связанные с изучением алгебраического материала в начальной школе. В пособии описана методика обучения младших школьников отдельным вопросам (числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные выражения, уравнения и неравенства с одной переменной), выделены типы заданий, которые необходимо использовать при уточнении представлений об основных понятиях алгебры.
Восполняя недостаток в учебно-методической литературе по дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяя сформировать правильный подход к изучению элементов алгебры и умение самостоятельно работать с учебно-методической литературой.
Из истории алгебры
Любой выпускник средней школы на вопрос, чему его научили на уроках алгебры, наверняка скажет: «Решать уравнения и задачи с помощью уравнений». Современные ученые придерживаются той же точки зрения на содержание алгебры. Французские математики Александр Гротендик (родился в 1928 г.) и Жан Дьедоне (родился в 1906 г.) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение полиноминальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из её основных целей».
Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затемкубические,апозжеуравненияещебольшихстепеней.Ноформа, в которой описывались алгебраические результаты, менялась до неузнаваемости. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. В папирусах, которые дошли до нас, решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объёмы сосудов, количества зерна и т.д. Все задачи с конкретными числовыми данными, но в некоторых из них уже проскальзывает теоретический интерес. Например, задача из па- пирусаКахуна(околоXVIII–XVIдон.э.):«Найтидвачислах и у,для
которых x2 + y2 = 100и x÷ y=1÷ 43» (в современных обозначения).
В папирусах она решена методом «Ложного положения». Именно,
если положить x=1, то y= |
3 |
и x2 + y2 =( |
5 |
)2. Но по условию |
|
||
4 |
4 |
|
5 |
|
|||
x2 + y2 = 102, следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: |
=8, |
||||||
|
|||||||
тогда y = 6. |
4 |
|
Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. Способы решения конкретных уравнений дают основания считать, что вавилоняне владели и общими правилами нахождения уравнений первой и второй степени.
4 |
5 |
Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что речь идёт о квадратном уравнении x2 - x = 870.
Но эти достижения ещё нельзя назвать наукой, поскольку общей теории не было.
Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Со времени кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрезков, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде формулы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формируется так: «Если отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на AB, равен двум квадратам на отрезках АС и СВвместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается длинное доказательство этого факта на геометрическом языке.
Геометрический подход к математике отражал, вероятно, определенные черты духовной жизни древних греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удивительные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго математическивыверены.Этостремлениеккрасоте,гармоничности, соразмерности, способствовало геометризации математики. Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития.
Выделениеалгебрывсамостоятельнуюветвьматематикипроизошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате захватнических войск арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на Востоке их владения простирались до самой Индии. Многие арабские халифы для укрепления своего могущества и славы поощряли развитие наук. В Багдаде, столице халифата, создаются новые условия для работы ученых.
Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при нём оборудована прекрасная обсерватория. Арабские математики на
первых парах усердно изучают труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный первой половины IX в. Ал-Хорезми. Его полное имя - Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает Мухаммед сын Музы из Хорезма из родов магов. Сохранились его сочиненияпоарифметике,астрономии,географии,календарнымрасчетам. Наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь он впервые разработал правила преобразования уравнений. Трактат назывался «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений.
Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские учёные. В XI в. знаменитый математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и ал-Бируни. В XV в. работал замечательный математик и астроном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Арабов интересовало и численное значение корней.
После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени математики пытались найти формулы решений уравнений более высоких сте- пеней.Феррарирешалуравнения4-йстепени.ЭрендридВальтерфон Чирнгауз (1651 – 1708), Самуэль Бринг (1736 – 1798 г.г.) вели поиски решения уравнений пятой степени. Проблемой решения уравнений пятой степени в 30-е годы XVIII в. занимался величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Позже продолжил исследования в этом направлении другой выдающийся математик XVIII в. Жозеф Луи Лагранж. Его исследованиями теория алгебраических уравненийбылапоставленанаправильныерельсы:вседотехпоризвестное получается с единых позиций, четко выделены трудности.
Большой вклад в историю решения алгебраических уравнений внесли Нильс Хенрик Абель (1802 г.р. – 1829 г.), Эварист Галуа (1811 г.р. – 1833 г.), жизнь которых оборвалась в раннем возрасте. Но труды их были не напрасны. Эти гениальные юноши построили фундамент современной алгебры.
6 |
7 |
Общая характеристика методики изучения алгебраического материала
Введениеэлементовалгебрывначальныйкурсматематикипозволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как алгебраическое выражение (числовое выражение, буквенное выражение), равенство (числовое равенство, уравнение), неравенство (числовое неравенство, неравенство с одной переменной). Ознакомление с буквой и её использованием как символа, обозначающего отвлеченное число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями «переменная», «функция», способствует развитию у детей функционального мышления. Алгебраическая пропедевтика позволяет осуществлять преемственность в обучении алгебраическому материалу между начальной школой и средним звеном (5 – 7 кл.), готовит к усвоению материала систематического курса алгебры в среднем (7 – 9 кл.) и старшем звеньях образования.
В основе организации процесса усвоения учащимися алгебраического материала лежат следующие положения:
–алгебраические понятия вводятся в курс математики начальной школы в тесной взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают свое развитие в зависимости от его содержания;
–включение алгебраического материала в начальный курс математики должно, прежде всего, способствовать формированию у школьников абстрактного мышления и тем самым повышать уровень усвоения ими арифметических вопросов.
Числовые выражения
Числовые (арифметические) выражения входят в систему обучения математике довольно рано, как только младшие школьники начинают знакомство с цифрами как способами именования вполне определенных конкретных чисел. При этом дети делают шаги по пути овладения математической символикой и математическим языком. В то же время, записывая число определенной последовательностьюцифр,ребенокначинаетзнакомствосотвлеченнымчислом.Над такими отвлеченными числами можно производить арифметические действия, независимо от природы числа.
Рассматриваячислакаксистемузнаков,следуетпомнить,чтооперации над ними подчиняются точно сформулированным правилам. В этой системе и строятся числовые выражения, они составляются из числовых знаков (имен чисел) и знаков арифметических действий. Каждое число есть числовое выражение. Если два числовых выражения соединить знаком действия, то полученная запись также есть числовое выражение.
Младшие школьники знакомятся с терминами «сумма», «разность», «произведение», «частное». В словарь учащихся вводятся названия арифметических действий, их компонентов (сложение, вычитание, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое, делимое). Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности, знаки действий (плюс, минус). Эта работа осуществляется при изучении смысла арифметических действий.
Далееполезнопровестиобобщениематериала.Сэтойцельюнужно раздать детям «арифметический конструктор». Он представляет собой набор цифр, знаков арифметических действий, букв, знаков математическихотношений>,<,=.Детямпредлагаетсярассмотреть содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических
8 |
9 |
действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 2 + +3 – 1 7 + 12 : 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь), по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род (записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия«числовоевыражение».Послеэтогонужнонаучитьраспознавать такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и более, чем одним (25 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу выражений назвать простыми, а другую сложными (составными). При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых выражениях.
Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой, то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что несущественно, и перевести на математический язык.
Рассмотримвариантзакрепленияпредставленийопростыхчисловых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма».
I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2 марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки
удетей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько марок стало у Коли?)
Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок
уКоли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что сделалисмарками–подарили.Показатьнапредметах:+придвинуть объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее детям предложить построить графическую модель, а затем перейти
кматематическому описанию
5 + 2.
Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации.
•В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок.
•В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка.
•В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши.
•Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2.
Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию.
Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных ситуаций.
Что общего, чем отличаются?
5 + 2 карточка появляется на доске.
II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации.
В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.)
Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше).
Далее дети под руководством учителя от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию.
3 + 5.
10 |
11 |
Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации.
*В пенале 3 карандаша и 5 ручек.
*В вазе 3 яблока и 5 груш.
*На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов.
*На полке 3 альбома и 5 книг.
Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций
3 + 5 , карточки выставляются на доске.
III. Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций.
Внашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного множества элементов другого множества). (Множества упорядочены).
Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2 ряду? (Больше).
Дети от предметных действий переходят сначала к графическому,
азатем к математическому описанию.
6 + 3.
Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации
•Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше.
•Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше.
•Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше.
Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они от-
личаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 . (Больше на – это столько, сколько . . . да ещё).
IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7 флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно? (На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от первого числа, каково второе число).
7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше.
.
Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется
карточка 7 + 2 .
Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций.
•Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше.
•Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше.
•Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше. Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а за-
тем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком арифметического действия +, следовательно, это просто числовые выражения).
Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты.
сумма
1е слагаемое
2е слагаемое
Учатся читать выражения по-разному:
* к |
|
прибавить |
|
|
; |
|
* к |
|
увеличить на |
|
|
; |
|
|
|
|
||||
* к |
|
плюс |
|
; |
|
|
|
|
|
12 |
13 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
* сумма чисел |
и |
|
|
; |
|
|
* первое слагаемое |
|
|
|
|
. |
|
|
|
, второе слагаемое |
|
Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»:
сумма – это результат действия сложения; сумма – это само выражение.
Условия данного факта представляют для младших школьников определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите сумму чисел 9 и 1).
В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма».
Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме:
* запишите сумму чисел |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
* чему равна сумма чисел |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
* сравните суммы чисел |
|
|
3 + 2 |
|
|
5 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
яблок. |
|
Здесь |
конфет. |
* Заполни окошки |
|
|
|
|
2 + 3 = |
; 14 + |
= 19; 6 |
3 = 9; |
+ 6 = 8. |
* |
Какие два числа из круга в сумме дают 12? |
* |
Какие два числа из круга в сумме дают 12? |
Какие два числа из круга в сумме дают 10? Какие два числа из круга в сумме дают 5?
* |
Какие два числа из круга в сумме дают 19? |
Какие два числа из круга в сумме дают 14? Какие два числа из круга в сумме дают 10?
* Машина делает «числовые сардельки»:
5 + 3 |
1 + 7 |
2 + 6 |
. |
|
|
|
Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их надо переставить и разложить «по сарделькам»:
1 |
|
1 |
|
4 |
|
5 |
|
2 |
|
3 |
|
6 |
. . . |
4 |
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Найти для каждой пары суммы равную пару из овала:
1 + 6 |
5 + 3 |
5 + 5 |
4 + 5 |
1 + 2 |
6 + 7 |
7 + 5 |
7 + 8 |
6 + 7 |
2 + 2 |
8 + 6 |
|
Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма».
Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов:
± 2, ± 3, ± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1; 6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенноготовятсяквыводуправилаопорядкедействийввыражениях,
14 |
15 |
содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками).
Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II, III, IV кл.).
При этом работу рекомендуется организовать поэтапно.
I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например:
3 + 4 – 2; |
19 – 13 + 12 – 6 + 8. |
Учащиеся записывают подобные выражения в тетради.
Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по конкретному описанию строят математическую модель, записывая её в тетради. Например:
* В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5 марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки:
12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 .
* В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала 1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем съели 8 конфет:
8 – 2 – 3 + 5 + 2 + 4 – 3 – 1 – 2 + 1 – 8 .
Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они содержаттолькодействиясложенияивычитания(т.е.действияодной ступени). Надо определить значения выражения.
Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке, они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последо - вательности, в которой они происходили.
Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выра-
жение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 .
Построить график
или по данному графику восстановить числовое выражение
После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило:
«Если числовое выражение содержит только действия сложения или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором они записаны слева направо».
Вданномслучаепроисходитнемеханическоезаучиваниеправила,
аего осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий в подобных случаях предложить задания.
* Расставьте порядок действий:
|
|
|
+ |
|
|
|
– |
|
|
– |
|
|
+ |
|
|
– |
|
|
– |
|
|
– |
|
+ |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Найдите ошибку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
– |
|
|
|
– |
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения.
16 |
17 |
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки.
Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например:
Ввазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли.
3 + 4 – 2 Как показать, что сначала положили фрукты? (Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты могли быть взяты, получают и такие записи:
|
|
3 – 2 |
+ 4 или |
3 – 1 |
+ |
|
4 – 1 |
или 3 + |
4 – 2 . |
|||||||||||||||||||||
|
Дети вспоминают, что в этом случае математики договорились |
|||||||||||||||||||||||||||||
пользоваться скобками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(3 + 4) – 2 |
|
|
|
|
Сначала фрукты положили. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(3 – 2) + 4 |
|
|
|
|
Сначала взяли 2 яблока. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
(3 – 1) + (4 – 1) |
Взяли по 1 яблоку и 1 груше. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 + (4 – 2) |
|
|
|
|
Взяли 2 груши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Дети подходят к осознанию того факта, что действия в скобках |
|||||||||||||||||||||||||||||
выполняются прежде всего. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Предлагаются задания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
• Расставьте порядок действий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ ( |
|
|
|
– |
|
)+ |
|
|
|
– |
|
|
+ ( |
|
|
|
+ |
|
)– ( |
|
|
+ |
|
) – |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
• Найдите ошибку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( |
|
1 |
|
|
|
) |
2 |
|
|
+ ( |
|
|
|
3 |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Составьте граф данного выражения
По данному графу восстановить выражение
Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила
ипоследующей грамотной формулировке ими этого правила.
III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления.
Работу можно организовать так.
Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»:
•18 : 2 × 4 : 6 × 5 × 2 : 10;
•44 × 2 : 4 × 3;
•95 : 5 × 2 × 2;
•98 – 4 + 5 – 9.
Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить, чем они отличаются, а чем похожи.
Эти числовые выражения содержат только действия умножения и деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют правило (аналогично 1 правилу).
Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени.
Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени.
IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так.
18 |
19 |