Математическая обработка результатов геодезических измерений
..pdfТаблица 2.6
ВЕДОМОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ ТОЧЕК ТЕОДОЛИТНОГО ХОДА (пример заполнения ведомости исходными данными)
|
Горизонтальные углы |
|
Гори- |
||
точек№ |
|
Поправка |
Исправ- |
Дирекци- |
зон- |
Измерен- |
углы |
онные |
жения |
||
|
ные углы |
|
ленные |
углы |
проло- |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
108 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П71 26,5
192,76
1190 36,5
184,77
2176 15,5
212,64
3201 53,5
162,56
466 43
177,81
Б179 54,5
|
301 43 |
|
Ос |
||
|
||
изм = |
|
|
теор = |
fабс = |
|
f = |
допустимая f = |
|
|
Приращения координат |
|
Координаты |
|||
|
Вычисленные |
Исправленные |
|||||
|
|
|
|||||
|
Х |
|
Y |
Х |
Y |
Х |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6788,68 |
9671,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6218,46 |
9190,59 |
|
fХ = fY = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fотносит = |
|
fдоп = 1/2000 |
|
31
Вычисляется сумма измеренных горизонтальных углов полигонаизм и теоретическая сумма горизонтальных углов теор. Теоретическая сумма для правых горизонтальных углов разомкнутого хода вычисляется по формуле:
теор. = Н – К + 180 n – 360 N,
где Н – дирекционный угол начальной стороны (Высокая–Пирамида);К – дирекционный угол конечной стороны (Быстрый–Осиновая); n – количество измеренных углов (в задании вычисленных); N – некоторое целое число.
Теоретическая сумма для горизонтальных углов левых по ходу вычисляется:
теор. = К – Н + 180 n – 360 N.
Вычисленная угловая невязка f не должна превышать предельно допустимую f доп , которая вычисляется по формуле:
f доп t n ,
где f доп – предельно допустимая невязка, мин; t – точность отсчета по
горизонтальному кругу теодолита (в примере t =1 ); n – количество измеренных углов полигона.
Если фактическая угловая невязка больше допустимой f f доп, в нашем случае надо проверить вычисления в п. 1.1 и п. 1.2.
Если угловая невязка меньше или равна допустимой f f доп ,то она (f ) распределяется на измеренные углы с обратным знаком и поровну. Величина поправки не может быть меньше точности отсчитывания t. Поправка в измеренные углы вычисляется:
fn .
Средние горизонтальные углы вычисляются с точностью 0,5 , поэтому не имеет смысла вводить поправки с меньшей точностью. Поправки вводятся в углы с короткими сторонами с точностью 0,5 для исключения десятых долей минуты или 1 (не меньше точности отсчитывания).
Поправка записывается в соответствующую графу табл. 5. Контроль распределения поправки f , т.е. сумма поправок равна
невязке с обратным знаком.
Вычисляются исправленные горизонтальные углы испр:
испр изм .
32
Контроль вычисления и распределения угловой невязки: сумма исправленных горизонтальных углов равна теоретической сумме
испр теор .
Если контроль получился, то можно продолжать вычисления. Если не получился, то вычисления п. 2.3.2 повторяются.
Пример уравнивания угловых измерений.
Сумма измеренных углов, приведенных в примере, равна
изм 71 26,5 190 36,5 176 15,5 201 53,5 66 43 179 54,5 886 49,5.
Теоретическая сумма вычисляется:
Т = Н – К + 180 n = 108 31 – 301 43 + 180 6 = 886 48 .
Невязка разомкнутого хода равна
f изм теор 886 49,5 886 48 1,5 .
Допустимая угловая невязка хода
f доп 1 n 1 6 2,4 .
Вычисленная угловая невязка меньше допустимой величины.
Так как фактическая невязка меньше допустимой f f доп, то ее можно распределить на измеренные углы. Величина невязки равна «плюс» 1,5 , отсюда величина поправок равна «минус» 0,5 и распределяются они на три угла, например,
1 190 36,5 0,5 190 36,0;4 201 53,5 0,5 201 53,0;5 179 54,5 0,5 179 54,0 .
Контроль этапа.
Для этого вычисляется сумма исправленных углов
изм 71 26,5 190 36,0 176 15,5 201 53,0 66 43 179 54,0 886 48.
Сумма исправленных углов равна 886 48 , т.е. равна теоретической сумме углов.
Все результаты вычислений заносятся в таблицу «Ведомость вычисления координат». Заполненная ведомость показана в табл. 2.7.
33
2.3.3. Вычисление дирекционных углов сторон теодолитного хода
По известному дирекционному углу исходной стороны П–1 ( П–1) и по исправленным горизонтальным углам испр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формулам для измеренных правых горизонтальных углов:
n 1 n 180 испр – дирекционный угол последующей сто-
роны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180 и
минус исправленный горизонтальный угол правый по ходу,
где n+1 – дирекционный угол последующей стороны; n – дирекционный угол предыдущей стороны; испр – исправленный горизонтальный угол.
Для горизонтальных углов левых по ходу формула вычисления дирекционных углов имеет вид:
n 1 n 180 испр .
Величина дирекционного угла не может превышать 360 и быть меньше 0 . Если величина дирекционного угла больше 360 , то из результата вычислений необходимо вычесть 360 .
Контроль вычисления дирекционных углов: в результате вычислений получается значение дирекционного угла конечной стороны Быст- рый–Осиновая. Это значение должно быть равно дирекционному углуК записанному.
Дирекционные углы необходимо вычислять в градусах и минутах, при этом помнить, что в одном градусе всего 60 минут.
Пример вычисления дирекционных углов сторон разомкнутого теодолитного хода:
П 1 В П 180 П 108 31 180 71 26,5 217 04,5 ;1 2 П 1 180 1 217 04,5 180 190 36,0 206 28,5 ;
2 3 1 2 180 2 206 28,5 180 176 15,5 210 13,0 ;
3 4 2 3 180 3 210 13,0 180 201 53,0 188 20,0 ;
4 Б 3 4 180 4 188 20,0 180 66 43,0 301 37,0 ;
Б Ос 4 Б 180 Б 301 37,0 180 179 54,0 301 43,0 .
Контроль вычисления дирекционных углов получился.
Все результаты вычислений заносятся в таблицу «Ведомость вычисления координат» (табл. 2.7) в графу «Дирекционные углы».
34
Таблица 2.7
Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода
|
Горизонтальные углы |
Дирек- |
Горизон- |
|||
точек№ |
|
Поправка |
|
|||
Измерен- |
Исправ- |
цион- |
тальные |
|||
|
|
|||||
|
|
ленные |
ные |
проложе- |
||
|
ные углы |
|
||||
|
|
углы |
углы |
ния |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
108 31 |
|
|
|
|
|
|
|
||
П |
71 26,5 |
|
71 26,5 |
192,76 |
||
|
217 04,5 |
|||||
|
|
|
|
|||
1 |
190 36,5 |
–0,5 |
190 36 |
|||
206 28,5 |
184,77 |
|||||
|
|
|
|
|||
2 |
176 15,5 |
|
176 15,5 |
|||
|
210 13 |
212,64 |
||||
|
|
|
|
|||
3 |
201 53,5 |
–0,5 |
201 53 |
|||
188 20 |
162,56 |
|||||
|
|
|
|
|||
4 |
66 43 |
|
66 43 |
|||
|
301 37 |
177,81 |
||||
|
|
|
|
|||
Б |
179 54,5 |
–0,5 |
179 54 |
|||
301 43 |
= 930,54 |
|||||
изм = 886 49,5 |
испр = 886 48 |
теор =886 48
f = 1,5
допустимая f = 1 6 = 2, 4
|
Приращения координат |
|
Координаты |
||||
Вычисленные |
Исправленные |
||||||
|
|
||||||
Х |
|
Y |
Х |
Y |
Х |
Y |
|
+0,07 |
|
|
|
–0,05 |
|
|
|
|
|
|
6788,68 |
9671,42 |
||||||
|
|
|
|
–153,72 |
–116,26 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
–153,79 |
|
|
–116,21 |
|
|
|
|
|
|
6634,96 |
9555,16 |
||||||||
|
+0,07 |
|
|
|
–0,05 |
–165,32 |
–82,42 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
–165,39 |
|
|
–82,37 |
|
|
|
|
|
|
6469,64 |
9472,74 |
||||||||
|
+0,08 |
|
|
|
–0,06 |
–183,67 |
–107,08 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
–183,75 |
|
|
–107,02 |
|
|
|
|
|
|
6285,97 |
9365,66 |
||||||||
|
+0,06 |
|
|
|
–0,04 |
–160,78 |
–23,60 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
–160,84 |
|
|
–23,56 |
|
|
|
|
|
|
6125,19 |
9342,06 |
||||||||
|
+0,06 |
|
|
|
–0,05 |
+93,27 |
–151,47 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
93,21 |
|
|
|
|
–151,42 |
|
|
|
|
|
|
6218,46 |
9190,59 |
||||||
= –570,56 |
|
= –480,58 |
–570,22 |
–480,83 |
|
||||||||||||||
f Х = –0,34 |
|
f y = +0,25 |
т =–570,22; |
т =–480,83 |
|||||||||||||||
fабс |
f X2 |
fY2 |
|
-0,34 2 |
0,252 0,42 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
fотн |
fабс |
|
|
|
0,42 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
930,54 |
2215 |
|
|
2215 |
2000 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
35
2.3.4. Вычисление приращений координат
Вычисление приращений координат выполняется по формулам прямой геодезической задачи:
X d cos ; |
Y d sin , |
где d – значение измеренной длины (горизонтальное проложение), м;– дирекционный угол этой линии.
Приращения координат вычисляются с точностью два знака после запятой.
Пример вычисления приращений координат:
X П 1 dП 1cos П 1 192,76cos217 04,5 153,79;
X1 2 d1 2cos 1 2 184,77cos206 28,5 165,39;
X 2 3 d2 3cos 2 3 212,64cos210 13,0 183,75;
X 3 4 d3 4cos 3 4 162,56cos188 20,0 160,84;
X 4 Б d4 Бcos 4 Б 177,81cos301 37,0 93,21;
X 570,56;
YП 1 dП 1sin П 1 192,76sin 217 04,5 116,21;
Y1 2 d1 2sin 1 2 184,77sin 206 28,5 82,37;
Y2 3 d2 3sin 2 3 212,64sin 210 13,0 107,02;
Y3 4 d3 4sin 3 4 162,56sin188 20,0 23,56;
Y4 Б d4 Бsin 4 Б 177,81sin 301 37,0 151,42;
Y 480,58.
Результаты вычислений записываются в табл. 2.7 «Ведомость вычисления координат».
2.3.5. Уравнивание линейных измерений (уравнивание приращений координат) и вычисление линейной невязки
Уравнивание – это вычисление невязки и ее распределение на вычисленные приращения координат. Линейная невязка вычисляется раздельно по осям Х и Y.
Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической суммой называется линейной невязкой хода и обозна-
36
чается fХ и fY. Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям.
Линейная невязка вычисляется по формулам:
|
f X X X теор; fY |
Y Yтеор . |
где , |
– сумма вычисленных |
приращений координат; Т, |
Т – теоретическая сумма приращений координат.
Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода. Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма вычисляется по формулам
Т = К – Н; Т = К – Н,
где К, К – координаты конечной точки (Быстрый); Н, Н – координаты начальной точки (Пирамида).
Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для чего вычисляется абсолютная невязка хода fабс
fабс f X2 fY2
и относительная
|
|
|
fотн |
|
|
fабс |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Р – сумма горизонтальных проложений Р = di, м. |
|
|
|||||||||
Относительная |
невязка |
|
|
сравнивается |
с |
допустимой |
|||||
fдоп |
1 |
(для 1 разряда) или fдоп |
|
|
1 |
|
(для 2 разряда). |
|
|||
2000 |
1000 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если относительная невязка больше допустимой fотн 20001 ,
внашем случае надо пересчитать, начиная с пункта 2.3.4.
Вслучае, когда полученная относительная невязка допустима, т.е.
выполняется неравенство fотн 20001 , то вычисляются поправки в при-
ращения координат пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с обратным знаком.
Поправки в приращения координат X и Y вычисляются по формулам с округлением до 0,01 м:
Xi |
f X |
di ; |
Yi |
fY |
di , |
P |
|
||||
|
|
|
P |
37
где Xi и Yi – поправка в приращение по оси Х и Y, соответственно, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – сумма горизонтальных проложений Р = di, м; di – горизонтальное проложение, м.
После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки. Если их сумма равняется невязке с обратным знаком, то распределение невязки выполнено правильно. То есть должно выполняться равенство:
Xi f X |
и Yi fY . |
Вычисленные поправки записываются в табл. 2.7 над соответствующим приращением координат.
Вычисляются исправленные приращения координат по формулам:
X испр X вычисл X ; |
Yиспр Yвычисл Y . |
Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям и получаются исправленные приращения.
Контроль вычисления: сумма исправленных приращений в разомкнутом теодолитном ходе должна равняться теоретической сумме, т.е. должно выполняться равенство:
X испр X теор и Yиспр Yтеор .
Пример вычисления линейной невязки. Сумма вычисленных приращений координат:
= (–153,79) +(–165,39) + (–183,75) + (–160,84) + 93,21 = –570,56;= (–116,21) + (–82,37) + (–107,02) + (–23,56) + (–151,42) = –480,58.
Теоретическая сумма приращений координат
Т = К – Н = 6218,46 – 6788,68 = –570,22;Т = К – Н = 9190,59 – 9671,42 = –480,83.
Невязки хода по координатным осям
fХ = – Т = –570,56 – (–570,22) = –0,34; fY = – Т = –480,58 – (–480,83) = + 0,25.
Абсолютная невязка хода равна
fабс f X2 fY2 0,34 2 0,252 0,42.
Относительная невязка
fотн fPабс 930,540,42 22151 20001 ;
38
22151 20001 .
Относительная фактическая невязка меньше допустимой, т.о. невязки по осям можно распределять на вычисленные приращения координат.
Пример вычисления поправок в приращения координат:
XП |
|
|
|
|
|
f X |
|
|
dП 1 |
|
|
0,34 |
|
|
192,76 0,07; |
||
|
|
|
|
P |
930,54 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X 1 |
|
|
|
f X |
|
|
d1 2 |
|
|
0,34 |
184,77 0,07; |
||||||
|
|
P |
|
930,54 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X 2 |
|
|
|
f X |
|
|
d2 3 |
|
|
|
0,34 |
|
212,64 0,08; |
||||
|
|
P |
|
|
930,54 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X 3 |
|
|
f X |
|
|
d3 4 |
|
|
|
0,34 |
162,56 0,06; |
||||||
|
P |
|
|
|
930,54 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X 4 |
|
|
f X |
|
|
d4 Б |
|
|
0,34 |
|
|
177,81 0,06; |
|||||
|
P |
|
|
930,54 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,34. |
||||||
YП |
fY |
|
|
dП 1 |
|
|
0,25 |
|
|
|
192,76 0,05 |
||||||
P |
|
|
930,54 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 fPY d1 2 930,540,25 184,77 0,05;Y 2 fPY d2 3 930,540,25 212,64 0,06;Y 3 fPY d3 4 930,540,25 162,56 0,04;Y 4 fPY d4 Б 930,540,25 177,81 0,05;
Контроль |
0,25. |
Сумма поправок равна невязке с обратным знаком.
Пример вычисления исправленных приращений координат:
X испр X вычисл X ; |
Yиспр Yвычисл Y . |
39
Примечание: у приращений количество знаков после запятой в результате уравнивания не должно увеличиваться, т.е. остается два знака
после запятой. |
YП 1 : 116,21 0,05 116,26; |
||
X П 1 : 153,79 0,07 153,72; |
|||
X1 2 : 165,39 0,07 165,32; |
Y1 2 : 82,37 0,05 82,42; |
||
X 2 3 |
: 183,75 0,08 183,67; |
Y2 3 : 107,02 0,06 107,08; |
|
X 3 4 |
: 160,84 0,06 160,78; |
Y2 3 : 23,56 0,04 23,60; |
|
X 4 Б : 93,21 0,06 93,27; |
Y4 Б : 151,42 0,05 151,47; |
||
|
Контроль X 570,22; Контроль |
Y 480,83. |
Сумма исправленных приращений равна теоретической сумме, т.е. контроль выполняется.
2.3.6. Вычисление координат точек теодолитного хода
Если контроль вычисления и распределения линейной невязки выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам:
X n 1 X n X испр; Yn 1 Yn Yиспр – координата последующей
точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение координат.
Контроль вычисления координат: в результате последовательного вычисления координат точек разомкнутого теодолитного хода получаются координаты конечной точки (Быстрый).
Пример вычисления координат точек теодолитного хода.
Координаты начального пункта Полевой: Х = 6788,68; Y = 9671,42; конечного пункта Береговой: Х = 6218,46; Y = 9190,59.
X1 X П X 6788,68 ( 153,72) 6634,96;
X 2 X1 X 6634,96 165,32 6469,64;
X 3 X 2 X 6469,64 183,67 6285,97;
X 4 X 3 X 6285,97 160,78 6125,19;
X Б X 4 X 6125,19 93,27 6218,46;
Y1 YП Y 9671,42 116,26 9555,16
Y2 Y1 Y 9555,16 82,42 9472,74;
Y3 Y2 Y 9472,74 107,08 9365,66;
40