Математический анализ в задачах и упражнениях
..pdfпри x b 0 , то интеграл |
b |
f x dx |
сходится при < 1 и рас- |
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
ходится при 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
dx |
|
|
|
|
||
В частности, интеграл |
a |
сходится при < 1 и рас- |
||||||
b x |
|
|||||||
ходится при 1. |
|
|
|
|
|
ln 1 5 x3 |
|
|
Из предыдущих рассуждений видно, что |
f x |
|
||||||
esin x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
является бесконечно большой порядка 2 |
< 1 по сравнению с |
|||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1x . Следовательно, данный интеграл сходится.
111
elib.pstu.ru
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМАМ 4, 5
4. Определенный интеграл
Задание 1. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8cos |
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
y x |
2 |
, |
|
|
|
|
2sin |
3 t, |
|
|
|||||
1.1. а) |
|
|
|
б) |
y |
в) |
2cos 2 |
|||||||||
y |
2 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6cost, |
|
|
||||
|
y x |
2 |
|
4x, |
|
|
2sin t, |
|
|
|||||||
1.2. а) |
|
|
б) |
y |
в) |
3sin 6 |
||||||||||
y |
x 4 |
5 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4(t sin t), |
|
|
||||
|
y |
2 |
x |
3 |
, |
|
|
4(1 cos t), |
|
cos |
||||||
1.3. а) |
|
|
|
б) |
y |
в) |
||||||||||
y |
8, x 0 |
t 5 |
|
2cos |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8cos |
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
4 y x |
2 |
, |
|
|
3sin3 t, |
|
|
||||||||
1.4. а) |
|
|
б) |
y |
в) |
3cos 2 |
||||||||||
y |
2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 cost, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
y x |
2 |
, |
|
|
|
|
|
2 sin t, |
|
|
|||||
1.5. а) |
|
|
|
б) |
y |
в) |
2sin 2 |
|||||||||
y |
8 x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2(t sin t), |
|
|
||||
|
2 y x |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|||||
1.6. а) |
|
|
б) |
y 2(1 cos t), |
в) |
|||||||||||
y |
2 |
2x |
|
2 |
t 4 |
|
|
3sin |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru
1.7. а) y x2 2x, y x 2
1.8. а) y x2 4x, y x2 4x
1.9. а) x2 y3 ,
y 0, x 8
1.10. а) y x2 3x, y x 3
1.11. а) 3y x2 , y2 3x
1.12. а) y x2 x, y x 1
1.13. а) 5y x2 , y2 5x
|
|
|
8cos |
3 |
t, |
|||
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
4sin3 t, |
|||||
|
y |
|||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t 0 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4cost, |
|||||||
|
|
|
2sin t, |
|||||
б) |
y |
|||||||
2 |
t |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
|
x 6(t sin t), |
|||||||
|
|
6(1 cost), |
||||||
б) |
y |
|||||||
t 5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
8cos |
3 |
t, |
||||
|
x |
|
|
|||||
|
|
3sin3 t, |
||||||
|
y |
|||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
||
|
t 0 |
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9cost, |
|||||||
|
|
|
8sin t, |
|||||
б) |
y |
|||||||
5 |
t |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
|
6 |
|
6 |
|
|
|||
|
x 6(t sin t), |
|||||||
|
|
6(1 cost), |
||||||
б) |
y |
|||||||
2 |
t 4 |
|||||||
|
||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
8cos |
3 |
t, |
||||
|
x |
|
|
|||||
|
|
2sin3 t, |
||||||
|
y |
|||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
t 0 4
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
2cos3
3sin 5
cos
3cos
3cos3
2sin 6
sin
2sin
2cos 4
113
elib.pstu.ru
1.14. а) y x2 5x, y x 5
1.15. а) y x2 ,
y 18 x2
1.16. а) y x2 x, y x 1
1.17. а) y x2 ,
y 50 x2
1.18. а) y x2 2x, y x 2
1.19. а) 7 y x2 , y2 7x
1.20. а) y x2 2x, y x 2
114
|
x 2cost, |
||||||
|
|
4sin t, |
|
||||
б) |
y |
|
|||||
2 t |
|
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x 2(t sin t), |
||||||
|
|
2(1 cos t), |
|||||
б) |
y |
||||||
t |
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
x 16cos |
|
|||||
|
|
3sin3 t, |
|||||
|
y |
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 cost, |
||||
|
x |
||||||
|
|
2 |
|
2 sin t, |
|||
б) |
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t |
|
|
|
||
|
4 |
|
|
6 |
|
|
|
|
x 4(t sin t), |
||||||
|
|
4(1 cos t), |
|||||
б) |
y |
||||||
2 |
|
|
4 |
|
|||
|
t |
|
|||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t, |
|
|
x 8cos |
|
|||||
|
|
4sin3 t, |
|||||
|
y |
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 cost, |
||||
|
x |
||||||
|
|
3 |
2 sin t, |
||||
б) |
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
t |
|
|
|
||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
3sin 2
cos
4cos
3cos 4
2sin 3
sin
3sin
2cos5
3sin 3
elib.pstu.ru
1.21.а)
1.22.а)
1.23.а)
1.24.а)
1.25.а)
1.26.а)
1.27.а)
y x2 ,
y 32 x2
y x2 3x, y 3 x
y2 x3 , x 4
y x2 2x, y 2x x2
yx2 4x,
y4 x
x2 y3 ,
y4
yx2 5x,
y5 x
|
x 8(t sin t), |
|||
|
|
8(1 cost), |
||
б) |
y |
|||
t 5 |
|
|
||
|
|
|
||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
16cos |
3 |
t, |
|
x |
|
||
|
|
2sin3 t, |
||
|
y |
|||
б) |
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
x 6cost, |
|
||
|
|
|
|
|
б) |
y 4sin t, |
|
||
5 t |
|
|
||
|
|
|
||
|
6 |
6 |
|
|
|
x 10(t sin t), |
|||
|
|
10(1 cost), |
||
б) |
y |
|||
2 |
t 4 |
|
||
|
|
|||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
8cos |
3 |
t, |
|
|
x |
|
|||
|
|
4sin3 t, |
|||
|
y |
||||
б) |
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 cost, |
||
|
x 4 |
||||
|
|
|
3 sin t, |
||
|
y |
||||
б) |
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
x 10(t sin t), |
||||
|
|
10(1 cost), |
|||
б) |
y |
||||
t |
5 |
|
|||
|
|
||||
|
3 |
|
3 |
|
|
в)
в)
в)
в)
в)
в)
в)
2cos
4cos
3cos5
2sin 4
sin
4sin
2cos 6
3sin 4
2cos
3cos
115
elib.pstu.ru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8cos |
3 |
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
y x |
2 |
4, |
|
|
|
3sin3 t, |
|
|
|
||||
1.28. а) |
|
|
|
y |
|
в) 3cos 6 |
||||||||
y 2 |
x |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4cost, |
|
y 1 x2 arcsin x |
||||
|
y 4 x |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.29. а) |
|
|
б) |
y 6sin t, |
в) |
|
7 |
|||||||
x 2 y 2 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5 t |
|
|
0 x 9 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 8(t sin t), |
|
|
|
|||
|
y x |
2 |
4, |
|
|
|
8(1 cost), |
|
|
2sin |
||||
1.30. а) |
|
|
б) |
y |
|
в) |
||||||||
x y |
2 0 |
|
2 |
t 4 |
|
4sin |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
Задание 2.
2.1. а)
y ln x, 3 x
Вычислить длины дуг кривых.
x 3(t sin t),
б) y 3(1 cost), 15
0 t
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
в) |
3e 4 , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
y |
|
x |
2 |
ln x |
, |
x 3(2cost cos 2t), |
|||||
2.2. а) |
|
|
||||||||||
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
б) y 3(2sin t sin 2t), |
||||
|
1 x 2 |
|
|
|
|
0 t 2 |
||||||
|
|
|
|
4 |
|
, |
|
|
|
|
||
|
2e3 |
|
|
|
|
|
||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
y |
|
1 x2 |
arcsin x, |
x 4(cost t sin t), |
|||||||
2.3. а) |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
||
0 |
x |
|
|
|
б) y 4(sin t t cos t), |
|||||||
|
9 |
|
|
|
0 t 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru
2e ,
в)
2 2
2.4. а) |
y ln 5 x, |
|
||||
|
2 |
|
|
|
||
|
3 x |
|
|
8 |
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5e12 |
, |
|
|||
|
|
|
||||
в) |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
2 |
yln cos x,
2.5.а) 0 x
6
12
6e 5 , в)
2 2
2.6. а) |
y ex 6, |
||
ln 8 |
x ln 15 |
||
|
3
3e4 ,
в) 0
3
y 2 arcsin x
2.7. а) 1
4 x 1
4
4e3 , в) 0
3
x (t2 2)sin t 2t cost, б) y (2 t2 ) cost 2t sin t,
0 t
x 10cos3 t,
y 10sin3 t,
б)
0 t
2
x et (cost sin t), б) y et (cost sin t),
0 t
x x2 , |
x 3(t |
sin t), |
|
|
cost), |
|
б) y 3(1 |
t 2
117
elib.pstu.ru
2.8. а) y ln(x2 1), 2 x 3
2e ,
в) 0
3
y 1 x2 arccos x,
2.9. а) 8 0 x 9
5
5e12 , в) 0
3
y ln(1 x2 ),
2.10. а) 1 0 x 4
12
12e 5 ,
в) 0
3
2.11. а) y 2 12 (ex e x ), 0 x 1
1 sin ,
в) 0
3
118
|
x 1 cost 1 cos 2t, |
|||||
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
1 |
sin t |
1 |
sin 2t, |
y |
2 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
x 3(cost t sin t),
б) y 3(sin t t cost), 0 t
3
x (t2 2)sin t 2t cost,
y (2 t2 ) cost 2t sin t,
б)
0 t
3
x 6cos3 t,
y 6sin3 t,
б)
0 t
3
elib.pstu.ru
y1 ln cos x,
2.12.а) 0 x
6
2(1 cos ),
в)
2
2.13. а) |
y ex |
13, |
|
ln 15 |
x ln 24 |
||
|
3(1 sin ),
в) 0 6
y arccos |
x |
x x2 , |
|
2.14. а) 0 x |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
4(1 sin ),
в) 0
6
2.15. а) y 2 ex ,
ln 3 x ln 8
5(1 cos ),
в) 0 3
y arcsin x |
1 x2 , |
|
2.16. а) 0 x |
15 |
|
|
16 |
|
x et (cost sin t),
y et (cost sin t),
б)
t
2
x 2,5(t sin t), б) y 2,5(1 cost),
t
2
x 3,5(2cost cos 2t), б) y 3,5(2sin t sin 2t),
0 t
2
x 6(cost t sin t), б) y 6(sin t t cos t),
0 t
x et (cost sin t), б) y et (cost sin t),
0 t 2
119
elib.pstu.ru
|
6(1 sin ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 ln sin x, |
|
|
|
x |
4(t sin t), |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t), |
|
|||||||||
2.17. а) |
|
|
x |
|
|
|
|
б) |
y 4(1 |
|
||||||||
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
7(1 sin ), |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2(2cos t cos 2t), |
|||||
|
y 1 ln(x2 |
1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.18. а) |
|
|
б) |
y 2(2sin t sin 2t), |
||||||||||||||
3 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
8(1 cos ), |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x x2 |
arccos |
x 5, |
|
x 8(cost t sin t), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
8(sin t t cost), |
|||||||||||||
2.19. а) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
|||||
|
x 1 |
|
|
|
|
0 t |
|
|
|
|||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) 0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4cos |
3 |
t, |
|
|
|
y arccos x |
1 x2 |
1, |
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4sin3 t, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|||||
2.20. а) 0 x |
|
9 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
||||
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) 0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
elib.pstu.ru