Элементы математической физики
..pdfчить тождественное равенство. Дифференцируя функцию (2.4) по переменной x, для произвольной функции c1(y) получим, что ux = c1(y)ex ≡ u(x,y), то есть уравнение (2.4) действительно обратилось в тождество. Решение примера закончено.
Приведенный пример иллюстрирует тот факт, что в общем случае решение уравнения в частных производных может содержать произвольные функции, для нахождения которых необходимо задавать дополнительные условия. Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, это могут быть начальные и краевые условия. Для дифференциального уравнения в частных производных относительно неизвестной функции двух переменных задавать эти условия придется на границах некоторых двумерных областей.
Для нахождения множителя c1(y) дополнительное условие можно задать, например, на прямой x = 0, расположенной на плоскости (x, y). Если это условие задать в виде равенства
u(0, y) = cos y, |
(2.5) |
то частное решение уравнения (2.3), удовлетворяющее условию (2.5) – это функция u(x, y) = excos y. Если переменную x интерпретироватькак время, тоусловие (2.5) рассматриваетсякак условиеКоши.
2.2. Примеры решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
Вобщем виде дифференциальное уравнение второго порядка
счастными производными относительно неизвестной функции двух переменных u(x, y) может быть записано в следующей форме:
|
x, y,u(x, y), |
u(x, y) |
|
u(x, y) |
|
2u(x, y) |
|
2u(x, y) |
|
2u(x, y) |
|
(2.6) |
|||
F |
|
, |
|
, |
|
|
, |
|
, |
|
|
|
0. |
||
x |
y |
x |
2 |
x y |
y |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь F – это заданная функция восьми переменных; x и y – независимые переменные; u(x,y) – искомая функция этих переменных,
u(x, y) |
и |
u(x, y) |
– частные производные первого порядка от ис- |
x |
|
y |
|
|
|
|
21 |
elib.pstu.ru
комой функции; |
2u(x, y) |
, |
2u(x, y) |
, |
2u(x, y) |
– производные вто- |
|
x2 |
x y |
y2 |
|||||
|
|
|
|
рого порядка. Если функция F линейна, то уравнение (2.1) называется линейным.
В качестве иллюстрации особенностей, которые возникают при решении уравнений в частных производных второго порядка, приведем несколько простых примеров.
Пример 2.2. Найти общее решение u(x,y) дифференциального уравнения второго порядка в частных производных
uxy = 0.
Пример 2.3. Найти общее решение уравнения uxy = x + y.
Пример 2.4. Найти общее решение u(x,y) дифференциального уравнения второго порядка в частных производных
uxy + 4ux = 0.
Решение. Чтобы решить это уравнение, выполним замену переменных: ux = w(x,y). Тогда uxy = wy, и рассматриваемое уравнение запишется в виде уравнения первого порядка относительно неизвестной функции w = w(x,y):
wy+4w = 0.
Разделяя в этом уравнении переменные w и y, получим
w(x, y) = −4 y.
В результате интегрирования обеих частей последнего равенства получаем, что ln w(x, y) −4y + c(x), где c(x) – произвольная функция переменной x. Отсюда
w(x, y) = c*(x) e−4y,
22
elib.pstu.ru
где, очевидно, c*(x) = ec(x) – новая произвольная функция. Возвращаясь к искомой функции u(x,y), получаем следующее уравнение в частных производных первого порядка:
ux = c*(x) e−4y.
Разделяя переменные и представляя функцию c*(x) через новую произвольную функцию c(x) в виде c*(x) = c(1x) , можно полу-
чить равенство
u = c(x) e−4y x.
Интегрируя его по переменной x, получаем общее решение рассматриваемого уравнения, которое можно представить в виде
u(x, y) = c1 (x) e−4y + c2(y),
где c1(x) и c2(y) – две произвольные функции переменных x и y соответственно.
Пример 2.5. Найти общее решение уравнения uxy + x ux = 3.
Пример 2.6. Решить задачу Коши: uxy + x ux = 3.
u |
у 0 1, ux |
у 0 |
0. |
|
|
|
Пример 2.7. Решить задачу Коши: uxy + ux = 3.
u│ |
1, |
u│ |
0. |
у x |
|
x у x |
|
В более сложных случаях для поиска общих и частных решений уравнений в частных производных необходимо опираться на
23
elib.pstu.ru
общую теорию, важнейшие результаты которой в краткой форме представлены ниже.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными.
2.Дайте определение и приведите примеры решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.
3.Дайте определение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.
4.Дайте определение решения дифференциального уравнения
вчастных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.
5.Дайте определение и запишите общий вид линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.
6.Дайте определение и запишите общий вид квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными.
7.Приведите примеры решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
8.Приведите примеры решения задачи Коши для простейших дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
24
elib.pstu.ru
3. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Для обеспечения безопасности в техносфере особенно важными являются задачи распространения колебаний (например, электрических колебаний или колебаний земной коры), задачи диффузии (например, при выбросах вредных веществ в гидроили атмосферу), задачи распространения тепла или продвижения фронта горения при пожаре и тому подобные задачи, описывающие физические, химические или механические процессы. Задачи такого рода, как правило, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, поэтому их так и называют:
уравнения математической физики.
Теория уравнений математической физики, занимая особое положение в описании важнейших физико-химических, биологических, экономических и других процессов, связанных с изменением функций многих переменных, к настоящему времени достаточно полно разработана. Она представляет несомненный практический интерес при решении проблем техносферной безопасности, поэтому далее имеет смысл перейти непосредственно к классификации уравнений математической физики.
3.1.Классификация уравнений
счастными производными второго порядка
Для компактности записи уравнений математической физики обычно пользуются следующими обозначениями для производных:
2u(x, y)
x2
u(x, y) = ux, u(x, y) x y
= uxx, 2u(x, y) = uxy,
x y
=uy,
2u(yx2, y) = uyy.
25
elib.pstu.ru
Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными x, y называется соотношение между неизвестной функцией u(x, y) и ее частными производными до второго порядка включительно:
F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0.
Аналогично записывается уравнение и для большего числа независимых переменных.
Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид
a11 uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + F1(x, y, u, ux, uy) = 0, (3.1)
где a11, a12 , a22 являются функциями переменных x и y.
Если коэффициенты a11, a12, a22 зависят не только от x и y, но являются функциями переменных x,y, u, ux, uy, то такое уравнение вида (3.1) называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, uxy, uyy, так и относительно функции u(x, y) и её первых производных ux, uy:
a11 uxx +2 a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu + f = 0, (3.2)
где функция f и коэффициенты a11, a12 , a22, b1, b2, c зависят только от x и y.
Если коэффициенты a11, a12 , a22, b1, b2, c уравнения (3.2) не зависят от x и y, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение (3.2) называется однородным, если функция f(x,y) ≡ 0.
Если выполнить преобразование переменных
ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y), |
(3.3) |
допускающее обратное преобразование, то мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному.
Естественно поставить вопрос: как выбрать новые переменные ξ и η, чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?
26
elib.pstu.ru
Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим уравнение вида (3.1) с двумя независимыми переменными x и y, линейное относительно старших производных:
a11 uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0.
Чтобы выполнить замену переменных в этом уравнении, преобразуем производные ux, uy, uxx, uxy, uyy, пользуясь формулами производной сложной функции двух переменных. Получим следующие равенства:
ux u x u x , |
|
|
|
|
|
|
uy u y u y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uxx u 2x 2u x x u 2x u xx u xx , |
|
(3.4) |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
uxy u x y u ( x y y x ) u x y u xy u xy , |
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
uyy u y 2u y y u y u yy u yy . |
|
|
||||
Подставляя значения производных из равенств (3.4) в рассмат- |
||||||
риваемое уравнение (3.1), получим уравнение |
|
|
||||
a11 uξξ + 2 a12 |
uξη + a22 |
|
|
|
|
|
uηη + F |
= 0, |
|
(3.5) |
|||
в котором новые коэффициенты a11 , a12 , |
a22 связаны с a11, a12 , a22 |
|||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
а11 = a11 2x + 2 a12 ξx ξy + a22 2y ,
a12 = a11 ξx ηx+ a12 (ξx ηy + ηx ξy) + a22 ξy ηy,
a22 = a11 2x + 2 a12 ηx ηy + a22 2y ,
а функция F не зависит от вторых производных.
Заметим, что если исходное уравнение линейно, т.е. если
F (x, y, u, ux, uy) = b1 ux + b2 uy + cu + f,
27
elib.pstu.ru
то функция F примет вид
F(ξ, η, u, uξ, uη) = β1 uξ + β2 uη + γu + δ
иуравнение остается линейным.
Отметим, что если преобразование (3.3) линейно, то вторые производные от функций ξ и η в формулах (3.4) равны нулю и
функция F не получит дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных. Следовательно, в результате линейных
преобразований вид функции F не изменится: F = F.
Напомним, что если линейное преобразование допускает обратное, то оно называется невырожденным.
Покажем, что переменные ξ и η можно выбрать так, чтобы коэффициент a11 был равен нулю. Для этого рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка
a11 zx2 + 2 a12 zx zy + a22 zy2 = 0. |
(3.6) |
Пусть z = φ(x,y) – какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить ξ = φ(x,y), то коэффициент a11 , очевидно, будет
равен нулю. Можно показать, что выбор переменной η также связан с решением уравнения (3.6). Таким образом, упомянутая выше задача о рациональном выборе новых независимых переменных ξ и η связана с решением уравнения (3.6).
Знак выражения D = а122 −a11a22 определяет тип уравнения (3.1). Говорят, что уравнение (3.1) в точке М является уравнением
1)гиперболического типа, если вэтой точкеD = а122 − a11 a22 > 0,
2)параболического типа, если в этой точке D = а122 − a11 a22 = 0,
3)эллиптического типа, если в этой точке D = а122 − a11 a22 < 0.
Линейное уравнение вида (3.1) с постоянными коэффициентами a11, a12, a22 имеет один и тот же тип на всей плоскости перемен-
ных (x,y).
28
elib.pstu.ru
Можно проверить, что после преобразования переменных будет выполнено равенство
a 2 |
− a |
a |
22 |
= ( a2 |
− a11 a22 )D2, |
(3.7) |
12 |
11 |
|
12 |
|
|
где D = ξxηy − ηxξy ≠ 0. Отсюда следует, что преобразование (3.3), допускающее обратное, не меняет тип уравнения (3.1).
Это важное замечание позволяет ввести понятие простейшей (канонической) формы для каждого из трех типов уравнений – эллиптического, гиперболического и параболического.
Каноническая форма уравнения (3.1) имеет следующий вид: 1) D = a122 − a11a22 > 0 (гиперболический тип):
uxx − uyy = Φ (x, y, u, ux, uy) или uxy = Φ (x, y, u, ux, uy); 2) D = a122 − a11a22 < 0 (эллиптический тип):
uxx + uyy = Φ (x, y, u, ux, uy); 3) D = a122 − a11a22 = 0 (параболический тип):
uxx = Φ (x, y, u, ux, uy).
С классификацией уравнений в частных производных второго порядка относительно функций многих переменных (более двух) можно ознакомиться с помощью более полных и подробных учебников по теории уравнений в частных производных (см. список дополнительной литературы).
3.2.Канонические формы линейных уравнений
спостоянными коэффициентами
Вслучае двух независимых переменных линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a11, a12, a22, b1, b2
иc имеет следующий вид:
a11 uxx + 2 a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu + f (x,y) = 0. (3.8)
Можно показать, что с помощью замены переменных уравнение (3.8) с постоянными коэффициентами, в зависимости от его ти-
па (то есть от знака выражения Д = a122 − a11a22), может быть приве-
29
elib.pstu.ru
дено к одной из трех канонических форм относительно новой искомой функции v = u e (где λ и – некоторые постоянные) сле-
дующего вида:
1) гиперболический тип:
vξξ − vηη + γv + f (ξ, η) = 0 или
vξη + γv + f (ξ, η) = 0; 2) эллиптический тип:
= a122 − a11a22 < 0
vξξ + vηη + γv + f (ξ, η) = 0;
3)параболический тип:
=a122 − a11a22 = 0
vξξ + b3 vη + f (ξ, η) = 0.
Простейшие уравнения в частных производных второго порядка имеют свои общепринятые названия в зависимости от физических процессов, которые они описывают.
Приведем примеры.
Пусть t – время, (x, y, z) – пространственные переменные. Дифференциальный оператор второго порядка
≡ x22 + y22 + z22
называют (трехмерным) оператором Лапласа.
Простейшее однородное уравнение гиперболического типа с одномерным оператором Лапласа
utt − a2 uxx = 0, a2 = const,
описывает малые свободные колебания тонкой струны. Это же уравнение в электротехнике носит название телеграфного уравнения, так как оно описывает электрические колебания в проводах.
30
elib.pstu.ru