Основы геодезии и топографии
..pdfТеоретическая сумма углов вычисляется по формулам в зависимости от геометрии хода.
Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма углов вычисляется по формулам:
–для измеренных горизонтальных углов, левых по ходу,
∑βтеор =αк −αн +180o n −360o N;
–для измеренных горизонтальных углов, правых по ходу,
∑βтеор =αн −αк +180o n −360o N ,
где αн – дирекционный угол начальной стороны; αк – дирекционный угол конечной стороны; N – некоторое целое число.
Вычисляется допустимая угловаяневязка fβдоп по формуле fβдоп =t n ,
где t – точность отсчитывания по горизонтальному кругу теодолита; n – число измеренных углов.
Сравниваются фактическая и допустимая невязки.
Если вычисленная невязка fβ больше допустимой fβ доп, то необходимо все пересчитать. Если fβ ≤ fβдоп , то вычисленная угло-
вая невязка распределяется на измеренные углы поровну (но не меньше, чем точность отсчитывания или 0,5′) с противоположным знаком, т.е.
δβ = − fnβ .
Контроль. Сумма всех поправок в углы должна равняться невязке fβ с обратным знаком:
∑δβ = − fβ .
Вычисляются исправленные углы:
βиспр =βизм +δβ .
Контроль. Если уравнивание угловых измерений сделано правильно, то сумма исправленных углов равна теоретической сумме:
∑βиспр = ∑βтеор .
61
Стр. 61 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Пример вычисления угловой невязки
Сумма измеренных углов
∑βизм =137o38′+128o23′+106o36′=372o37′.
Теоретическая сумма углов, правых по ходу,
∑βтеор =αн −αк +180o n =112o59′−280o23′+180o 3 =372o36′.
Угловая невязка
fβ = ∑βизм −∑βтеор =372o37′−372o36′=+1′.
Допустимая угловая невязка
′ |
′ |
fβ доп =t n =1 |
3 =1 ,73 . |
Вычисленная угловая невязка fβ меньше допустимой fβ доп. Угловая невязка распределяется с обратным знаком на один
угол, т.е. величина поправки –1′. Предпочтение имеют углы, у которых стороны короче.
Вычисляется исправленный угол:
βиспр =137o38′−1′=137o37′.
Контроль уравнивания углов:
∑βиспр =137o37′+128o23′+106o36′=372o36′.
Сумма исправленных углов равна теоретической сумме.
5.3.2. Вычисление дирекционных углов
По известному дирекционному углу исходной стороны αn и по исправленным углам βиспр вычисляются дирекционные углы остальных сторонтеодолитногоходапо формуле дляправых по ходу углов:
αn+1 = αn ±180o −βиспр,
т.е. дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправ-
ленный угол, правый по ходу.
Если результат получился больше 360°, то из него необходимо вычесть 360°.
62
Стр. 62 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Для левых по ходу углов формула имеет вид
αn+1 =αn ±180o +βиспр .
Контроль. В результате вычислений в разомкнутом теодолитном ходе должен получиться дирекционный угол конечной стороны. Значение дирекционного угла не может превышать 360° и быть меньше 0°.
Пример вычисления дирекционных углов
Дирекционный угол исходной стороны α1–2 = 112°59′.
α2−3 =112o59′+180o −137o37′=155o22′ ;
α3−4 =155o22′+180o −128o23′= 206o59′;
α4−5 = 206o59′+180o −106o36′= 280o23′ .
Вконце вычислений получился дирекционный угол конечной стороны.
5.3.3. Вычисление приращений координат
При решении прямой геодезической задачи вычисления приращений координат ∆Х и ∆Y выполняются по формулам:
∆X = d cos α; ∆Y = d sin α,
где d – горизонтальное проложение линии; α – дирекционный угол этой линии.
Пример вычисления приращений координат:
∆X1−2 = d1−2 cos α1−2 =169,87 cos 112o59′= −66,33 ; ∆X2−3 = d2−3 cos α2−3 =100,27 cos 155o 22′= −91,14 ; ∆X3−4 = d3−4 cos α3−4 =177,32 cos 206o59′= −158,02 .
∆Y1−2 = d1−2 sin α1−2 =169,87 sin 112o59′=156,39 ; ∆Y2−3 = d2−3 sin α2−3 =100,27 sin 155o 22′= 41,79 ;
∆Y3−4 = d3−4 sin α3−4 =177,32 sin 206o59′= −80,45 .
Пример вычисления тригонометрических функций на калькуляторе приведен в прил. 4.
63
Стр. 63 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
5.3.4. Уравнивание линейных измерений (приращений координат)
Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям Х и Y.
Линейная невязка для разомкнутого теодолитного хода вычисляется по следующим формулам:
fX = ∑∆X −∑∆X теор; fY = ∑∆Y −∑∆Yтеор ,
где ∑∆X и ∑∆Y – суммы вычисленных приращений координат
соответственно по оси Х и Y; ∑∆Xтеор и ∑∆Yтеор – теоретическая сумма приращений координат соответственно по оси Х и Y.
Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода.
Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма вычисляется по формулам:
∑∆Xтеор = Xк − Xн; ∑∆Yтеор =Yк −Yн ,
где Хн и Yн, Хк и Yк – координаты начальной и конечной точек теодолитного хода соответственно.
Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для этого вычисляются невязки хода:
– абсолютная
fабс = fX2 + fY2 ;
– относительная
fотн = fPабс ,
где Р – сумма длин или горизонтальных проложений, м.
Относительная невязка сравнивается с допустимой fдоп = 20001
или 10001 .
64
Стр. 64 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Если относительная невязка больше допустимой, то необходимо заново выполнить вычисления в пп. 5.3.3 и 5.3.4.
В случае если полученная относительная невязка допустима, т.е. fотн ≤ fдоп , то вычисляются поправки в приращения координат
пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с об-
ратным знаком.
Поправки в приращения координат δX и δY вычисляются с округлением до 0,01 м по формулам:
δ |
|
= − |
fX |
d |
; |
δ |
|
= − |
fY |
d |
, |
|
|
|
P |
||||||||
|
X |
|
P i |
|
|
Y |
|
i |
|
где δX и δY – поправки в приращение координат по оси Х и Y соответственно, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – сумма длин, м; di – измеренная длина (горизонтальное проложение), м.
Знак поправки противоположен знаку невязки.
Контроль. После вычисления поправок осуществляем проверку, т.е. складываем все поправки. Если их сумма будет равна невязке с обратным знаком, т.е. ∑δX = − fX и ∑δY = − fY , то распределение невязки выполнено правильно.
Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям, и получаются исправленные приращения координат:
∆Xиспр = ∆Xвычисл +δX ; ∆Yиспр = ∆Yвычисл +δY .
Контроль. При правильных расчетах сумма исправленных приращений координат в разомкнутом теодолитном ходе должна равняться теоретической, т.е. должны выполняться равенства:
∑∆Xиспр = ∑∆X теор; ∑∆Yиспр = ∑∆Yтеор .
Пример вычисления линейной невязки
Вычисляем:
–сумму приращений координат:
∑∆X =(−66,33)+(−91,14)+(−158,02)= −315,49 ,
∑∆Y =156,39 + 41,79 +(−80,45)=117,73 ;
65
Стр. 65 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
–теоретическую сумму приращений координат:
∑∆Xтеор = Xк − Xн =900,32 −1216,12 = −315,80,
∑∆Yтеор =Yк −Yн = 751,64 −633,73 = +117,91;
–невязку по координатным осям:
fX = ∑∆X −∑∆Xтеор = −315,49 −(−315,80)= +0,31, fY = ∑∆Y −∑∆Yтеор =117,73 −117,91 = −0,18;
– абсолютную невязку хода:
fабс = 0,312 +(−0,18)2 = 0,358;
– относительную невязку: fотн = fPабс = 447,460,358 =12491 .
Так как относительная невязка меньше допустимой, то линейные невязки fХ и fY распределяются по приращениям координат.
Пример вычисления поправок в приращения координат:
δX 1 = − fPX d1−2 = −447,0,3146169,87 = −0,12 ;
δX 2 = − fPX d2−3 = − 447,460,31 100,27 = −0,07 ;
δX 3 = − fPX d3−4 = − 447,460,31 177,32 = −0,12 .
Контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑δX = −0,31. |
|||||
δ |
Y1 |
= − |
|
|
fY |
|
d |
|
|
= − |
|
−0,18 |
169,87 = 0,07 ; |
|
|
|
P |
|
|
447,46 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1−2 |
|
|
|
||||||
δ |
Y 2 |
= − |
fY |
|
d |
2 |
−3 |
= − |
|
−0,18 |
|
100,27 = 0,04 ; |
||
P |
|
447,46 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
δ |
Y 3 |
= − |
fY |
|
d |
3−4 |
= − |
|
−0,18 |
|
177,32 = 0,07 . |
|||
|
|
447,46 |
||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||||
Контроль |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑δY =0,18 . |
|||||
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стр. 66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Пример вычисления исправленных приращений координат:
∆X1−2 =(−66,33)+(−0,12)= −66,45 ;
∆X2−3 =(−91,14)+(−0,07)= −91,21; ∆X3−4 =(−158,02)+(−0,12)= −158,14 .
Контроль |
∑∆Xиспр = −315,80 . |
|
∆Y1−2 |
=156,39 +0,07 =156,46 ; |
|
∆Y2−3 |
= 41,79 +0,04 = 41,83; |
|
∆Y3−4 |
=(−80,45)+0,07 = −80,38 . |
|
Контроль |
∑∆Yиспр =117,91. |
Сумма исправленных приращений координат получилась равной теоретической.
5.3.5. Вычисление координат точек теодолитного хода
Если контроль при уравнивании приращений координат выполняется, токоординатывсех точекходавычисляются по формулам:
Xn+1 = Xn +∆Xиспр; Yn+1 =Yn +∆Yиспр,
т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение.
Контроль. В результате последовательного вычисления координат точек разомкнутого теодолитного хода должны получиться координаты конечной точки.
Пример вычисления координат точек теодолитного хода: X2 = X1 +∆X =1216,12 +(−66,45)=1149,67 ;
X3 = X2 +∆X =1149,67 +(−91,21)=1058,46 ;
X4 = X3 +∆X =1058,46 +(−158,14)=900,32 .
Y2 =Y1 +∆Y =633,73 +156,46 =790,19 ;
Y3 =Y2 +∆Y = 790,19 + 41,83 =832,02 ;
Y4 =Y3 +∆Y =832,47 +(−80,38)= 751,64 .
67
Стр. 67 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Вычисления координат точек теодолитного хода выполнены верно, так как в результате получились координаты конечной точки.
5.4. Вычисление отметок точек теодолитного хода
Определение превышений и отметок точек теодолитного хода возможно разными способами. В данной работе рассматривается способ определения превышений методом тригонометрического нивелирования.
Для определения превышений методом тригонометрического нивелирования измеряются углы наклона δ, высота инструмента i (см. табл. 11), высота визирования V. Результаты вычислений на этом этапе заносятся в «Ведомость вычисления отметок точек теодолитного хода» (см. табл. 14).
5.4.1. Вычисление превышений между точками теодолитного хода
Превышения вычисляются с точностью два знака после запятой по формуле
h = d tg δ+i −V ,
где h – превышение между точками теодолитного хода; d – горизонтальное проложение между точками теодолитного хода; δ – угол наклона (вертикальный угол) между точками; i – высота инструмента; V – высота визирования. Результаты вычислений приведены в табл. 14.
Контроль. Прямое и обратное превышения равны по величине и имеют разные знаки (плюс и минус): hпр = −(hобр ). До-
пустимое расхождение в значениях превышений составляет
0,04100d , т.е.
h |
|
− |
|
h |
|
≤ |
0,04d |
. |
|
|
|
||||||
пр |
|
|
|
обр |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68
Стр. 68 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
69 .Стр
Таблица 1 4
Ведомость вычисления отметок точек теодолитного хода
|
Но- |
Горизон- |
Направление |
Направление об- |
Превы- |
Превыше- |
Среднее |
Поправ- |
Превыше- |
Отметки |
|||
|
мер |
тальные |
прямое |
ратное |
шение |
ние об- |
превыше- |
ка δh |
ние ис- |
точек |
|||
|
точки |
проло- |
|
|
|
|
прямое h1 |
ратное h2 |
ние со |
|
прав- |
теодо- |
|
|
Угол |
Высота |
Угол |
Высота |
|
||||||||
|
|
жения d |
наклона |
инстру- |
наклона |
инстру- |
|
|
знаком |
|
ленное |
литного |
|
|
|
|
δ |
мента i |
δ |
мента i |
|
|
прямого |
|
hиспр |
хода Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hср |
|
|
|
|
ЭБ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208,30 |
|
169,87 |
–0° 33′ |
1,50 |
+1° 36′ |
1,40 |
–3,13 |
+3,14 |
–3,13 |
–0,03 |
–3,16 |
||||
|
|
||||||||||||
ПНИПУ |
|
|
|||||||||||
2 |
205,14 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.(elib |
100,27 |
+2° 30′ |
1,40 |
–0° 38′ |
1,35 |
+2,78 |
–2,75 |
+2,76 |
–0,02 |
+2,74 |
|||
|
|
||||||||||||
3 |
207,88 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
.pstu |
|
177,32 |
+0° 44′ |
1,35 |
+0° 17′ |
1,47 |
+0,62 |
–0,65 |
+0,64 |
–0,04 |
+0,60 |
|
|
ru) |
4 |
208,48 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∑= +0,27 |
∑–0,09 |
∑=+0,18 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
Высота визирования V = 3 м. Высотная невязка fh = ∑hср −∑hтеор ;
∑hтеор = Hк − Hн = 208,48 −208,30 = +0,18 ; fh = ∑hср −∑hтеор =0,27 −0,18 = +0,09 .
Допустимая невязка fh доп = 0,04100∑din = 0,04 447,46100 3 = ±0,10 .
Пример вычисления превышений
Превышение между точками 1 и 2 (прямое)
hпр = d tg δпр +iпр −V =169,87 tg (−0o33′)+1,50 −3,0 = = −1,63 +1,50 −3,0 = −3,13 м.
Превышение между точками 2 и 1 (обратное)
hобр = d tg δобр +iобр −V =169,87 tg 1o36′+1,40 −3,0 = = 4,74 +1,40 −3,0 = +3,14 м.
Допустимое расхождение между прямым и обратным превышениями
0,04 169,87 = 0,07 . 100
Прямое и обратное превышения примерно равны по величине (разность 0,01 при допуске 0,07) и противоположны по знаку. Контроль выполняется.
5.4.2. Вычисление средних превышений
Средние превышения вычисляются по формуле
hср =0,5(hпр +hобр ).
В формулу средних превышений прямое и обратное превышения подставляются без знака. Среднее превышение имеет знак прямого превышения.
Пример вычисления средних превышений
Среднее превышение между точками 1 и 2 hср = 0,5 hпр + hобр = 0,5 3,13 +3,14 ≈3,13 .
С учетом знака среднее превышение между точками 1 и 2 равно минус 3,13 м.
5.4.3. Вычисление высотной невязки (уравнивание превышений)
Фактическая высотная невязка вычисляется по формуле
fh = ∑hср −∑hтеор ,
где ∑hср – сумма средних вычисленных превышений; ∑hтеор – теоретическая сумма превышений.
70
Стр. 70 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |