Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач
.pdfimin = iy = |
Jmin |
= |
12,56 |
= |
1 см. |
||
|
F |
12,56 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
2. Определим гибкость стержня |
|
|
|||||
λ = |
μl |
= 1 250 = 250. |
|
||||
|
|
||||||
|
imin |
1 |
|
|
|
3. Вычислим критическую силу. Поскольку λ > λпр = 100, то критическая сила может быть определена по формуле Эйлера:
P |
= |
π2 |
ЕJmin |
= |
3,142 2 106 12,56 |
= 12 400 Н. |
||||||||||||
(μl)2 |
|
|
||||||||||||||||
кр |
|
|
|
|
|
|
(1 250)2 |
|
|
|
||||||||
4. Проверим устойчивость стержня: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
= |
Pкр |
≥ [n |
|
] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Р |
y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
= |
Pкр |
|
= |
12400 |
= 2,01 ≥ [n |
|
] = 1,8 . |
|||||||
|
|
y |
Р |
|
6000 |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, устойчивость стержня обеспечена.
Пример 7.3
Подобрать размеры сплошного круглого деревянного стержня, нагруженного сжимающей силой, один конец которого жестко защемлен, а другой свободен от закрепления.
Дано: Р = 100 кН, μ = 2 , l = 1,5 м, [σсж ] = 15 МПа.
Решение:
1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения и гибкость стержня как функции диаметра.
Площадь сечения F = |
πd |
2 |
= 0,785d 2 , |
d = |
F |
. |
4 |
|
0,785 |
||||
|
|
|
|
|
81
Минимальный момент инерции Jmin = Jy = πd 4 = 0,0491d 4 .
64
|
Минимальный радиус |
инерции imin = iy = |
Jmin |
= |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
= |
0,0491d |
4 |
= 0,25d. |
|
|
|
|
||
0,785d 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Гибкость стержня λ = |
μl |
= |
2 3 |
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
0,25d |
||||
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
2. Запишем условие устойчивости сжатого стержня в виде
σ= P ≤ [σy ] = φ[σсж ].
F
Исходя из условия устойчивости выразим площадь поперечного сечения стержня
|
|
|
|
|
F ≥ |
|
|
P |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
φ[σсж ] |
|
|
|
|
|||||||
3. Площадь поперечного сечения определим методом по- |
|||||||||||||||
следовательных приближений. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Первое приближение. |
Примем |
φ = φ1 = 0,5 |
и, сохраняя |
||||||||||||
знак равенства, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F1 |
= |
|
100 103 |
|
= 0,0133 м2 = 133 см2 , |
|
|
|
|||||||
0,5 |
15 106 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
d1 = |
|
F1 |
|
= |
|
133 |
= 13 см. |
|
|
|
||||
|
0,785 |
|
0,785 |
|
|
|
|||||||||
Для найденного диаметра находим геометрические харак- |
|||||||||||||||
теристики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πd 4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
||
Jmin = |
|
= 0,0491d |
|
|
= 0,0491 13 = 1402 cм |
|
, |
||||||||
64 |
|
|
|
82
imin = Jmin = 0,25d = 0, 25 13 = 3,25 см.
F
Находим гибкость λ = |
μl |
= |
2 300 = 2400 = 184,6. |
||
i |
|||||
|
|
0,25d |
d |
||
|
min |
|
|
|
По таблице значений коэффициентов φ (табл. П2) для дерева при λ = 180 находим значение φ = 0,1, а при λ = 190 находим значение φ = 0,09.
Интерполируя, получим
φ1(табл) = 0,1− 0,1− 0,09 4,6 = 0,095. 10
Следовательно, |
выбранное значение |
φ = φ1 = 0,5 |
сильно |
|||||||||||||||||||||
завышено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σmax = |
|
P |
|
= |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
= 79 324 кН/м2 ≈ 79,3 МПа. |
|||||||||||
φ1′F1 |
0,095 0,01327 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Сравнивая σмах с [σ]сж = 15 МПа, видим, что в стержне бу- |
||||||||||||||||||||||||
дет перенапряжение в σмах /[σ]сж |
= 5, 29 раз, |
или 429 %. Следова- |
||||||||||||||||||||||
тельно, следует рассмотреть второе приближение. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Второе приближение. Задаемся новым значением |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
φ1 + |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
φ2 |
= |
φ1 (табл) |
= 0,5 |
+ 0,095 = 0,297. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F2 = |
|
P |
|
|
|
= |
|
|
|
100 |
|
|
= 0,0224 |
м |
2 |
= 224 |
см |
2 |
, |
|||||
|
φ2 [σ] |
|
|
|
0,297 15 103 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
d1 = |
|
|
|
F2 |
|
= |
|
224 |
|
= 16,9 см |
≈ 17 см. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
0,785 |
0,785 |
|
|
|
|
83
Для найденного диаметра находим геометрические характеристики
F = |
πd 2 |
|
= 0,785d 2 = 0,785 172 |
= 0,0227 м2 = 227 см2 , |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jmin = |
|
πd 4 |
|
= 0,0491d 4 = 0,0491 174 |
= 4098 cм4 , |
|||||||||||||||
64 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
imin = |
|
|
Jmin |
= 0, 25d = 0, 25 17 = 4, 28 см. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
||||
Находим гибкость λ = |
μl |
|
= 2 300 = 2400 = 140 . |
|||||||||||||||||
i |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25d |
d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
||
По таблице значений коэффициентов φ (см. табл. П2) для |
||||||||||||||||||||
|
|
λ = |
140 |
|
|
|
|
′ |
= |
0,16 |
|
|
||||||||
дерева при |
|
|
|
|
находим φ2 |
|
|
и определяем |
||||||||||||
σmax = |
|
P |
= |
|
100 |
|
|
|
= 27 533 кН/м2 ≈ 27,5 МПа. |
|||||||||||
|
|
|
0,16 0,0227 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
φ′2 F2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Перенапряжение составляет |
σмах /[σ]сж = 1,83, т.е. 83 %. |
Следовательно, необходимо рассмотреть третье приближение.
Третье приближение. Принимаем
|
|
|
|
|
|
′ |
0,297 |
+ |
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
φ3 |
= |
φ2 + φ2 |
= |
|
|
|
|
|
= 0,228. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F3 = |
|
P |
= |
|
|
100 |
|
|
= 0,02924 м |
2 |
= 292,4 |
см |
2 |
, |
||||||
φ3 |
[σ] |
|
0,298 15 103 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3 = |
F3 |
= |
292,4 |
= 19,3 см. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
0,785 |
|
0,785 |
|
|
|
Округляем диаметр до целых значений сантиметров и получаем d3 = 20 см.
84
Для найденного диаметра находим геометрические характеристики
F = |
|
πd 2 |
= 0,785d 2 |
= 0,785 202 = 314 см2 , |
||||||||||||
4 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Jmin = |
πd 4 |
= 0,0491d 4 |
= 0,0491 204 |
= 7854 cм4 , |
||||||||||||
64 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
imin = |
|
Jmin |
|
= 0, 25d = 0, 25 20 = 5 см. |
||||||||||||
|
F |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим гибкость λ = |
|
μl |
= |
2 300 = 2400 = 120. |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
0,25d |
d |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
||
Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
λ = |
μl |
= |
|
|
2 3 |
|
= 115,8. |
|
||||
|
|
|
|
|
0,0518 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
По таблице значений коэффициентов φ (см. табл. П2) нахо-
димсучетоминтерполяции φ′ = 0, 22. Расчетноесопротивление
3
σmax = |
P |
= |
100 |
= 14 476 кН/м2 ≈ 14, 48 МПа. |
|
0, 22 0,0314 |
|||
|
φ′3 F3 |
|
Недонапряжение σмах /σсж = 0,965, т.е. 3,5 %.
Это меньше допускаемых 5 %. Следовательно, на этом расчет можно прекратить и принять окончательный размер диаметра d = 20 см.
85
Задание 7.1
Подобрать размеры поперечного сечения сжатой стойки из Ст.3, если [σсж ] = 160 МПа, h = 2b, d = 1,2d0. Определить коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах поперечного сечения.
Содержание работы:
1.Вычертить заданную схему и поперечное сечение с указанием главных центральных осей.
2.Подобрать размеры сечения из условия устойчивости методом последовательных приближений.
3.Определить коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах поперечного сечения.
Указание: числовые данные и виды |
схем выбираются |
||
в соответствии с шифром по табл. 7.1 и рис. 7.2. |
|||
|
|
|
Таблица 7 . 1 |
|
|
|
|
Номер |
|
Цифрашифра |
|
1-я |
2-я |
3-я |
|
|
Схема |
Р, кН |
l, м |
1 |
1 |
400 |
6 |
2 |
2 |
550 |
5 |
3 |
3 |
600 |
7 |
4 |
4 |
650 |
9 |
5 |
5 |
450 |
8 |
6 |
6 |
500 |
6 |
7 |
7 |
520 |
8 |
8 |
8 |
540 |
5 |
9 |
9 |
560 |
9 |
10 |
10 |
640 |
7 |
86
Рис. 7.2
87
Вопросы для самопроверки
1.Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие.
2.Критическое состояние равновесия. Критическая сила. Что может служить критерием потери устойчивости?
3.Как влияет изменение закрепления стержня на величину критической силы?
4.Как записывается формула Эйлера для стержня с шарнирными опорами?
5.Что собой представляет коэффициент приведения длины и чему он равен для основных случаев закрепления концов сжатого стержня?
6.Гибкость стержня. От каких факторов она зависит?
7.Алгоритмырешенияпроверочной, проектировочнойзадач.
88
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основной
1.Степин П.А. Сопротивление материалов: учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2010. – 320 с.
2.Сопротивление материалов: учеб. пособие / П.А. Павлов, Л.К. Паршин [и др.]. – СПб.: Лань, 2003. – 525 с.
3.Сопротивление материалов: учеб. пособие для вузов / Н.Н. Вассерман [и др.]. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. по-
литехн. ун-та, 2011. – 364 с.
4.Копнов В.А., Кривошапко С.Н. Сопротивление материалов: руководство для решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ: учеб. пособие. – М.:
Высш. шк., 2003. – 351 с.
Дополнительной
1.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: учеб. пособие для втузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003. – 560 с.
2.Сопротивление материалов: пособие по решению задач: учеб. пособие / И.Н. Миролюбов [и др.]. – СПб.: Лань, 2007. – 508 с.
3.Сопротивление материалов: учеб. пособие для втузов / Н.А. Костенко, С.В. Балясникова [и др.]. – М.: Высш. шк., 2004. – 430 с.
4.Сопротивление материалов: метод. указания к выполнению расчетно-графич. работ / сост. Т.В. Чернова. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2012. – 27 с.
5.Чернова Т.В. Критерии прочности и пластичности: учеб.-метод. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. поли-
техн. ун-та, 2012. – 19 с.
89
Приложение Таблица П1
Номер |
Фигура |
Площадь |
|
Абсциссы |
||||||
центратяжести |
||||||||||
|
|
|
|
|
z1 |
z2 |
||||
1 |
|
|
yl |
|
l |
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
yl |
|
1 l |
2 l |
||||
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
yl |
|
1 l |
3 l |
||||
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
2 yl |
3 l |
5 l |
||||||
|
|
3 |
|
8 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
2 yl |
|
l |
|
|
l |
|
||
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90