Лекции по высшей математике Часть 1
..pdfЗамечание. |
Уравнения |
р = a sin fap , |
р - a cosfap, |
где |
а >0Уk e N , к >2, определяют в полярной системе |
координат линии, |
|||
называемые розами, |
причем, если |
к - четное число, то у розы |
2к |
лепестков, если к - нечетное, то к лепестков, расположены данные линии в круге радиуса а .
Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве
§14. Плоскость
14.1.Уравнение поверхности в пространстве
Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Если поверхность определена чисто геометрически, исследование поверхности начинают с
вывода ее уравнения.
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве позволяет
установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства
и тройками чисел |
х, у, z - их координатами. |
|
|
|
|
|
|
Свойство, общее для всех точек поверхности, можно записать в виде |
|||||||
уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности. |
|
|
|||||
Уравнением поверхности в декартовой прямоугольной системе |
|||||||
координат Oxyz называют такое уравнение |
|
|
|
|
|
||
|
|
F (x ,y ,z) = Q, |
|
|
|
(14.1) |
|
которому |
удовлетворяют координаты точек, |
лежащих |
на |
этой |
|||
поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, |
не лежащих на этой |
||||||
поверхности. |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что уравнение (14.1) может определять не поверхность, а |
|||||||
точку, или вовсе не иметь |
геометрического образа. |
Например, уравнение |
|||||
(* - 1)2 + у 2 + z2 -1 = 0 определяет сферу с центром в точке 0'(1;О;О) |
радиуса |
||||||
R = I ; уравнению |
( * - 1)2 + у 2 + z2 = 0 |
удовлетворяет |
только |
одна |
|||
точка О;0;о); а уравнение |
( x - l ) 2 + y ^ + z 2 +\ = 0 |
вообще не имеет |
геометрического образа.
Если F (x,y,z) - многочлен п-ой степени, то уравнение (14.1) называется алгебраическим уравнением степени п с тремя неизвестными.
Утверждение 14.L Если поверхность в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени п , то эта поверхность в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени
14.2. Плоскость
Простейшей поверхностью является плоскость.
Теорема 14.1. Каждая плоскость а в пространстве Oxyz
определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными:
Ax + Dy + Cz + D = 0 |
(14.2) |
Доказательство.
Для доказательства достаточно показать, что плоскость а определяется алгебраическим уравнением первой степени относительно специально
выбранной декартовой прямоугольной системы координат.
Систему координат выберем следующим образом: оси Ох и Оу
расположим в плоскости а , а ось Oz направим перпендикулярно плоскости
а . Тогда уравнением плоскости |
а относительно |
выбранной системы |
координат будет алгебраическое |
уравнение первой |
степени 2 = 0, т.к. |
этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точки, лежащей на плоскости, и не будут удовлетворять координаты ни одной точки, не лежащей на плоскости.
Следовательно, в силу утверждения 14.1 относительно любой другой декартовой прямоугольной системы координат плоскость а будет определяться алгебраическим уравнением первой степени.
Теорема доказана.
Теорема 14. 2. Всякое уравнение первой степени (14.2), где хотя бы одно из чисел А, В, С отлично от нуля, определяет плоскость в пространстве.
Доказательство.
Найдем то*!ку Mo(xQtyQ,zQ) , координаты которой удовлетворяют уравнению (14.2):
|
|
Ахо + Ву0 + Cz0 + D - 0. |
|
|
|
|
(14.3) |
|||
Вычитая из уравнения (14.2) тождество (14.3), получим уравнение |
|
|||||||||
|
|
А(х- *0)+ б (у -у 0)+ c (z - го) = °э |
|
|
|
(14-4) |
||||
эквивалентное уравнению (14.2). |
|
|
|
|
|
|
||||
Покажем, что уравнение (14.4) определяет |
уравнение |
плоскости а , |
||||||||
проходящей |
через |
точку |
л^С чь-Уо^ о) и |
|
|
|
|
|||
перпендикулярной вектору |
п = {А,В,С) |
( п |
|
|
|
|
||||
ненулевой вектор, т.к. хотя бы одно из чисел |
|
|
|
|
||||||
А, В, С отлично от нуля). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 58. |
|
|
Действительно, если точка |
M(x,y;z) |
лежит на указанной плоскости а , |
||||||||
то векторы |
п = {ЛУВ,С} |
и |
А/0Л/ = { х - х 0, у - y 0, z - z 0] ортогональны, |
|||||||
следовательно, |
их |
скалярное |
произведение |
равно |
нулю: |
|||||
А(х - х0)+ в(у - y Q)+ c (z - z0) = 0 . Если же точка |
M (x;y;z) |
не лежит на |
||||||||
плоскости |
а, то векторы |
п и |
МпМ |
не ортогональны и, следовательно, |
А (х -х 0)+ В(у- у^)* c (z - z0) * 0.
Таким образом, уравнение (14.2), эквивалентное уравнению (14.4), определяет плоскость а. Теорема доказана.
Уравнение (14.4) называется уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0,y 0,z 0) перпендикулярно вектору п = {А,В,С}.
14.3.Различные виды уравнения плоскости
|
Уравнение (14.2), в котором |
хотя бы один из коэффициентов А, В, С |
|||||||||
отличен от нуля, называется общим уравнением плоскости. |
|
||||||||||
|
Вектор |
|
п = {А,В,С}-, |
перпендикулярный |
плоскости, |
называется |
|||||
нормальным вектором плоскости или нормалью. |
|
|
|||||||||
|
Общее уравнение плоскости (14.2) называется полным, если все |
||||||||||
коэффициенты |
А,В,С, D |
не равны нулю. |
|
|
|||||||
|
Если хотя бы один из коэффициентов AyB,CyD равен нулю, то |
||||||||||
уравнение (14.2) называется неполным. |
|
|
|
||||||||
Неполные уравнения плоскости |
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений плоскости. |
||||||||||
1) Если |
D =o, то уравнение принимает вид Ax+ By+Cz =о, в этом случае |
||||||||||
плоскость |
проходит через начало координат, т.к. точка 0(0;0;0) удовлетворяет |
||||||||||
этому уравнению. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
Если |
А=о, |
то |
уравнение |
By+Cz + D = о |
определяет |
плоскость, |
||||
параллельную оси Ох. |
|
|
|
|
|
|
|||||
3) Если В=0, то уравнение Ax+Cz+D=0 |
определяет |
плоскость, |
|||||||||
параллельную |
оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
Если |
с =0, |
то |
уравнение |
Ax + By + D = о |
определяет |
плоскость, |
||||
параллельную оси Oz. |
|
|
|
|
|
|
|||||
5) |
Если |
|
A= D- о, |
то |
уравнение |
By+Cz =о |
определяет |
плоскость, |
|||
проходящую через ось Ох. |
|
|
|
|
|
||||||
6) |
Если |
J9 =D =o, |
то |
уравнение |
Ax+Cz=0 |
определяет |
плоскость, |
||||
проходящую через ось Оу. |
|
|
|
|
|
||||||
7) |
Если |
С-D=0, |
то |
уравнение |
Ах+ Ву= о |
определяет |
плоскость, |
||||
проходящую через ось Oz. |
|
|
|
|
|
||||||
8) Если |
А= В =0, то плоскость Cz+D= Q проходит параллельно плоскости |
||||||||||
хОу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9) Если А= с =о, то плоскость Ву+о =о проходит параллельно плоскости
xOz.
10)Если я =с =о, то плоскость Ax+D= o проходит параллельно плоскости
yOz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11) Если А =в = D=о, то уравнение с* = о (или |
z = о ) определяет плоскость |
|||||||||
хОу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) Если |
А= С = D= o, |
то |
уравнение |
Ву =о |
(или |
у = 0) |
определяет |
|||
плоскость xOz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13) Если |
в =с = D= o, |
то |
уравнение |
Ах=о (или |
* = о) |
определяет |
||||
плоскость yOz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоскости в отрезках |
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим |
полное |
уравнение плоскости |
(14.2). Покажем, что его |
|||||||
можно привести к виду |
|
X |
у |
Z |
|
|
|
|
||
~ + ~ + ~ - 1. |
|
|
|
|
||||||
Для этого совершим следующие преобразования: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ах + By+Cz = -D , |
|
|
|
||
|
А |
В |
С . |
|
или |
X |
+ |
и |
|
|
|
-----х ----- у ----2 =1 |
|
|
|||||||
|
D |
D |
D |
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения: а =
уравнение примет вид
и 1
с = - D/ c . Тогда последнее
|
|
х |
У |
z |
х |
|
(14.5) |
|
|
а |
Ъ |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Уравнение (14.5) называется уравнением плоскости в отрезках. |
|
|||||
|
Геометрический смысл чисел |
о, |
b, с \ |
|
|
||
а, |
Ь, с |
- отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей Ох, |
|||||
Оу, |
Oz |
соответственно, т.е. точки |
|
(а;0;0), (0;£;0), |
(0;0;с) |
точки |
пересечения плоскости с осями координат. |
Уравнение (14.5) используется |
||||
для построения плоскости. |
|
|
|
||
Пример |
14.1. Привести уравнение |
плоскости x + 2y + 3z-6 = 0 к |
|||
уравнению в отрезках и построить данную плоскость. |
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
Запишем |
данное |
уравнение |
в виде |
|
|
уравнения |
в отрезках: |
x + 2y + 3z = 6, |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
Следовательно, |
|
а - 6, |
6 = 3, с = 2 . |
||
|
|
|
|
|
Рис.59. |
Для построения |
плоскости |
отметим |
точки (б;0;0), (0;3;0), (0;0;2) |
||
и проведем |
через них плоскость (см. рис. 59). |
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Три точки пространства м у(х{tyltzx), м 2(х2>У2>22)’ ^ зС^з.-Уз^ з)» не лежащие
на одной прямой, определяют единственную плоскость.
Возьмем на плоскости произвольную точку м(х,у,г) и составим векторы:
МХМ ={x-x1;y - >)/|;z-Zi},
= f a -y,;z2
М,М, = {x,-xl; y ,- y l;z,-z,}.
Векторы МХМ, МХМ2, МХМ) лежат в одной плоскости, следовательно, они компланарны, т.е. их смешанное произведение равно нулю:
М , М М , М г М , М , = 0 .
Запишем последнее равенство в координатном виде:
Х - Х { |
У - У х |
2 ~ Z \ |
(14.6) |
х 2 - Х \ |
У 2 - У \ |
-2 - z \ = 0 . |
|
Х з ~ Х ] |
У з - У ] |
Z3 “ Z, |
|
Уравнение (14.6) называется уравнением плоскости, проходящей
через три точки.
Заметим, что в определителе равенства (14.6) вторая и третья строки будут числовыми, поэтому раскрыв определитель по первой строке, получим алгебраическое уравнение первой степени вида ( 14.2).
Нормальное уравнение плоскости |
|
|
||||||
Рассмотрим некоторую плоскость а. На |
|
|||||||
плоскость а опустим перпендикуляр ОР из |
|
|||||||
начала координат (рис. 60). |
|
|
|
|||||
На |
ОР |
возьмем единичный вектор |
п, |
|
||||
направление |
|
которого |
совпадает |
с |
|
|
||
направлением |
ОР , (если плоскость |
а |
Рис. 60. |
|||||
проходит |
через |
начало координат, |
|
|||||
то направление вектора п |
выбирается произвольно). Введем обозначения: |
|||||||
|
направляющие |
косинусы |
вектора |
обозначим |
||||
cos a, |
cos р, |
cosy |
Составим уравнение плоскости а . Возьмем любую |
точку M(x\yyz), лежащую на плоскости, и соединим ее с началом координат.
A /(rj;:)e a о пр.,ОМ = р или
п |
|
и |
п - {cosa; cos /?;cos у), |
последнее уравнение в координатной форме примет вид |
|
х cos а + у cos Р + z cos у ~ р = 0. |
(14.7) |
Уравнение (14.7) называется нормальным уравнением плоскости.
118
В нормальном уравнении плоскости сумма квадратов коэффициентов
при х , у , |
z |
равна единице (тождество для направляющих косинусов) |
и |
|||||
коэффициент |
р > О |
(т.к. |
р |
- расстояние от |
начала координат |
до |
||
плоскости). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
приведения |
общего |
уравнения плоскости |
Ax + By + Cz + D =0 |
к |
|||
нормальному |
виду |
его |
следует |
|
умножить на нормирующий множитель |
|||
и = ± . |
- ..., , |
при |
этом знак |
ц выбирается противоположным знаку |
||||
J A 2 + B 2+C 2 |
|
|
|
|
|
|
свободного члена нормируемого уравнения, т.е. коэффициента D .
14.4.Расстояние от точки до плоскости
Пусть заданы точка |
М'[х*\y \ z ' ) |
и |
|
|
|
|||||
плоскость |
а своим |
общим |
уравнением |
|
|
|
||||
Ax + By + Cz + D =0. |
Расстояние d |
от точки |
|
|
|
|||||
Л/* до |
плоскости а |
вычисляется |
по |
|
|
|
||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 61. |
||
|
|
|
U - JC +В-у +С ■:Чд| |
|
|
|
(14.8) |
|||
|
|
|
d = L |
<JA 2 + B Z +C * |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вывод формулы (14.8) такой же, как вывод формулы расстояния от |
||||||||||
точки |
М'{х*\у') |
до |
прямой |
Ах + Ву + С =0. |
Предлагается доказательство |
|||||
формулы (14.8) провести самостоятельно. |
|
|
|
|||||||
Если |
же |
плоскость |
а |
задана |
нормальным |
уравнением |
||||
*cosa + ycos/? + zcos7'- p = 0, то расстояние d |
от |
точки M*(x‘\ y \ z ' ) до |
||||||||
плоскости вычисляется по формуле |
|
|
|
|
||||||
|
|
d = |x*cosa + y*cos/? + z*cos7'- p | |
|
|
(14.9) |
|||||
Пример 14.2. Вычислить расстояние от точки |
/*(—1;1;—2) |
до плоскости |
||||||||
а , проходящей через точки |
Л^б;-!;!), М2(-2;1;3), Л/3(4;-5;-2). |
|
Решение. |
Составим уравнение |
плоскости |
а , используя |
||||
формулу (14.6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
х - \ |
у + 1 |
z - 1 |
|
|
|
|
|
- 3 |
2 |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
3 |
- 4 |
- 3 |
|
|
|
|
Раскроем определитель по первой строке |
|
|
|
||||
(х - |
1)(-6 + 8) - |
(у + 1)(9 - |
6) + (z - |
1)(12 - |
6) = 0 |
||
Упростив уравнение, получим общее уравнение плоскости а |
|||||||
|
2х —3у + 6 z - 11 = 0 |
|
|
|
|||
Вычислим расстояние от точки Р |
до плоскости а |
по формуле (14.8): |
|||||
л |2 ( - 1 ) - 3 1 + 6 ( - 2 ) - П | |
28 , |
|
|
||||
|
V4 + 9+ 36 |
|
|
7 |
|
|
14.5.Угол между двумя плоскостями.
Пусть даны две непараллельные плоскости
а, Ахх + Вху + C,z + D] = 0 ,
а2 Л2х + В2у + C2z + D2 - 0.
Пересекаясь, |
две плоскости образуют четыре двугранных угла, |