Моделирование процессов деформирования и разрушения композитов Част
..pdfнеоднородность приводит к тому, что напряжения в компонентах компози та, находящегося под действием всестороннего сжатия, не являются чисто гидростатическими. Вследствие этого композиции из материалов, каждый из которых в отдельности деформируется упруго при гидростатическом силовом воздействии, могут обнаружить при аналогичном воздействии пластические деформации за счет неупругого формоизменения компонен тов. Пластические изменения объема будут существенны, если модули объемного сжатия элементов структуры отличаются значительно.
В случае одноосного растяжения поведение материала, для которого справедливы определяющие соотношения (5), может быть описано уравне ниями
ст33 = £ ( l - e ) e 33, е „ = е22 = - v 0 - ч)ез3, |
|
|
_ G K (l-g ) + 3 fg (l-K ) |
KG(K - g) |
(Ю) |
G ( l - g ) + 3 £ (l-K ) ’ |
Л ( /T - f G ^ O - ^ + A G O - g ) ] ’ |
|
где E и v — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона мате риала в неповрежденном состоянии.
Частным случаем тензора поврежденности четвертого ранга является скалярная функция поврежденности Q . Обращаясь к соотношениям (1), с учетом 0.klmn = OIklmn получим физические уравнения простого вида
®ij = Сут„ (1 —fi)Emn.
Модель деформирования, построенная на основе скалярной функции поврежденности, описывает лишь равномерное по объему, не зависящее от ориентации нагрузки накопление повреждений, при котором относитель ное изменение всех деформационных свойств одинаково, тип анизотропии, естественно, сохраняется. В рамках этой модели для изотропного материа ла предполагается, что к = g, v = const. Скалярная функция Q эквива
лентна параметру поврежденности Л.М. Качанова.
Если компоненты тензора Q изотропного материала определить та ким образом, чтобы к = 0, то есть не учитывать неупругое изменение объ ема, то функция поврежденности g совпадет с известной функцией пла стичности А.А. Ильюшина, а соотношения (5) с уравнениями теории малых упругопластических деформаций при активном нагружении.
Для разгрузки от достигнутого в процессе пропорционального на
гружения уровня напряжений 5 и деформаций |
е запишем линейные со |
отношения |
|
°(/ “ 5 <У= i3KVijmn + 2GHijmn\zmn - emn) . |
(11) |
Физические уравнения (2) для рассматриваемой изотропной среды после введения изотропного тензора
Ъ'ш = yfikfimn + V 2(8 ^ 8 + 8te6lm) |
( 12) |
имеют вид
г у = [ЗЛ(1 + r)ViJmn+ 27(1 + х)Нутп]стт„ ,
r = 3H/, + 2V(/2, т = 2\|/2.
Упругие коэффициенты податливости Л и Г однозначно определяются уп ругими модулями К и G, а функции увеличения податливости г и т функ циями поврежденности к и g\
Т |
г = |
к |
(14) |
||
|
4G ’ |
|
Поведение трансверсально изотропного материала, не изменяющего тип анизотропии в процессе деформирования, может быть описано соот ношениями (1) с помощью тензора поврежденности, компоненты которого определяются формулой
&ijki = ©1S/jSki +©2 (S/ikSy/ + 8 //8 д )+
+ 0)38,38738*38/3 + 0)48,38738*/ + о)68,78*38,3 + |
(15) |
+ со5 (5 l78 738*3 + 8,*8у35 /3 + 5 7*8,38/3 + 87/8,38*3)
При этом о)а (а = 1,...,5) являются независимыми функциями, а со6 вычис ляется на основании условия
/ |
к |
(16) |
^3311 = “ (^3333 ~ ^1111 "■ ^ ii2 2 )+ 2 - Q 1133. |
||
п |
п |
|
Упругие константы трансверсально изотропной среды /, п, к, GL и Gu
определяются через компоненты тензора упругих модулей С:
* = {(^ п п ^1122)» ^ = Qi33» л = Ошз>
(17)
= Q212» G,I = Q313
Представим определяющие соотношения в следующем виде:
i(<*n+*22)=*0~KXen+e22)+*0 - ф)езз>
i(^ ll ”*^22) = ^ l0~ ~ P lX 8ll _ e 22)>
c33= /(1 —4>Xen +е2г)+w0“^)833>
a 12 = 2G_L(1 - Pl)£l2>
a i3 = 2Gn(l-pn )ei3, |
a 23 = 2Gn(l-p n )e 23. |
|
|
|
|||||||||
Все компоненты тензора поврежденности могут быть определены |
|||||||||||||
пятью независимыми функциями к, <р, |
рх и |
рп |
с учетом (15), (16) и |
||||||||||
следующих уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
° ш , _ 2 |
Р х “ |
/2 |
|
|
кп |
|
J, п зззз |
|
Ли |
|
|||
кп-11 |
кп-1г |
|
- -кп-1 \ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
- Ф |
+ - |
|
|
|
|
|
|
|
^ПЗЗ - |
------:т(ф*” £)> |
^1313 |
1 |
^1212“ |
^ Pi* |
(19) |
|||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
2 Л77 —/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если ввести четыре независимых инварианта тензора деформаций |
|||||||||||||
трансверсально изотропной среды [26] |
|
|
|
|
|
||||||||
/(1) _ |
р |
, р |
/(2) _ р |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Л |
“ |
811 + 8 22» |
Л |
_ 8 зз> |
|
|
|
|
|
(20) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y P |
- |
V(ell ■“ 82г) + 4 812> |
Уе4) - |
л/813 + 8 23 |
|
|
|||||||
и четыре инварианта тензора напряжений |
|
|
|
||||||||||
Уа]) = 2(С11 + а 2г)5 |
Уа2) = а 33> |
|
|
|
|
|
|||||||
У ® |
= V ( ^ U - ^ 2 2 ) 2 + 4 CT12. |
7а4) = V « 1 3 + » 2 3 . |
|
|
|||||||||
то соотношения (18) можно записать в инвариантной форме: |
|
||||||||||||
Уа1= *0 " |
+ 4 1 - ф) ^ 2) . Л 2) = '0 - ф ) ^ |
+ «(1 - |
§ А 2), |
||||||||||
№ = 2Ох 0 - р х )у<3>, |
; i 4) = 20п(1 - р п)у<4> |
|
|
||||||||||
При разгрузке эти соотношения приобретают вид |
|
|
|
Л” -7i" = *<jiu -7.<1>)*Ч-'?>-7«<2>),
j ® - 2GL (J? - 1? ) , / » - 7i4l=2GII(y«,-7«1),
где величины, помеченные волнистой чертой, соответствуют пластическо му состоянию, достигнутому к началу разгрузки.
Уравнения (2) для трансверсально изотропной среды сведем к сле дующей системе определяющих соотношений
е11 + е22 = 2^0 + |
+ ° 22) - Д 1 + Х)^335 |
|
i ( s n - Е 2 2 ) = Qx(l+ я±Урп ~ап)> |
|
|
833= N(1 +0<733- |
+хХст11 + °22). |
(23) |
®12 = 2(?l(l+ ?J> 12 . |
|
|
е13 = 2 б п 0 + ?п)°13> |
е23 = 20ц (1+ 911)°23- |
|
Дальнейший переход к соотношениям в инвариантном виде является оче видным.
Коэффициенты податливости можно определить, зная упругие по стоянные, входящие в уравнения (18):
п |
l |
к |
|
L = |
N = |
|
nk-l2’ |
nk-l2’ |
|
|
(24) |
|
Qn - 4G„ |
|
функции увеличения податливости, входящие в предлагаемые урав нения (24), связаны с упругими константами и функциями поврежденности трансверсально изотропного материала:
я = Ф (1 -$ )-1, Х = Ф (1 -ф )-1, £ = Ф (1 -к )-1 ,
а _ Рп |
„ _ Pi |
(25) |
?п - "1-Рп . |
Ях ~ -1 - p i |
, |
п к - Г
где Ф =
п Щ - ф - * ) - 1 О -Ф )
Соотношения (1) применительно к ортотропному материалу запишем в следующем виде:
a ll = Q l l l ( l “ ^ l ) e ll + Q l 2 2 0 “ ^ 4 )8 22 + С п 3 з 0 ~ ^ б ) 8 33>
а 22 = Q l22 0 “ ^4)ell + Q 2220~^2)822 + 0>23зО “ ^ ) 833»
а33 = С113з(1_^б)811 + ^223з0“ ^5)822 + ОзЗЗзО " ^З^ЗЗ*
a 12 = 2C12I20~’ ^7)812»
а 2з =2С 232з(1 -^ 8 )823>
a 13 = 2С1313(1 -Х 9)е1з.
Независимые функции поврежденности Xa (a = l,...,9) однозначно связа
ны с компонентами тензора Q для рассматриваемого материала.
4. Материальные функции деформационной теории поврежденных сред
Функции (или константы), по которым можно полностью восстано вить связь тензора напряжений и тензора деформаций, следуя определяю щим соотношениям, описывающим данную модель механики деформи руемого твердого тела, называются материальными функциями (или кон стантами) [26].
Рассматривая тензорно линейные определяющие соотношения, сле дует заключить, что в случае изотермических процессов и склерономной изотропной среды функции к и g зависят только от двух инвариантов тен зора деформаций, а г и т — от двух инвариантов тензора напряжений. При этом, если тензоры а й в являются потенциальными, то есть сущест вуют скалярные функции W и w такие, что
dW
(27)
а,] " дгу '
то эти инварианты определяются формулами (7) и (6), а для функций
K(je1).-/12)). g 0 1 U (2)), tfa j™ )-. j l 2)) справедливы уравнения
|
^ |
9 RJ® |
8r |
« « 2 G % V |
# |
= 2 |
(28) |
В частном случае, когда поведение изотропного материала описыва |
|||
ется функциями |
g{ji2^y |
х р ^ ) , что не противоречит ус |
ловиям потенциальности, для их определения достаточно двух независи мых экспериментов. Например, по результатам испытаний на кручение
тонких трубчатых образцов может быть получена зависимость jjp ~ |
и |
|
построены функции |
Знание зависимости сг33 ~ B33, обна |
руженной в результате испытаний на одноосное растяжение, позволяет вы
числить связь первых инвариантов у® ~ у® , определив по напряже
ниям а 33 и а п = а 22 = 0, получив значение второго инварианта тензора
деформаций с |
использованием функции |
у |
и |
найдя деформации |
еи = в22, соответствующие вычисленной величине у^ |
На основании за |
|||
висимости J® |
строятся функции к(у® ) |
и г(у® ), то есть для них |
выбирается вид аналитических зависимостей и определяются константы.
Соотношения между напряжениями и деформациями (18) и (24), предложенные для описания неупругого поведения трансверсально изо тропных материалов, содержат материальные функции, зависящие в общем случае от четырех независимых инвариантов, что определяется тензорной линейностью соотношений и типом анизотропии среды [25]. В качестве ар гументов материальных функций могут быть использованы инварианты тензоров деформаций и напряжений, заданные уравнениями (20) и (21):
к = к(ур),...,у<4)), Ф = ф( # , . . . , у14)), £, = Ф 'Р ,...,у14)), |
|
|
Р±=Р±(А1)>->А4)), Рп = Рп(у! 4 . - , # ) . |
(29) |
|
* = п ( Л 1К .. . ,Л 4>), х = х ( Л 1К . . , Л 4)), |
|
|
<7i = Я±.(АК-,АР), |
= 4ш(А 1)- - ’ А 4)) |
(30) |
Функции (29) и (30) не могут быть независимыми, если предполага ется потенциальность тензора напряжений, так как для функций
исправедливы условия(27) и следующие:
А°- |
т_ |
,(') = |
ъ». |
/ = |
4. |
(31) |
||
|
зА,у |
h |
~ 0) Т |
|
|
|
|
|
;овательно, существует связь i |
|
|
|
|||||
|
дк |
|
Зф |
= / / « |
3 9 |
+п/ I |
^ |
|
|
|
|
|
|||||
эА2) |
|
дА2) ' л |
з у « |
л |
дЛ1У |
|||
|
дк |
|
Зф |
= G , |
/ (3) |
др1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
дА3) |
W " |
х Л |
ел»’ |
|
||||
№ |
дк ■+«?> |
Эф |
- 4G TT/W |
|
5 р п |
|
||
дЛ4) |
|
«/!*> |
‘ |
п Л |
|
з у « |
|
|
Эф |
|
|
= с , |
/ И |
5 р ± |
|
||
еА3) |
СО' |
|
||||||
х Л |
эу (2) ’ |
|
||||||
Зф |
|
|
|
|
|
|
|
|
А 1) |
+wi2) |
|
= 4 G „ / (4) |
5 р п |
|
|||
® 4‘ > |
|
дА4)' |
п Л |
|
# ? > |
|
||
G J ? |
др ± = 4 С Ц/ (4) Ф д |
|
|
|
||||
|
дА4) |
|
|
Ы3) |
|
|
(3 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На основании (31) выводятся аналогичные уравнения для функций (30). Деформационная теория пластичности анизотропных сред обладает
достаточной общностью, однако ее применение при решении конкретных практических задач может вызвать затруднения, связанные с эксперимен тальным определением функций многих аргументов. В связи с этим возни кает необходимость, с одной стороны, развития методов прогнозирования материальных функций анизотропных композитов по свойствам компонен тов, с другой — разумного упрощения определяющих соотношений. В [26] рассмотрены понятия упрощенной теории, для которой к = ф = 4 = 0,
Pi = P i ( ; f J 4)). Рп = Р п ( # . # ) » и простейшей теории: к = <р = \ = 0,
Pi =P I (A(3)). Рп =Р п(Л(4))-
Экспериментальное построение материальных функций в рамках уп рощенной теории осуществляется на основе проведения серии эксперимен тов по совместному кручению и растяжению либо кручению и действию внутреннего давления для тонкостенного цилиндрического образца, если ось трансверсальной изотропии направлена по радиусу. Если принять про стейшую теорию, то достаточно будет провести два эксперимента, напри мер, растяжение и кручение образца.
Для ортотропного тела аргументами материальных функций являют ся шесть инвариантов тензора деформаций:
= Еп , 42 ) = е22, 4 3>= бзз, 44 > = 8И, 45> = 823 >46> = 8,3. |
(33) |
Аналогично вводятся и инварианты тензора напряжений: |
|
4» = с„, 4 2) = о22, 1 ® = с33, 4 4) = а12, 4 5) = a2J, 4 6) = а 13. |
(34) |
Следует отметить, что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров, как это зафиксировано в уравне ниях (33) и (34), только в специально выбранной системе координат, оси которой совпадают с главными осями ортотропии.
Экспериментальное определение функций от шести аргументов представляется мало реальным. Поэтому следует каким-то образом (на ос нове теоретического прогноза или установочных экспериментов) упростить определяющие соотношения. В основу упрощения может быть положена
гипотеза о линейной связи инвариантов и (а = 1, 2, 3), то есть
Хр = 0 при Р = 1,...,6. В рамках простейшей теории кроме последней гипо тезы могут быть приняты также следующие зависимости:
для у = 4, 5, 6. Как видно из соотношений(26), для определения этих зави симостей, то есть построения материальных функций Я.7^ 4^, k g(4 5^) и
необходимо осуществить в экспериментах сдвиги по трем взаим
но ортогональным плоскостям, параллельным главным осям ортотропии. Вопрос о применимости той или иной теории для описания поведе
ния композита должен решаться в каждом конкретном случае на основании данных экспериментов или результатов теоретического прогнозирования. Естественно, что теоретическое прогнозирование также нуждается в экспе риментальном подтверждении, однако объем экспериментальных исследо ваний в этом случае может быть несравнимо меньшим, чем при построе нии всех материальных функций только на основании опытных данных.
5. Модели разрушения по совокупности критериев
Полному (макроскопическому) разрушению элементов конструкций из гетерогенных материалов предшествует сложный процесс потери несу щей способности отдельных элементов структуры. Каждый акт структур ного разрушения сопровождается перераспределением напряжений, при водящим либо к продолжению, либо к прекращению разрушения при дан ном уровне внешней нагрузки. Изучение кинетики этого процесса важно как для анализа условий образования макротрещины, так и для исследова ния механического поведения деформируемого материала. Следствием указанного процесса является нелинейный характер зависимости между напряжениями и деформациями структурно-неоднородных сред, который определяется не только пластическим деформированием и может иметь место даже в случае линейно упругих компонентов. Построение структур но-феноменологических моделей неупругого деформирования и разруше ния с учетом структурного разрушения выдвигает в качестве основных во просы выбора критериев прочности элементов среды, а также описания их деформационных и прочностных свойств после выполнения тех или иных условий разрушения. Необходимо установление точной доли нагрузки, ко торую разрушенный элемент воспринимает или передает соседним [8]. Важное значение при этом имеет тот факт, что структурный элемент может быть разрушен по различным механизмам.
Феноменологическая оценка разрушения твердого тела на основании критерия прочности в общем случае ничего не говорит о характере тех процессов, которые привели к потере несущей способности, хотя некото рые критерии могут иметь определенную физическую интерпретацию. Ис пользование совокупности критериев может позволить в рамках феномено логического подхода различать механизмы разрушения. Концепция описа ния критического состояния материала с помощью более чем одного урав нения ярко выражена в теории прочности Я.Б. Фридмана [13]. В работе А.А. Ильюшина [16], как уже было отмечено, введено понятие поврежде ния частицы материала и на основании мер повреждений записана сово купность критериев прочности, каждый из которых соответствует разру шению определенного типа.
Следуя [16], будем считать, что некоторые меры тензора повревденности Mn(Q), называемые мерами повреждений и являющиеся функция ми компонент Q , могут быть использованы для построения критериев раз рушения изотропных и анизотропных материалов.
|
Пусть существуют константы критической поврежденности материа |
ла |
такие, что если для любого п |