Дискретно-полевые модели электрических машин Часть 1. Численные метод

ных уравнений	для каждой	составляющей		векторного
потенциала:
д2 Aj + д2 Aj [ д At		7	i =x,y,z.		(2.19)
дх2	ду2

Решение полученной системы совместно с заданными гра­ ничными условиями позволяет определить значения состав­ ляющих векторного потенциала в функции пространственных координат, а затем значения координатных составляющих маг­ нитной индукции, используя выражение (2.5).

2.1.2. Неоднородная непроводящая среда

Задана плотность стороннего тока ц = f(x,y,z), у = 0. Снова рассмотрим 2 задачи:

1. Сторонний ток отсутствует, J„= 0.

r o t# = 0;

d iv 5 = 0 .

Магнитное поле имеет потенциальный характер и может быть записано в виде

Н - grad (рм .

В этом случае

div5 = div(p н)=div(pgrad(pM) .

(2.20)

Раскрывая это выражение по правилам векторного анализа, получим

д Г	зч О	д	(	эч О	д	(	(2.21)
дх 1	ц а	+ —		Qy J	+ —	и- "
	дх J	ду 1			dz 1 &		)

Решение уравнения с переменными коэффициентами и за­ данными граничными условиями позволяет рассчитать значения скалярного магнитного потенциала, а затем составляющие на­ пряженности магнитного поля.

2. Сторонний ток является функцией пространственных ко­

ординат: 7СТ= ffx.y.z).

rottf = 7CT; divi? =сПу(цЯ) = §гаёцЯ-1-ц<11уЯ = 0. (2.22)

Отсюда

=

(2.23)

Ц

В данном случае заданы источники вихревого и потенциаль­ ного полей, и поэтому магнитное поле может быть представлено их суперпозицией, т.е.

		Я = Я В+ Я П,			(2.24)
причем
div Я в = 0;			rot Я п = 0.		(2.25)
В этом случае вихревую и потенциальную составляющие
поля можно представить в виде
Я в = rot Аи ;			Я п = grad <рм .		(2.26)
Подставляя (2.24) в первое уравнение (2.22) и учитывая
(2.25), будем иметь для	вихревой составляющей
rot rot \		= grad div \ - Д \		= 7СТ.	(2.27)
Согласно калибровке Кулона div Аи =0. Поэтому					в оконча­
тельном виде
		Д Л , = - 7 ет.			(2.28)
Проектируя уравнение на координатные оси, получим сис­
тему для составляющих векторного потенциала:
э Ч / , э Ч , - , а Ч ,- = -J.				i=x,y,z.	(2.29)
дх2	ду2	dz2	ст;;

Второе выражение в (2.22) с учетом (2.26) может быть запи­ сано в виде

div р (# в + Я п) = div (ц rot Ам) +div (ц grad <рм ) = 0. (2.30)

Откуда

			div (ц grad фм) = -div (ц rot Ам)						(2.31)
или
д Г	Зфм ^	д	Г	Зфм 1	д	(и	Э(Р« )	= -div(prot Ам). (2.32)
р	"	4----		Эу J	+ —	р	-
дх (	дх ) ду Г				dz	к	d z )

Таким образом, решение задачи с известными краевыми ус­ ловиями сводится к решению системы (2.29), нахождению по полученным значениям Ам правой части (2.32) и решению это­

го уравнения. Результат решения задачи определяется выраже­ нием (2.24).

2.1.3. Однородная проводящая неподвижная среда

Задана плотность стороннего тока р = const,	у =const,
.7СТ=f(x,y,z).
Запишем уравнение магнитного поля:
rot —rot Л =J + УСТ,	(2.33)
Р
где плотность тока проводимости
7 = y ( - ^ - + grad(p).	(2.34)
ut

Подставляя значение плотности тока в уравнение магнитно­ го поля и преобразовывая получившееся выражение, будем иметь

—	—	дА	(2.35)
graddivА	- Д А =-ру -----нру gradcp + p 7 CT.

dt

При постоянных ру произведение можно внести под знак grad и ввести калибровку di\ А = руф. Тогда уравнение запишем в виде

*т	дА	7	(2.36)
АЛ - ру	ot

Проектируя уравнение на координатные оси, получим сис­ тему для трех проекций вектора А в декартовой системе коор­ динат:

	д2А- I	d2Ai	д2А , . У 4 _		i - x,y,z, (2.37)
	дх2	ду2	dz2—иг	dt = - М с

Решив смешанную краевую задачу, определим векторный магнитный потенциал A(x,y,z,t), затем div А , скалярный потен­

циал ф и grad ф.

2.2.Анизотропные среды

2.2.1.Анизотропная однородная непроводящая

магнитная среда

Магнитная проницаемость, электропроводность, плотность стороннего тока записываются в виде р , у = 0, J CT= f(x,y,z).

Магнитная среда электрических машин чаще всего является ортотропной средой, которая характеризуется тем, что оси ани­ зотропии совпадают с осями координат, причем проницаемость по двум координатам имеет одинаковую величину [22]. Если, например, рх = рг= р^, а то тензор магнитной прони­

цаемости является диагональным и записывается в виде

	Г	0	0
		Х 2
ц =	0		0	(2.38)
	0	0	и	X Z
			*

Уравнение магнитного поля в этом случае имеет вид

rot p. 1rot A =0,

(2.39)

где (i 1 - тензор, обратный тензору ц .

1

0 0

*Х 2

	1	(2.40)
0	0

^ У

1

0 0

к

Подставляя в (2.38) выражение векторного магнитного по­ тенциала

А = iAx + jAy + kAz,

выполняя математические операции по правилам векторного анализа и проектируя векторное уравнение на координатные оси, получим систему скалярных уравнений для трех состав­ ляющих векторного потенциала:

	1	з 2ах t	1	д2Ах	д	1	6А
						_____ L +± ^ k				= - J „ ; (2.41)
	Ц»	д у 2	I-Ly	d z 2	дх	цг,	ду	ц„	dz
	1 д Ц		1	д Ц	д (	\	дАх			— Усту;(2.42)
	и	дх2	u	d z2	ду	а дх		a	dz
										/
	~ X Z		~ X Z		S V n XZ			~ x z
	1	d2Az |	1	d2Az	д (		дАх	1	dAy '
	Vy dx2		И* d y2		dz	\i	dx	u	dy	(2.43)
										J
						ЧГу		r-ja	S

Для решения системы (2.41) -(2-43) преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.41) следующим обра­ зом:

		' 1 д А ,	1 З А , _ 1 К					Л	д 4
		^ d y	iiy 3 z ^	К »	З у			)	dz
	3AZ	д А,	дАх		\	з а	2	э а х .. -
				—^ —1
	+—	----- —+— -				—	--------- + d\\A
	dz	dx	дх			dz		dx

Пользуясь произвольностью выбора d iv ^ , используем сле­

дующую калибровку:

г и	\	дА,
divvl = - ^ - 1		(2.45)
[1		dz

Подставим это выражение в (2.44) и преобразуем полученное:

1 dAv	1 дА,	1	ЗА
			__ Х_	(2.46)
дУ	V; dz		дх

тогда уравнение (2.41) запишем в виде

	1	3 2/L	1 д2Ах	1 д2А	2.47)
	V-„	дх2	д у 2	\iy dz2 ■= - Л

Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.43):

	1 дАх	дА„	1	ал,	^xz -1	дА.	•+.
	------------- _	+ -----------------	_ —	+		dx
	p v dx	ц dy	ц	dy
				к'1У
ЗА,	ЗА,	ЗА,		3AZ	дА	л. -		(2.48)
dz	dx	dx		— ---------	dx	+ divT
			к Ь	dz
				.

Подставляя в (2.48) принятую калибровку и преобразовывая полученное при этом выражение, получим

1 дА.	1	дА,	у _
------ - +-
Ру дх	ра ду

	_1____1_	? А _ ± д А		(2.49)
	^У ^хгJ	дх ц	dz
		г у

Уравнение (2.43) в этом случае имеет вид
1 ^ А +± ^ А	+1	^ А = _ ,	dz	J ___ 1_	дА .(2.50)
Цу дх U ду	u	dz		U Д	дх
				v y

Для решения уравнения (2.42) преобразуем выражение в скобках при втором члене этого уравнения:

1	дА	1	дАг =		1 ЭЛ,	| дАг | дЛ,	дЛ/
а	дх	a	dz	а	ах	dz ду	ду
' XZ		“ JTZ			XZ \
			_1_		dAv		(2.51)
				------ + div А
			К		ду

Подставляя в (2.51) div А согласно принятой калибровке,

получим

1 сИ	1 dAz	1	1	дА2 __ 1	дЛу
		U	Ц	dz и	(2.52)
Ра дх	Р* дг				ду
		УпУ	nxzy

и уравнение (2.42) запишем как

	1 а Ч	1 а Ч	1 а Ц
	Ъ	дУ	dZ*
			\
			дА	(2.53)
	'JcTy	ду	dz

Таким образом, решение системы (2.47),(2.50),(2.53) произ­ водится в следующей последовательности:

- с использованием известных значений составляющей плот­ ности тока J ш и заданных граничных условий решается

уравнение (2.47) и определяются значения составляющей век­ торного потенциала Лх;

- по найденным значениям составляющей Ах и заданной плотности тока Jт рассчитывается правая часть уравне­

ния (2.50), которое решается с учетом заданных граничных ус­ ловий;

- решается уравнение (2.53) с использованием соответст­ вующей составляющей плотности стороннего тока и найденных значений составляющей векторного потенциала Аг.

2.2.2. Анизотропная однородная проводящая магнитная среда

Магнитная проницаемость, электропроводность среды, плотность стороннего тока записываются в виде: д , у, 7 ст = f(x,y,z), где магнитная проницаемость и электропровод­

ность среды являются тензорами второго рода.

	0	0		у *	0		0
д = 0	Ц у	.	j =	0	Y		0
		0				У
					'
0	0	д		0	0		у *
		“ Х2
Уравнение магнитного поля имеет вид
		rot д-1 rot А = у ст + J ,					(2.55)
где J - плотность тока проводимости,
		дЛ					(2.56)
		J = У ------+ grad ф

Подставляя выражение плотности тока проводимости в уравнение (2.55), выполняя математические операции по прави­ лам векторного анализа и проектируя векторное уравнение на координатные оси, получим систему скалярных уравнений для трех составляющих векторного потенциала:

1	д2Ах |		1	д2 Ax				дАх
	д у2		V-y	dz1			XZ	dt
д {	1 дАу + _L& k							\
						+ У„Ф
d x {V-xf дУ			Vy dz
1	е 3 4			д2Ау1				дАу
д ( \		д Ах ,		1	дА2			\
									=J,сту’
э Д ц ^		дх		^	dz		+ У,Ф
								J
. 1	& А г ,		1	д2 А,				дА±
Vy	дх2		^	dz2			“	dt
д_	1	дАх		1	дА.				= л
dz	ц	дх			д у +У” *

(2.58)

(2.59)

Для решения системы (2.57) - (2.59) преобразуем второй член левой части уравнения (2.57) подобно тому, как это дела­ лось выше. В результате преобразования получим

j J 4	+_ L M	дАу	(	\ Э Л , dAz
дУ	Цу dz П <Р	dy	h ^ - 1	dz	dz
	д_f 1 дАх	1 дАу		--J .
	-------- +--------- + у Ф				(2.60)
	dz у \1у дх	ду	”	ста

Пользуясь произвольностью выбора diу А , применим сле­

дующую калибровку:
(	Л
div А = -	дАя	(2.61)

d z

Подставляя уравнение калибровки (2.61) в (2.60) и преобра­ зовывая полученное выражение, имеем

1 дАу |	1	дАг __	1	.M s.	(2.62)
ду
	~ у	~ ~	ц« Х2	дх

и записываем уравнение (2.57) в виде

1	дгАх ,	1 д2Ах ,	1	д2Ах	у	дАх _		.	(2.63)
PjCZ				& 2		^ = -У
	ЙХ2	Йу2	М>		-я		стд:		'

Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.59):

1 дАх . 1	д Ау				(	\
				’дАУ+		дАх
--------±-|-----------
^	дУ			ду		дх
	д Ах	дАг	дАг	+ Ц	у ф
+ —2*+—И			--- ^
	дх	dz	dz	^	1хг

^ - 1	^ JL—^ L+divA + \i
LV	дх dz
	)

у ф

(2.64)

"

Подставляя в (2.64) принятую калибровку и преобразовывая полученное при этом выражение, запишем

1 дАх ,	1 дАу	+у	ф =	J ___ 1_	дАх	1	дА,	(2.65)
------- - +	---------			IX IX	дх	р.	dz
Ру дх	Pxz дУ		Я
				V у

Уравнение (2.59) в этом случае имеет следующий вид: