Механика композитных материалов 1 1980
..pdfr02p*t* |
|
p* |
_ |
/С |
|
JxL2 |
’ |
at* |
’ |
at* |
; |
P3{p) =Ap3+Bp2 + Cp + D\ |
A= A p 3\ |
B = Bp*2\ |
|||
|
C= Cp*\ D = D + 1. |
|
(10) |
||
Для простоты рассмотрим случай К(р, е) =const. |
За характерное |
||||
время примем величину |
|
|
|
|
|
|
г*=у;ш, |
|
|
( И ) |
|
представляющую собой с |
точностью |
до |
константы период колебаний |
||
в консервативной линейной волне [7]. Здесь |
— время релаксации, |
0>О — время ретардации. По аналогии с линейной вязкоупругостью [8] можно получить:
Я = ас |
К_ |
( 12) |
а |
где с(рст) =ЗЛрст2 + 2Брст+ С; рст соответствует S-характеристике. При PI<PCT<P2 получается, что с(рст)<0. Из (11) и (12) следует, что
t*
У ' - К
а2с (Рст)
Поскольку известен примерный диапазон порядков изменения пе риода консервативных линейных волн в рассматриваемой модели и практически отсутствует информация о значениях 0, К, К, задаются t* и р*. Принимается рСт= Р* и р*= р+. Время ретардации 0 задается как параметр, чтобы понять его влияние на течение. Тогда
0
(13)
с(Р+) t*z
С учетом (12) и (13) безразмерные параметры (10) примут вид: F=
=~f\iL2 * »М = 1$~’ гДе |
—р+с(р+) >0; N=^->0, а граничные и на |
||
чальные условия (7), (8) |
перейдут в |
|
|
р (0 ,0 = 1; р(1, |
0 = р -/р +; |
(14) |
|
rw{x, 0) =r^i/ro; р{х, 0) |
= 1—(1—р-1р+)х. |
(15) |
Решение задачи зависит от девяти безразмерных параметров — F, М0,
N,p~/p+, rwо, р т а х /Р + » P m ln /P + i £ т а х , Emin*
В работе [6] для малых возмущений, наложенных на стационарное течение в труб ках конечной длины, выведено условие устойчивости системы 5-тппа, состоящее в том, что такая система устойчива при
У Г|0
L< Z»np —я (16)
М32+1 ’
и
В принятых в настоящей работе обозначениях можно представить условие (16) в виде:
N > N KP=- |
8Л4, |
(17) |
[ l + y i + 4 W ( l - P - / P + ) " J . |
||
Система уравнений (9) с граничными и начальными условиями |
(14), |
(15) решалась методом прогонки с помощью итераций [9] на ЭВМ БЭСМ-6. При этом, исходя из физиологических соображений, было принято г0= = 2*10-3 см, р = 0,03 г/см ■с. Величины L и задавались в физиологи чески допустимых пределах; еШах, ет щ, Ртах, Ршт были взяты из экспе риментальных данных рис. 1; диапазон возможных rwо соответствовал рис. 1,р+ и р_ выбирались внутри падающего участка 5-характеристики.
Анализ результатов численного решения сформулированной выше задачи приводит, в частности, к следующим выводам.
1. При давлениях на концах трубки, лежащих внутри падающего участка статической характеристики (pi<p+< p 2, pi< p _ < p 2 и р+>/?_), и фиксированной длине трубки L при больших мгновенных модулях уп ругости стенки К трубка принимает расширяющуюся форму, и имеет место установившееся течение,
2. Изменение давлений на входе и выходе в достаточно широком диапазоне в пределах падающего участка при фиксированной длине трубки в условиях установившегося течения демонстрирует нелинейную зависимость мгновенного расхода через выходное сечение трубки от пе репада давлений на ее концах. На рис. 2 по оси абсцисс отложено р+, отнесенное к р = 80мм рт. ст. (для наглядности сравнения), по оси ор динат — мгновенный расход, отнесенный к характерному расходу, со ответствующему тому же давлению. Различные кривые соответствуют разным р— Представлен случай L=1 см, /*=10 с. Следует отметить, что при одном и том же перепаде давлений на концах трубки меньшее зна чение р- обеспечивает больший расход (штриховые кривые на рис. 2). Для каждой пары исследованных значений р+ и р_ по полученному мгновенному расходу был вычислен радиус такой жесткой трубки, в ко торой пуазейлевское течение ,при тех же р+ и р_ обеспечивало бы дан ный расход. Затем по полученному радиусу определяли расход при том же р_ как функцию (р+ —р_); на рис. 2 проведены соответствующие прямые для каждой точки, полученной в результате численного реше ния задачи. Из рис. 2 видно, что наличие у стенок трубки вязкоупругих свойств, характерных для используемой здесь реологической модели, стабилизирует расход жидкости по сравнению с жесткой трубкой (на возможность авторегуляции расхода в подобных условиях было ука зано в [6]). Если уменьшить /*, т. е. изменить реологические свойства стенки путем увеличения а (см. (13), то в стационарном режиме кар тина течения не изменится.
Сравним полученные величины мгновенного расхода с физиологи ческими данными. Известно [2], что для артериол, имеющих диаметр по рядка 2* 10~3 см и длину 0,2 см, средняя скорость течения крови состав
ляет 0,3 |
см/с и, следовательно, мгновенный |
расход порядка |
10—6см3/с. |
|||
По нашим расчетам, например, при |
р+= 82 мм рт. ст., |
р_ = 80 мм рт. ст., |
||||
L = 1 CM, |
го=2-10~3см мгновенный |
расход |
также |
равен |
примерно |
|
10-6 см3/с. |
|
|
|
(в |
наших |
|
3. При уменьшении мгновенного модуля упругости стенки |
||||||
обозначениях это соответствует уменьшению N при сохранении |
прочих |
параметров) достигается такое его значение (соответствующее значе нию А/1ф. ч), начиная с которого течение переходит из у с т а н о в и в ш е г о с я
ПО
Рис. 2. |
|
|
Рис. 3. |
Рис. 2. р- = 65 мм рт. ст. (/), |
75 (2), 75 |
(3), 80 |
(4). Лр± = 15 мм рт. ст. (5), 20 (б), 25 (7), |
|
30 (8), 35 (9). |
||
Рис. 3. 1 — N = 0,13 |
и 7'ц = 7,1; |
2 — 0,1 |
и 8,5; 3 — 0,06 и 11,8; 0,03 и 19,2. |
режима в периодический, смещение стенки приобретает колебательный характер, а зависимость р от rw для каждого сечения представляет со бой предельный цикл. Время выхода на такое решение зависит от гео метрии трубки и граничных гидродинамических характеристик. Здесь этот вопрос не рассматривается. С уменьшением модуля упругости К при одновременном более медленном уменьшении а (т. е. если K2=<fKь
где 0 < f< 1, то а 2= У'/а1) период цикла растет, а амплитуда колебаний сначала растет, а потом, начиная с некоторого N *<N l{p, может начать убывать (рис. 3). Средний расход жидкости за цикл через выходное се чение в исследованных случаях практически не отличается от мгновен ного расхода при стационарном течении.
Периодические решения для среднего сечения трубки, имеющей длину 1=8 см, при р+= 80 мм рт. ст., р_ = 70 мм рт. ст., ^* = 10 с для различных N<NKp представлены на рис. 3. Здесь же изображен элемент 5-харак теристики и крестиком обозначено стационарное решение, имеющее место при Л ^0,15, или 0 ^ 1 ,5 с. Решению соответствует перемещение по каждой из кривых в направлении против часовой стрелки. В рас сматриваемом случае при безразмерном периоде цикла Тц, удовлетворя ющем условию 0 s^ fn^ 6 ,5 или О ^Гц'^65 с, амплитуда колебаний стенки не превосходит 2-10~5мкм, а отклонение давления от стационарного
значения не больше 0,8 • 10-4 мм |
рт. ст. При Гц> 65 с эти |
отклонения |
увеличиваются. Расчеты при р+— |
р_=1мм рт. ст., L = 1 CM, |
^*=1 с пока |
зывают, что при Гц>5,5с амплитуды колебаний стенки и давления мо гут быть существенными (так, радиус может меняться в полтора раза). При этом Акр. ч^ 0,05, что совпадает с А1ф, полученным по (17).
4. Сравнение Акр. ч, полученного в результате численного экспери мента, с Аир для малых возмущений из (17) обнаруживает удовлетво рительное соответствие. Основной вывод состоит в следующем: изучено поведение нелинейных волн в трубках конечной длины из вязкоупругого материала; показано, что возникающая в подобных системах неустойчи вость малых возмущений переходит в периодические колебания.
Анализ предварительных результатов численного решения дает
ill
основания считать, что экспериментальное определение периода спон танных колебаний стенки сосуда вместе с некоторыми другими гидроди намическими характеристиками было бы полезно для оценки реологиче ских параметров материала стенки кровеносных сосудов in vivo.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Хаютин В. М. Механизм управления сосудами работающей скелетной мышцы. Гистохимическая гипотеза. — В кн.: Проблемы современной физиологической науки
Л., 1971, с. 123— 140. |
|
|
|
|
|
|||
2. |
Гидродинамика кровообращения. М., 1971. 270 с. |
|
|
|
|
|||
3. |
Johnson |
Р. |
С. Autoregulatory |
responses of cat |
mesenteric arterioles |
measured |
||
in vivo. — Circulat. Res., 1968, vol. 22, N 2, p. 199—212. |
|
the |
viscoelastic |
properties |
||||
4. |
Gow B. S. The influence of vascular smooth muscle on |
|||||||
of blood vessels. — |
Cardiovasc. Fluid. Dyn., 1972, vol. 2, p. 65— |
110. |
мышечной |
ткани. — |
||||
5. |
Усик 11. |
И. |
Континуальная |
механохимическая |
модель |
|||
Прикл. математика и механика, 1973, т. 37, вып. 3, с. 448— 458. |
|
|
|
6.Регирер С. А., Руткевич И. М. Волновые движения жидкости в трубках из вяз коупругого материала. Волны малой амплитуды. — Изв. АН СССР. Механика жид кости и газа, 1975, № 1, с. 45—53.
7.Руткевич И. М. Волновые движения жидкости в трубках из вязкоупругого ма
териала. Стационарные нелинейные волны. Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1975, № 4, с. 86—95.
8. Рейнер М. Реология. М., 1965. 224 с. |
решения задач пограничного |
9. Пасконов В. М. Стандартная программа для |
|
слоя. — В кн.: Численные методы в газовой динамике, |
1963, вып. 2, с. ПО— 116 (М.). |
Московский государственный университет |
Поступило в редакцию 02.04.79 |
им. М. В. Ломоносова, Институт механики |
|
УДК 611.08:539.001
Н. Л. Никитин
МОДЕЛЬ МЫШЕЧНОЙ ТКАНИ С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ РАБОТАЮЩИХ ВОЛОКОН
Исследуется влияние числа активных волокон мышечной ткани на ее сокращение. На основе термодинамического подхода получены рео логические уравнения, описывающие сокращение мышечной ткани с уче том химических реакций и зависящие от относительного числа актив ных волокон.
Одним из существенных свойств мышцы является ее способность со кращаться, не развивая напряжений. Отчасти в связи с этим пришлось отказаться от первоначальной идеи описания мышечного сокращения
врамках вязкоупругой модели, которая не учитывает этого эффекта [1].
Вработах [2, 3] впервые мышца рассматривалась с позиций механики сплошной среды путем введения в уравнения нового члена, названного «биофактором». В работе [4], где впервые был последовательно исполь зован термодинамический подход для описания свойств мышечного со кращения, получено явное выражение для «биофактора», который, как оказалось, зависит от химических реакций, протекающих в мышце. За счет этих механохимических реакций высвобождается энергия, часть которой идет на совершение механической работы. Более подробно ос новные результаты и предположения термодинамических подходов к моделям мышцы изложены в обзоре [5].
Известно, что активатором механохимических реакций являются
ноны Са++. В связи с этим в работе [6] в качестве управляющего мышеч ным сокращением параметра принимается концентрация ионов Са++ в миофибриллах. В работе [7] в дополнение к концентрации Са++ вводится еще один управляющий параметр — частота стимуляции мышцы.
В реальной мышце управление сокращением осуществляется с по мощью по меньшей мере двух параметров — концентрации ионов Са++ в миофибриллах и относительного числа активных волокон. Сами же эти параметры могут в свою очередь зависеть от частоты и других ха рактеристик стимуляции. Исходные утверждения, принимаемые при по строении модели, состоят в следующем: мышца производит работу за счет прямого преобразования энергии, высвобождающейся при механохнмических реакциях, которые протекают в большом числе малых, но конечных областей, распределенных по всему объему мышцы; источ ники химических реагентов также распределены по всему объему мышцы; мышечная ткань анизотропна и обладает упругими и вязкими свойствами, причем вязкость обусловлена преимущественно миофибриллами, а упругость — соединительной тканью и другими структурами.
В соответствии со сказанным будем рассматривать трехфазную сплошную среду. Фазу 2 будем отождествлять с миофибриллами, в ко торых протекают механохимические реакции (активные миофибриллы); фазу 3 — с миофибриллами, в которых нет механохимических реакций; фазу 1 — с остальными структурами. Фаза 1 — чисто упругая. Элемен тарный объем и сплошной среды равен сумме элементарных объемов и1, v2, и3, занимаемых соответственно фазами 1,2, 3. Площадь элемен тарной площадки среды s есть соответственно сумма s1, s2, s3. Пусть vl/v =si/s, т. е. среда статистически однородна.
Параметры, полученные усреднением по объему одной из фаз, за ключаются в угловые скобки, в отличие от «размазанных», усредненных по всему объему v. Верхние индексы обозначают номер фазы, нижние (не тензорные) — номер компоненты или химической реакции.
Введем плотность k-й компоненты в i-й фазе pki= mhi/v, где тк{ — масса k-й компоненты в i-й фазе, содержащаяся в элементарном объ
еме V. |
Используем это обозначение для |
определения |
массовой |
концен |
|||
трации |
Cki= pki/p |
{k = 1 ,2,..., п). Здесь |
р — средняя |
плотность |
смеси. |
||
Предположим, что |
|
П |
1= 1,2,3, |
так что |
|||
р= (р{> = const (<р*>= 2 т Лг‘/щ ); |
|||||||
среда в целом несжимаема. |
/г=1 |
|
|
|
|||
|
|
П |
|
||||
Используя предыдущие определения, |
легко получить, что |
Ск{== |
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
k=\ |
|
==С*=щ/и. Истинная концентрация (CV) определяется формулой (нет суммирования по i): <СА*> = mki/{vipi) . Концентрации СУ и <СУ> свя заны соотношениями Chi= Ci(jCki') (i= 1,2,3). Очевидно, что сумма всех концентраций СУ равна единице.
Изменение концентрации в фазах может происходить в результате притока вещества извне, химических реакций и диффузии в фазах. Для упрощения рассуждений далее будем предполагать, что химические реакции идут только в фазе 2, скорости компонент совпадают; поэтому диффузия, обусловленная отличием скоростей компонент от средней
скорости среды, внутри фаз отсутствует. |
массы запишем в виде: |
||
С учетом сказанного уравнения сохранения |
|||
Р |
р— |
|
Zi Vftj Tj ; |
р— |
=Qh3 |
(Ле= 1, 2 |
|
Здесь Qk{ — скорость потока вещества сорта k в фазу i; Vkfij — ско рость образования k-й компоненты в /-й химической реакции; г — число реакций. Величина vkj, отнесенная к молекулярной массе Мк k -й компо ненты, пропорциональна стехиометрическому коэффициенту, с которым компонент k входит в уравнение j-й химической реакции. В каждой от-
П |
v/tJ =0; |
дельной химической реакции масса сохраняется, поэтому 2 |
|
к = |
1 |
7= 1,2,... ,г.
Предположим далее, что вещество в фазу 1 может поступать только из фазы 3 либо из распределенных «внешних» источников; в фазу 3 — только из фазы 2; в фазу 2 — из фаз 1 и 3. Согласно этому предполо жению запишем:
Qkl= — Qk+Qk1', Qk2 = Qhm+Qh\ Qh3= — Qhm, |
(2) |
где Qhl — мощность внешних источников в фазе 1; Qkm характеризует
переток вещества из фазы 3 в фазу 2, a Qk — из фазы 1 в фазу 2. Из
П
условий несжимаемости следует: 2 Qkl= 0.
пк=1
Предположим далее, что 2 Qk= 0. Пусть, кроме того, Qkm характе-
к=1 ризует переход компонент фазы 3 в фазу 2 таким образом, что ис тин
ные концентрации компонент фазы 3 <C/t3> остаются неизменными (это означает, грубо говоря, то, что часть фазы 3 «становится» фазой 2). Дня этого положим:
Q:,m= K - ~ - (С3Ф 0); Q„™=0 (Сз=0). |
(3) |
Уравнения (1) с учетом (2) запишем в виде:
dC ^ |
|
dC ^ |
ж~^ |
|
Р — J j ^ = |
— Q k+Q kl\ р — |
= Q k + Q h m+ 2 -J V/o Ti> |
||
Р |
dCh3 |
■= — Qkr |
(£=1,2,. ,n). |
|
dt |
||||
|
|
|
Если просуммировать no k (3) и третье уравнение (4), то получим К =
=; таким образом, К есть общая скорость превращения фазы 3 в
^at
фазу 2.
Запишем уравнения неразрывности с учетом постоянства плотности и сохранения количества движения для среды в целом при малых де формациях и перемещениях:
dui |
d2U{ |
dpа |
|
(6) |
dxi 0; ( 5 ) |
Р ~дР |
dxj |
+ Рfi- |
Здесь 1ц — вектор перемещения; Д — внешние массовые силы; p,j — тензор напряжений для всей среды. В (6) и далее всюду используется неподвижная прямоугольная система координат.
Для всей среды и для каждой из фаз вводятся свободная энергия F, энтропия S, температура Т, тензоры деформаций и напряжений. Далее будем предполагать, что температуры и деформации фаз совпадают и имеет место равенство
L = О < U > + С2< L2> + С3< L3>; L = S, F, Pij. |
(7) |
Относительно реологических свойств фаз в соответствии с исходными предположениями считаем, что фаза 1 — упругая, фазы 2 и 3 — вязкоупругие. Для фаз 2 и 3 имеет смысл представление тензора деформа
ций в виде суммы eij=Tiija+Aija (a = 2,3), где rjij2 (riij3) — обратимая часть полной деформации фазы 2 (3). В соответствии с обычным смыс лом понятий упругости и вязкоупругости для каждой из фаз задается свободная энергия и постулируется соотношение Гиббса.
Соотношения Гиббса запишем для величин, отнесенных к массе всей
среды: |
|
Cl< F ‘> =F0l (Ch', Т) |
C«<F“> =F<f(Ch« T) + |
|
zp |
+ ~ mijhir\ija,y\hLa’ |
d(Cl< F l> )= d F l= — 0 < p i i x>dzij - |
2p |
p |
- 0 < S ' > d T + Z \ i hxdCh'- |
|
|
(8) |
d(&<F*>) =dpcc= _L Ca< pifL>dr[ifL— Ca< S a>dT+'2i\x,hadCba
P
(a = 2, 3).
Здесь p,ta — химический потенциал £-го компонента фазы а, отнесен ный к массе всей среды. Перемещения и деформации считаются малыми, поэтому (с учетом несжимаемости среды) будем иметь: егг= 0. Допол нительно будем полагать, что riua= 0; Aiia=0 (a = 2,3).
системе координат, в которой базисный вектор направлен по оси по воротов бесконечного порядка, все компоненты тензоров 6tj равны нулю, кроме 633= 1 . Можно выписать общий вид произвольных тензорных функций В = В(£,Ь), зависящих только от этих двух аргументов [8]:
Bi = 0; |
= |
Bi^ = 0. |
( 12) |
Тензор четвертого ранга |
В*^ характеризуется, вообще говоря, десятью |
независимыми параметрами [8], выражения для таких тензоров будут вы писаны ниже с учетом дополнительных условий симметрии.
Допустимые линейные зависимости между обобщенными потоками и силами с учетом (12) после применения соотношений Онзагера—Ка зимира запишутся в виде:
дТ
Gif— $ijhl3Akl3~\~Pij/nA/H34“ ^jA-Pij^P |
^j^ouj^Pa1 |
Pa2) |
j^ jK nij(pn3 |
Pn2) I |
|
|
||||||||||
|
|
|
P=1 |
|
|
a=1 |
|
|
|
|
n= 1 |
|
|
|
|
|
Oht:= |
Pfth’j3Aij3"b |
|
|
|
(pa* |
Pa2) |
|
^nft/(pn3 |
Pn2) I |
|
|
|||||
|
|
|
P=1 |
|
|
a = l |
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
4 = ApijAij2+ Xp/nAw3— |
^PV/4V+ |
/'ap(pa1—Pa2) + ^ J |
0)np(pn3—Pn2) ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
л,= 1 |
|
|
a = l |
|
|
|
|
n= l |
|
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qa= SaiAi? + SahAhl3- |
J ] j /'ap^p+l]j |
T aP (pp1~ PP2) + |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
P-1 |
P-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
^jA/na(Pn3 |
Pn2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
71 =1 |
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q n m |
= |
V n ijA |
|
|
T |
1 |
Р |
Д |
Р |
|
+ |
^ i ^ n a |
C |
p a ’ - p a 2) + |
||
ij2 + tn k lA |
h l3— |
- |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
p=l |
|
a=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4~ |
Mna (Pa3 |
Pa2) > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PijftI2 = P w |
ij 2; |
|
PijhZ3 = P |
h |
h j 3; |
|
^Pv= |
^VPi |
n aP = |
n |
№'> |
||||
|
|
|
JWn a = |
A |
la n i |
|
& ij = |
CLji. |
|
|
|
|
|
|||
Множитель, содержащий температуру, внесен в соответствующие коэф |
|
|
||||||||||||||
фициенты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oij2 и Oij3 от тензоров |
|
|
||||
Будем считать, что вид зависимости тензоров |
|
|
||||||||||||||
Aij2 и Aij3 соответственно одинаков, т. е. $ijhi2 = C2$ijhi', $цы3 = С3$цы- |
|
|
||||||||||||||
Девиатор полного тензора напряжений, согласно |
(7), |
равен: Рц = |
|
|
||||||||||||
=(Jjj1+ aij2+ aij3. Подставив |
в это |
выражение |
значения |
оца (а= 1,2,3) |
|
|
||||||||||
из (10), получим |
(в безындексном виде): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pd= C1kE+C2m(e —Д2) + C3m(e- Д3) .